Noch eine nette Aufgabe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:20 Mi 19.02.2014 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Moin, ich bins schon wieder.
Sei $ n [mm] \in \IN$ [/mm] und für die reellen Zahlen [mm] a_0,a_1,...,a_n [/mm] gelte
[mm] $0
___________________________________________________________
Edit: ich hatte mich gestern vertippt
(darauf hat mich wieschoo aufmerksam gemacht).
Es gnügt:
[mm]0
________________________________________________________
Sei [mm] $p(z)=a_0+a_1z+...+a_nz^n$.
[/mm]
Man zeige: ist [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle von $p$, so ist [mm] $|z_0| \ge [/mm] 1$ |
Wäre einer der Moderatoren so freundlich, die Aufgabe in üblicher Weise zu kennzeichnen ?
Danke !
Gruß FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:34 Mi 19.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
> Wäre einer der Moderatoren so freundlich, die Aufgabe in
> üblicher Weise zu kennzeichnen ?
hab ich prompt erledigt, zusammen mit dem Hinweis, dass diese Frage nicht beantwortet werden sollte, solange die Aufgabe diskutiert wird.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Mi 19.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> > Wäre einer der Moderatoren so freundlich, die Aufgabe in
> > üblicher Weise zu kennzeichnen ?
>
> hab ich prompt erledigt, zusammen mit dem Hinweis, dass
> diese Frage nicht beantwortet werden sollte, solange die
> Aufgabe diskutiert wird.
>
> Gruß, Diophant
Hallo Diophant,
nochmals herzlichen Dank !
Ich hoffe, dass Dir das nicht langsam auf die Nerven geht.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:15 Do 20.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred,
Ich habe eine Frage zu der Nullstelle des Polynoms. Aus der
Aufgabenstellung geht meiner Meinung nach nicht hervor ob die
Nullstelle [mm] $z_0$ [/mm] rein reell oder imaginär ist. Da du die Auf-
gabe unter "Komplexe Zahlen" gesteckt hast und die Variable
$z$ benutzt gehe ich natürlich vom letzteren aus, aber ich
bin mir nicht ganz sicher, deshalb die Nachfrage. 
Gruß
DieAcht
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> Hallo Fred,
>
>
> Ich habe eine Frage zu der Nullstelle des Polynoms. Aus
> der
> Aufgabenstellung geht meiner Meinung nach nicht hervor ob
> die
> Nullstelle [mm]z_0[/mm] rein reell oder imaginär ist. Da du die
> Auf-
> gabe unter "Komplexe Zahlen" gesteckt hast und die
> Variable
> [mm]z[/mm] benutzt gehe ich natürlich vom letzteren aus, aber ich
> bin mir nicht ganz sicher, deshalb die Nachfrage.
>
>
> Gruß
> DieAcht
Hallo 8 ,
ich bin zwar nicht Fred, kann dir aber versichern, dass z hier
bestimmt für eine beliebige komplexe (oder ev. sogar reelle)
Zahl steht.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:06 Do 20.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
>
> Ich habe eine Frage zu der Nullstelle des Polynoms. Aus
> der
> Aufgabenstellung geht meiner Meinung nach nicht hervor ob
> die
> Nullstelle [mm]z_0[/mm] rein reell oder imaginär ist. Da du die
> Auf-
> gabe unter "Komplexe Zahlen" gesteckt hast und die
> Variable
> [mm]z[/mm] benutzt gehe ich natürlich vom letzteren aus, aber ich
> bin mir nicht ganz sicher, deshalb die Nachfrage.
Hab Acht,
der Fundamentalsatz der Algebra besagt: p hat Nullstellen (in [mm] \IC). [/mm] Ist [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle von p (dabei ist schnuppe, ob [mm] z_0 [/mm] reell ist oder nicht), so ist zu zeigen: [mm] |z_0| \ge [/mm] 1.
Gruß FRED
>
>
> Gruß
> DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 Do 20.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Ein Hinweis, damit sich vielleicht einige mehr an diese Aufgabe heranwagen:
Es sind nur Hilfsmittel aus Analysis [mm] \bruch{1}{3} [/mm] nötig, um die Aufage zu lösen !
