Noch eine Optimierungsaufgabe < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Meiner Freundin ist gerade eingefallen das sie noch eine Optimierungsaufgabe auf hat. Diese erscheint mir noch viel schwieriger und ich weiss dort überhaupt nicht die geringste spur eines Ansatzes.
"Von einem Kanal der Breite a geht rechtwinklig ein Kanal der Breite b ab. Wie lang darf ein Balken höchstens sein, der von einem Kanal in den anderen geflößt werden soll?
Zahlenbeispiel: a=10m , b = 6m "
Wir sind sehr ratlos :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Sei $a$ die Breite des horizontal verlaufenden Kanals, $b$ die des vertikal verlaufenden (wir schauen aus der Vogelperspektive). Wir suchen nun den Punkt X auf der oberen Kante des Kanals A, für den die Verbindungslinie von X durch die Mündungskante mit Ende in dem Rand von B minimal ist. Dabei sei $x$ der X-Abstand zwischen Mündungseckpunkt und dem Punkt auf dem Rand. Somit ist die Strecke vom Punkt X zum Mündungsdreieck nach dem Satz des Pythagoras gleich [mm] $\sqrt{x^2+a^2}$.
[/mm]
Nun benötigen wir noch die Y-Differenz vom Mündungseckpunkt zum Punkt, an dem die oben genannte Verbindungstrecke den Rand von Kanal B berührt. Sei diese Differenz $d$, so lässt sich die Strecke vom Mündungspunkt zum Randpunkt des Kanales B abermals über den Satz des Pythagoras mit [mm] $\sqrt{b^2+d^2}$ [/mm] angeben. Da beide Dreiecke durch Streckung ineinander übergehen, sie also ähnlich sind, gilt: [mm] $d=a\cdot\frac{b}{x}$.
[/mm]
Foglich gilt für die Länge des Holzstammes bei gegebenem $x$:
[mm] $L(x)=\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{d^2+b^2}$
[/mm]
[mm] $=\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{a^2\cdot\frac{b^2}{x^2}+b^2}$
[/mm]
[mm] $=\sqrt{a^2+x^2}+b\cdot\sqrt{\left( \frac{a}{x}\right) ^2+1}$
[/mm]
Diese Funktion musst du jetzt ableiten und das Minimum finden. Dann hast du die Aufgabe gelöst.
Mach dir am besten eine Skizze und mache dir auch klar, wieso [mm] $d=a\cdot\frac{b}{x}$ [/mm] gilt. Wenn etwas mit den Bezeichnungen unklar sein sollte, frag bitte nach.
Viel Erfolg!
Gruß,
Hanno
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Hi und erstmal vielen DAnk für diese ausführliche Lösung, wir verstehen nicht ganz, was du mit folgenden Sätzen meinst :
"Wir suchen nun den Punkt X auf der oberen Kante des Kanals A, für den die Verbindungslinie von X durch die Mündungskante mit Ende in dem Rand von B minimal ist. Dabei sei der X-Abstand zwischen Mündungseckpunkt und dem Punkt auf dem Rand."
kannst du bitte genauer erklähren was für ein punkt und welche verbindungslinie du meinst?
vielen dank, christopher und Katja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi ihr zwei.
Ich habe mal eine kleine Skizze angefertigt, von der ich glaube, dass sie euch hilft.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Hanno
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo, DeusDeorum
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für die Strecken u und v gilt
$ u = [mm] \bruch{a}{ \sin x}$ [/mm] und $ v = [mm] \bruch{b}{\cos x} [/mm] $
für die Summe u+v gibt es einen kleinsten Wert der nicht überschritten werden darf,
gesucht
ist also die Lösung von $ (u+v)' = 0 = [mm] \bruch{-a*\cos x}{\sin ^2 x} [/mm] + [mm] \bruch{b*\sin x}{\cos ^2 x}$
[/mm]
dazu genüg es die Zähler0stelle zu finden
$ [mm] -a*\cos [/mm] ^3 x + [mm] b*\sin [/mm] ^3 x = 0 $
$ b* [mm] b*\sin [/mm] ^3 x = [mm] a*\cos [/mm] ^3 x $
$ [mm] \bruch{\sin ^3 x}{\cos ^3 x} [/mm] = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] $
$ [mm] \tan [/mm] ^3 x = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] $
$ [mm] \tan [/mm] x = [mm] \sqrt[3]{\bruch{a}{b} }$
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Sa 25.09.2004 | | Autor: | DeusDeorum |
Vielen Dank für die Antworten, ich wette niemand aus dem Kurs meiner freundin hätte das mit den 2 dreiecken herausgefunden, und die zweite lösung mithilfe der Winkel schonmal gar nicht :), denn die ist noch komplizierter , dankeschöööön sehr nett von euch
schöne grüße, und ein Küsschen von Katja :) , sie ist wirklich froh
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