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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Do 27.10.2022 | | Autor: | wulfi1 |
| Aufgabe | (b) Gegeben ist das nichtlineare System
x˙ = (sin (x) + x) [mm] e^x
[/mm]
y = (x − [mm] 1)^2
[/mm]
.
i. Berechnen Sie alle Ruhelagen des Systems
ii. Linearisieren Sie das System um diese Ruhelagen.
(c) Beurteilen Sie die Stabilität der Ruhelage(n) aus Punkt (b) |
Leider ist mir die Aufgabe ab Punkt (b) ii. unklar. Ich habe versucht durch die partielle Ableitung nach x eine eindimensionale lineare Systemmatrix A zu erhalten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
diese ist jedoch immer noch nichtlinear und ich weiß nicht wirklich weiter.
Vielen Dank für eure Hilfe.
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Fr 28.10.2022 | | Autor: | chrisno |
Hallo und ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]") ,
das Bilden der Ableitungen ist nur der erste Schritt.
Ich erkläre es am eindimensionalen Fall:
Es soll sin(x) an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] = 0$ linearisiert werden.
Dsa heißt, anstelle der Sinusfunktion wird eine Gerade $g(x) = m x + b$ gesetzt. Diese Gerade soll in der Nähe von [mm] $x_0$ [/mm] möglichst gut mit der Sinusfunktion übereinstimmen.
Daher wird zum einen der Funktionswert übernommen: [mm] $\sin(x_0) [/mm] = [mm] g(x_0) [/mm] = 0 = b$.
Zum anderen wird die gleiche Steigung angesetzt: [mm] $\br{\partial}{\partial x} \sin(x) [/mm] = [mm] \cos(x)$
[/mm]
Ab hier musst Du nun weiter machen: Es geht um die Steigung an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] = 0$.
[mm] $\cos(x_0) [/mm] = [mm] \cos(0) [/mm] = 1 = m$
Also lautet die Geradegleichung $g(x) = m x + b = 1 [mm] \cdot [/mm] x + 0$
Du musst also in deine Ableitungsfunktionen die Stellen der Ruhelagen einsetzen, diese Werte (es ist nur einer?) berechnen (als Zahlen) und diese Zahlen als Vorfaktor vor die Variablen schreiben, nach denen Du abgeleitet hast.
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