Allerdings benötige ich bei meiner Lösung einen "fiesen" Trick.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Do 20.02.2014 | | Autor: | wieschoo |
> Es sind nur Hilfsmittel aus Analysis [mm]\bruch{1}{3}[/mm] nötig,
> um die Aufage zu lösen !
Das hat mir Mut gemacht.
> Allerdings benötige ich bei meiner Lösung einen "fiesen"
> Trick.
Das allerdings nicht.
Genügt nicht einfach nur die Voraussetzung
[mm]0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Do 20.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Es sind nur Hilfsmittel aus Analysis [mm]\bruch{1}{3}[/mm] nötig,
> > um die Aufage zu lösen !
> Das hat mir Mut gemacht.
> > Allerdings benötige ich bei meiner Lösung einen
> "fiesen"
> > Trick.
> Das allerdings nicht.
>
> Genügt nicht einfach nur die Voraussetzung
> [mm]0
Hallo wieschoo,
Du hast recht, das genügt. Da hab ich mich oben vertippt !
Danke und Gruß
FRED
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Hi, man könnte doch annehmen, dass die Aussage für |z|<1 gilt und auf einen Widerspruch kommen.
[mm] z=0->p(0)=a_0=0 [/mm] genau dann wenn [mm] a_0=0 [/mm] (Widerspruch zu [mm] a_0>0).
[/mm]
[mm] z\in(0,1)-> p(z)=a_0+Rest [/mm] mit Rest>0, p(z)=0 genau dann wenn [mm] a_0=-Rest<0 [/mm] (Widerspruch zu [mm] a_0>0). [/mm]
[mm] z\in(-1,0)-> p(z)=a_0+Rest [/mm] mit Rest<0, p(z)=0 genau dann wenn [mm] a_0=Rest>0 [/mm] (Wo hier der Widerspruch steckt weiß ich allerdings noch nicht)
Ist mein Vorgehen richtig? Tut mir leid, dass ich keine fertige Lösung hier habe, aber ich bin etwas stutzig geworden und wollte keine PMS verschicken für meine Frage. Falls das nicht in Ordnung ist, bitte löschen.
LG, Björn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Do 20.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi, man könnte doch annehmen, dass die Aussage für |z|<1
> gilt und auf einen Widerspruch kommen.
> [mm]z=0->p(0)=a_0=0[/mm] genau dann wenn [mm]a_0=0[/mm] (Widerspruch zu
> [mm]a_0>0).[/mm]
Das stimmt. 0 ist keine Nullstelle
> [mm]z\in(0,1)-> p(z)=a_0+Rest[/mm] mit Rest>0, p(z)=0 genau dann
> wenn [mm]a_0=-Rest<0[/mm] (Widerspruch zu [mm]a_0>0).[/mm]
Das ist auch O.K.
> [mm]z\in(-1,0)-> p(z)=a_0+Rest[/mm] mit Rest<0
Wieso ist in diesem Fall Rest<0 ???
> , p(z)=0 genau dann
> wenn [mm]a_0=Rest>0[/mm] (Wo hier der Widerspruch steckt weiß ich
> allerdings noch nicht)
?????
> Ist mein Vorgehen richtig?
Nein.
Den Fall einer komplexen Nullstelle hast Du nicht betrachtet. In diesem Fall ist nix mit Rest<0 oder Rest>0.
> Tut mir leid, dass ich keine
> fertige Lösung hier habe,
Das muss Dir nicht leid tun
> aber ich bin etwas stutzig
> geworden und wollte keine PMS verschicken für meine Frage.
> Falls das nicht in Ordnung ist, bitte löschen.
Warum sollte das gelöscht werden ?
FRED
>
> LG, Björn
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Hey, danke für die schnelle Antwort FRED!
> > [mm]z\in(-1,0)-> p(z)=a_0+Rest[/mm] mit Rest<0
>
> Wieso ist in diesem Fall Rest<0 ???
[mm] z\in(-1,0)->p(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+...+a_nz^n, [/mm] dabei sind nach Voraussetzung [mm] a_0,...,a_n>0 [/mm] und (OKAY ich habe meinen Fehler gefunden...) die z sind natürlich nicht alle negativ, da wir z.B. bei [mm] z^2 [/mm] was positives erhalten.
Also neuer Versuch hier.
[mm] z\in(-1,0)->p(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+...+a_nz^n
[/mm]
[mm] Rest_{ungerade}=a_1z+a_3z^3+...+a_{2n-1}z^{2n-1}<0
[/mm]
[mm] Rest_{gerade}=a_2z^2+a_4z^4+...+a_{2n}z^{2n}>0
[/mm]
[mm] a_0>0
[/mm]
-> [mm] p(z)=a_0+Rest_{ungerade}+Rest_{gerade}
[/mm]
OKAY, was wissen wir noch?
[mm] z\in(-1,0) [/mm] ->
[mm] z^2>z^4>...>z^{2n} [/mm] -> [mm] a_2z^2>a_4z^4>...>a_{2n}z^{2n}>0
[/mm]
[mm] z^1
mmm, das hilft irgendwie auch noch nicht.
ich gucke mir nun [mm] a_1z^1+a_2z^2 [/mm] an. Sei [mm] z\in(-1,0) [/mm] fest, z.B. -1/2, dann
[mm] a_1\ge a_2
[/mm]
[mm] z^1
[mm] a_1z^1<0
[/mm]
[mm] a_2z^2>0
[/mm]
[mm] a_1z^1+a_2z^2=(a_1*(-1/2))+(1/4*a_2)=-1/2a_1+1/4a_2=1/2(1/2a_2-a_1)
[/mm]
[mm] a_1\ge a_2>0 [/mm] -> [mm] a_1>a_2/2 [/mm] -> [mm] 1/2a_2-a_1<0 [/mm] -> [mm] 1/2(1/2a_2-a_1)<0 [/mm] -> [mm] a_1z^1+a_2z^2<0
[/mm]
Dann gilt auch [mm] a_3z^3+a_4z^4<0,...,a_{2n-1}z^{2n-1}+a_nz^n<0
[/mm]
-> [mm] p(z)=a_0+Rest [/mm] mit Rest<0 -> p(z)=0 genau dann wenn [mm] a_0=-Rest [/mm] ,denn Rest<0 und mit -Rest>0 also [mm] a_0>0.
[/mm]
OKAY, ich drehe mich im Kreis. Ein Tipp wäre sehr nett 
> > Ist mein Vorgehen richtig?
>
> Nein.
>
> Den Fall einer komplexen Nullstelle hast Du nicht
> betrachtet. In diesem Fall ist nix mit Rest<0 oder Rest>0.
Ok, aber leider hatten wir dazu noch nicht viel in der Uni.
Erstmal will ich es für reelle Zahlen zeigen, wenn das in Ordnung ist.
> Warum sollte das gelöscht werden ?
Oben steht "hier seine Lösung präsentieren kann", deswegen bin ich davon ausgegangen, dass man hier keine Fragen stellen darf.
LG, Björn
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Do 20.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey, danke für die schnelle Antwort FRED!
>
>
> > > [mm]z\in(-1,0)-> p(z)=a_0+Rest[/mm] mit Rest<0
> >
> > Wieso ist in diesem Fall Rest<0 ???
>
> [mm]z\in(-1,0)->p(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+...+a_nz^n,[/mm] dabei sind
> nach Voraussetzung [mm]a_0,...,a_n>0[/mm] und (OKAY ich habe meinen
> Fehler gefunden...) die z sind natürlich nicht alle
> negativ, da wir z.B. bei [mm]z^2[/mm] was positives erhalten.
>
> Also neuer Versuch hier.
>
> [mm]z\in(-1,0)->p(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+...+a_nz^n[/mm]
>
> [mm]Rest_{ungerade}=a_1z+a_3z^3+...+a_{2n-1}z^{2n-1}<0[/mm]
> [mm]Rest_{gerade}=a_2z^2+a_4z^4+...+a_{2n}z^{2n}>0[/mm]
> [mm]a_0>0[/mm]
>
> -> [mm]p(z)=a_0+Rest_{ungerade}+Rest_{gerade}[/mm]
>
> OKAY, was wissen wir noch?
>
> [mm]z\in(-1,0)[/mm] ->
>
> [mm]z^2>z^4>...>z^{2n}[/mm] -> [mm]a_2z^2>a_4z^4>...>a_{2n}z^{2n}>0[/mm]
> [mm]z^1
>
> mmm, das hilft irgendwie auch noch nicht.
>
> ich gucke mir nun [mm]a_1z^1+a_2z^2[/mm] an. Sei [mm]z\in(-1,0)[/mm] fest,
> z.B. -1/2, dann
>
> [mm]a_1\ge a_2[/mm]
>
> [mm]z^1
>
> [mm]a_1z^1<0[/mm]
>
> [mm]a_2z^2>0[/mm]
>
> [mm]a_1z^1+a_2z^2=(a_1*(-1/2))+(1/4*a_2)=-1/2a_1+1/4a_2=1/2(1/2a_2-a_1)[/mm]
>
> [mm]a_1\ge a_2>0[/mm] -> [mm]a_1>a_2/2[/mm] -> [mm]1/2a_2-a_1<0[/mm] ->
> [mm]1/2(1/2a_2-a_1)<0[/mm] -> [mm]a_1z^1+a_2z^2<0[/mm]
>
> Dann gilt auch
> [mm]a_3z^3+a_4z^4<0,...,a_{2n-1}z^{2n-1}+a_nz^n<0[/mm]
>
> -> [mm]p(z)=a_0+Rest[/mm] mit Rest<0 -> p(z)=0 genau dann wenn
> [mm]a_0=-Rest[/mm] ,denn Rest<0 und mit -Rest>0 also [mm]a_0>0.[/mm]
>
> OKAY, ich drehe mich im Kreis. Ein Tipp wäre sehr nett
Ich kann nur einen Tipp geben. Wenn ich das aber mache, verrate ich zuviel !
>
>
>
> > > Ist mein Vorgehen richtig?
> >
> > Nein.
> >
> > Den Fall einer komplexen Nullstelle hast Du nicht
> > betrachtet. In diesem Fall ist nix mit Rest<0 oder Rest>0.
>
> Ok, aber leider hatten wir dazu noch nicht viel in der
> Uni.
> Erstmal will ich es für reelle Zahlen zeigen, wenn das in
> Ordnung ist.
Das ist schon in Ordnung.Nur: bei meiner Lösung ist [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] völlig egal.
>
> > Warum sollte das gelöscht werden ?
>
> Oben steht "hier seine Lösung präsentieren kann",
> deswegen bin ich davon ausgegangen, dass man hier keine
> Fragen stellen darf.
Natürlich darfst Du das.
FRED
>
>
> LG, Björn
>
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Hi, meine neue Idee:
Wegen der Voraussetzung [mm] $a_0\ge a_1\ge [/mm] ... [mm] \ge a_n [/mm] >0$ ist p streng monoton wachsend auf [-1,1].
Das kann man sich auch mit [mm] p'(x)=a_1+2a_2z+...+n*a_nz^{n-1}>0 [/mm] für [mm] z\in[-1,1] [/mm] überlegen.
p ist stetig und nach dem zws können wir uns folgendes überlegen.
Angenommen es existiert in (-1,1) eine Nullstelle, dann muss gelten p(1)>0 und p(-1)<0.
[mm] p(1)=a_0+a_1+...a_n>0. [/mm] Das gilt nach Voraussetzung
[mm] p(-1)=a_0-a_1+a_2-a_3+...-a_n. [/mm] ungerade/gerade
n ungerade -> wir erhalten genau (n+1) Koeffizienten. Dabei ist die Anzahl n+1 eine gerade Anzahl, denn n ist ungerade. Nun können wir durch die Voraussetzung immer nacheinander zwei Koeffizienten nach unten abschätzen und erhalten einen Widerspruch.
Bsp n = 3 -> [mm] a_0-a_1+a_2-a_3.
[/mm]
[mm] $a_0\ge a_1>0$ [/mm] -> [mm] $a_0-a_1\ge [/mm] 0$ und [mm] $a_2\ge a_3>0$ [/mm] -> [mm] $a_2-a_3\ge [/mm] 0$
-> [mm] $a_0-a_1+a_2-a_3\ge [/mm] 0$ Widerspruch, denn da muss <0 rauskommen.
n gerade -> wir erhalten (n+1) Koeffizienten und das ist eine ungerade Anzahl. Das spielt aber keine Rolle, denn analog zu oben schätzen wir wieder nacheinander zwei Koeffizienten ab und am Ende bleibt der letzte übrig. Dieser ist sogar echt größer Null.
Bsp n=4 -> [mm] a_0-a_1+a_2-a_3+a^4
[/mm]
-> analog -> [mm] $a_0-a_1+a_2-a_3+a^4\ge [/mm] 0 + [mm] a^4>0$ [/mm] Widerspruch, denn da muss <0 rauskommen.
Geht das so für reelle Polynome?
Danke!
LG, Björn
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:09 Fr 21.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi, meine neue Idee:
>
> Wegen der Voraussetzung [mm]a_0\ge a_1\ge ... \ge a_n >0[/mm] ist p
> streng monoton wachsend auf [-1,1].
> Das kann man sich auch mit
> [mm]p'(x)=a_1+2a_2z+...+n*a_nz^{n-1}>0[/mm] für [mm]z\in[-1,1][/mm]
> überlegen.
Tatsächlich ? Schau Dir mal [mm] p(z)=z^2+z+1 [/mm] oder [mm] p(z)=z^4+z^3+z^2+z+1 [/mm] an.
FRED
> p ist stetig und nach dem zws können wir uns folgendes
> überlegen.
> Angenommen es existiert in (-1,1) eine Nullstelle, dann
> muss gelten p(1)>0 und p(-1)<0.
>
> [mm]p(1)=a_0+a_1+...a_n>0.[/mm] Das gilt nach Voraussetzung
>
>
> [mm]p(-1)=a_0-a_1+a_2-a_3+...-a_n.[/mm] ungerade/gerade
>
> n ungerade -> wir erhalten genau (n+1) Koeffizienten. Dabei
> ist die Anzahl n+1 eine gerade Anzahl, denn n ist ungerade.
> Nun können wir durch die Voraussetzung immer nacheinander
> zwei Koeffizienten nach unten abschätzen und erhalten
> einen Widerspruch.
>
> Bsp n = 3 -> [mm]a_0-a_1+a_2-a_3.[/mm]
>
> [mm]a_0\ge a_1>0[/mm] -> [mm]a_0-a_1\ge 0[/mm] und [mm]a_2\ge a_3>0[/mm] -> [mm]a_2-a_3\ge 0[/mm]
>
> -> [mm]a_0-a_1+a_2-a_3\ge 0[/mm] Widerspruch, denn da muss <0
> rauskommen.
>
> n gerade -> wir erhalten (n+1) Koeffizienten und das ist
> eine ungerade Anzahl. Das spielt aber keine Rolle, denn
> analog zu oben schätzen wir wieder nacheinander zwei
> Koeffizienten ab und am Ende bleibt der letzte übrig.
> Dieser ist sogar echt größer Null.
>
> Bsp n=4 -> [mm]a_0-a_1+a_2-a_3+a^4[/mm]
>
> -> analog -> [mm]a_0-a_1+a_2-a_3+a^4\ge 0 + a^4>0[/mm] Widerspruch,
> denn da muss <0 rauskommen.
>
> Geht das so für reelle Polynome?
>
> Danke!
>
> LG, Björn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:49 Fr 21.02.2014 | | Autor: | abakus |
> > Hi, meine neue Idee:
> >
> > Wegen der Voraussetzung [mm]a_0\ge a_1\ge ... \ge a_n >0[/mm] ist p
> > streng monoton wachsend auf [-1,1].
> > Das kann man sich auch mit
> > [mm]p'(x)=a_1+2a_2z+...+n*a_nz^{n-1}>0[/mm] für [mm]z\in[-1,1][/mm]
> > überlegen.
>
>
> Tatsächlich ? Schau Dir mal [mm]p(z)=z^2+z+1[/mm] oder
> [mm]p(z)=z^4+z^3+z^2+z+1[/mm] an.
Hallo,
ich möchte hier auch mal meinen Senf dazugeben:
zwischen -1 und 1 ist die Folge
([mm]1, |z|, |z^2|, |z^3|, |z^4|...[/mm]) monoton fallend, und die Summe dieser Beträge ist die Summe der ersten Glieder einer geometrischen Folge.
Wegen [mm]a_0\ge a_1\ge ... \ge a_n >0[/mm] ist die Folge ([mm]a_0*1, \;a_1*|z|, \;a_2*|z^2|, \;a_3*|z^3|, \;a_4*|z^4|...[/mm] )erst recht fallend. Die Summe der Glieder dieser Folge ist deshalb kleiner oder gleich [mm]a_0*(1+ |z|+|z^2|+ |z^3|+ |z^4|+...)[/mm].
Ist das zielführend?
Gruß Abakus
>
> FRED
> > p ist stetig und nach dem zws können wir uns folgendes
> > überlegen.
> > Angenommen es existiert in (-1,1) eine Nullstelle, dann
> > muss gelten p(1)>0 und p(-1)<0.
> >
> > [mm]p(1)=a_0+a_1+...a_n>0.[/mm] Das gilt nach Voraussetzung
> >
> >
> > [mm]p(-1)=a_0-a_1+a_2-a_3+...-a_n.[/mm] ungerade/gerade
> >
> > n ungerade -> wir erhalten genau (n+1) Koeffizienten. Dabei
> > ist die Anzahl n+1 eine gerade Anzahl, denn n ist ungerade.
> > Nun können wir durch die Voraussetzung immer nacheinander
> > zwei Koeffizienten nach unten abschätzen und erhalten
> > einen Widerspruch.
> >
> > Bsp n = 3 -> [mm]a_0-a_1+a_2-a_3.[/mm]
> >
> > [mm]a_0\ge a_1>0[/mm] -> [mm]a_0-a_1\ge 0[/mm] und [mm]a_2\ge a_3>0[/mm] -> [mm]a_2-a_3\ge 0[/mm]
>
> >
> > -> [mm]a_0-a_1+a_2-a_3\ge 0[/mm] Widerspruch, denn da muss <0
> > rauskommen.
> >
> > n gerade -> wir erhalten (n+1) Koeffizienten und das ist
> > eine ungerade Anzahl. Das spielt aber keine Rolle, denn
> > analog zu oben schätzen wir wieder nacheinander zwei
> > Koeffizienten ab und am Ende bleibt der letzte übrig.
> > Dieser ist sogar echt größer Null.
> >
> > Bsp n=4 -> [mm]a_0-a_1+a_2-a_3+a^4[/mm]
> >
> > -> analog -> [mm]a_0-a_1+a_2-a_3+a^4\ge 0 + a^4>0[/mm] Widerspruch,
> > denn da muss <0 rauskommen.
> >
> > Geht das so für reelle Polynome?
> >
> > Danke!
> >
> > LG, Björn
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Fr 21.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Hi, meine neue Idee:
> > >
> > > Wegen der Voraussetzung [mm]a_0\ge a_1\ge ... \ge a_n >0[/mm]
> ist p
> > > streng monoton wachsend auf [-1,1].
> > > Das kann man sich auch mit
> > > [mm]p'(x)=a_1+2a_2z+...+n*a_nz^{n-1}>0[/mm] für [mm]z\in[-1,1][/mm]
> > > überlegen.
> >
> >
> > Tatsächlich ? Schau Dir mal [mm]p(z)=z^2+z+1[/mm] oder
> > [mm]p(z)=z^4+z^3+z^2+z+1[/mm] an.
>
> Hallo,
> ich möchte hier auch mal meinen Senf dazugeben:
> zwischen -1 und 1 ist die Folge
> ([mm]1, |z|, |z^2|, |z^3|, |z^4|...[/mm]) monoton fallend, und die
> Summe dieser Beträge ist die Summe der ersten Glieder
> einer geometrischen Folge.
> Wegen [mm]a_0\ge a_1\ge ... \ge a_n >0[/mm] ist die Folge ([mm]a_0*1, \;a_1*|z|, \;a_2*|z^2|, \;a_3*|z^3|, \;a_4*|z^4|...[/mm]
> )erst recht fallend. Die Summe der Glieder dieser Folge
> ist deshalb kleiner oder gleich [mm]a_0*(1+ |z|+|z^2|+ |z^3|+ |z^4|+...)[/mm].
>
> Ist das zielführend?
Hallo Abakus,
ob das zielführend ist kann ich Dir nicht sagen. Wie gehts denn weiter ?
FRED
> Gruß Abakus
>
>
> >
> > FRED
> > > p ist stetig und nach dem zws können wir uns
> folgendes
> > > überlegen.
> > > Angenommen es existiert in (-1,1) eine Nullstelle,
> dann
> > > muss gelten p(1)>0 und p(-1)<0.
> > >
> > > [mm]p(1)=a_0+a_1+...a_n>0.[/mm] Das gilt nach Voraussetzung
> > >
> > >
> > > [mm]p(-1)=a_0-a_1+a_2-a_3+...-a_n.[/mm] ungerade/gerade
> > >
> > > n ungerade -> wir erhalten genau (n+1) Koeffizienten.
> Dabei
> > > ist die Anzahl n+1 eine gerade Anzahl, denn n ist
> ungerade.
> > > Nun können wir durch die Voraussetzung immer
> nacheinander
> > > zwei Koeffizienten nach unten abschätzen und
> erhalten
> > > einen Widerspruch.
> > >
> > > Bsp n = 3 -> [mm]a_0-a_1+a_2-a_3.[/mm]
> > >
> > > [mm]a_0\ge a_1>0[/mm] -> [mm]a_0-a_1\ge 0[/mm] und [mm]a_2\ge a_3>0[/mm] ->
> [mm]a_2-a_3\ge 0[/mm]
> >
> > >
> > > -> [mm]a_0-a_1+a_2-a_3\ge 0[/mm] Widerspruch, denn da muss <0
> > > rauskommen.
> > >
> > > n gerade -> wir erhalten (n+1) Koeffizienten und das
> ist
> > > eine ungerade Anzahl. Das spielt aber keine Rolle,
> denn
> > > analog zu oben schätzen wir wieder nacheinander zwei
> > > Koeffizienten ab und am Ende bleibt der letzte
> übrig.
> > > Dieser ist sogar echt größer Null.
> > >
> > > Bsp n=4 -> [mm]a_0-a_1+a_2-a_3+a^4[/mm]
> > >
> > > -> analog -> [mm]a_0-a_1+a_2-a_3+a^4\ge 0 + a^4>0[/mm]
> Widerspruch,
> > > denn da muss <0 rauskommen.
> > >
> > > Geht das so für reelle Polynome?
> > >
> > > Danke!
> > >
> > > LG, Björn
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Fr 21.02.2014 | | Autor: | wieschoo |
Sei
[mm]f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k[/mm]
ein Polynom mit Koeffizienten
[mm] 0
Wir zeigen: Für jede Nullstelle [mm]x^\star[/mm] von f gilt
[mm]|x^\star|\ge 1[/mm].
Beweis:
Idee: Wir zeigen, dass für [mm]|z|<1[/mm] stets
[mm]\vert\sum_{k=1}^na_kz^k\vert
gilt. Also [mm]z[/mm] keine Nullstelle von [mm]f[/mm].
Angenommen es gibt eine Nullstelle [mm]z[/mm] mit [mm]f(z)=0[/mm] und [mm]\vert z \vert<1[/mm].
Mit Induktion über [mm]n[/mm]
Induktionsanfang: "n=1"
Damit haben wir
[mm]|a_1z|=a_1|z|
Induktionsvoraussetzung "n-1": Es gilt
[mm]\vert\sum_{k=1}^{n-1}a_kz^k\vert
Induktionsbehauptung "n": Es gilt
[mm]\vert\sum_{k=1}^{n}a_kz^k\vert
Induktionsschritt:
[mm]\vert\sum_{k=1}^{n}a_kz^k\vert=\vert\sum_{k=1}^{n}a_kz^{k-1}\vert\cdot \underbrace{\vert z\vert}_{<1}<\vert\sum_{k=1}^{n}a_kz^{k-1}\vert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Fr 21.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei
> [mm]f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k[/mm]
>
> ein Polynom mit Koeffizienten
>
> [mm] 0
>
> Wir zeigen: Für jede Nullstelle [mm]x^\star[/mm] von f gilt
> [mm]|x^\star|\ge 1[/mm].
>
> Beweis:
> Idee: Wir zeigen, dass für [mm]|z|<1[/mm] stets
>
> [mm]\vert\sum_{k=1}^na_kz^k\vert
>
> gilt. Also [mm]z[/mm] keine Nullstelle von [mm]f[/mm].
>
>
> Angenommen es gibt eine Nullstelle [mm]z[/mm] mit [mm]f(z)=0[/mm] und [mm]\vert z \vert<1[/mm].
>
> Mit Induktion über [mm]n[/mm]
>
> Induktionsanfang: "n=1"
> Damit haben wir
>
> [mm]|a_1z|=a_1|z|
>
>
> Induktionsvoraussetzung "n-1": Es gilt
> [mm]\vert\sum_{k=1}^{n-1}a_kz^k\vert
Hallo wieschoo,
Diese "IV" verstehe ich nicht ! Wieso [mm]
Oder meinst Du: [mm]\vert\sum_{k=1}^{n-1}a_kz^{k-1}\vert
>
> Induktionsbehauptung "n": Es gilt
> [mm]\vert\sum_{k=1}^{n}a_kz^k\vert
>
> Induktionsschritt:
>
> [mm]\vert\sum_{k=1}^{n}a_kz^k\vert=\vert\sum_{k=1}^{n}a_kz^{k-1}\vert\cdot \underbrace{\vert z\vert}_{<1}<\vert\sum_{k=1}^{n}a_kz^{k-1}\vert
Wieso gilt [mm] \vert\sum_{k=1}^{n}a_kz^{k-1}\vert
Ich denke Dein Beweis ist zu retten, wenn man es so macht:
Sei $z [mm] \in \IC$ [/mm] und |z|<1.
Behauptung: für jedes n [mm] \in \IN [/mm] gilt: ist [mm] (a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0) \in \IR^{n+1} [/mm] mit
$ [mm] 0
so gilt stets:
$ [mm] \vert\sum_{k=1}^na_kz^k\vert
So, nun mach Du mal einen ordentlichen Induktionsbeweis draus.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Fr 21.02.2014 | | Autor: | wieschoo |
Wieso sieht man den Beitrag überhaupt öffentlich?
Ich habe doch nur "Entwurf" ausgewählt.
Natürlich passt es noch nicht ganz.
Alternativer Vorschlag.
Vielleicht klappt es auch wenn man
$(1+x)f(x)$ stattdessen betrachtet und die Teleskopsumme fertig kürzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Fr 21.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wieso sieht man den Beitrag überhaupt öffentlich?
> Ich habe doch nur "Entwurf" ausgewählt.
> Natürlich passt es noch nicht ganz.
>
> Alternativer Vorschlag.
> Vielleicht klappt es auch wenn man
> [mm](1+x)f(x)[/mm] stattdessen betrachtet und die Teleskopsumme
> fertig kürzt.
Bingo ! Das ist fast der "fiese" Trick, von dem ich oben gescprochen habe.
Fast deshalb, weil man des Polynom q(z)=(1-z)p(z) betrachten sollte.
Damit funktioniert das bestens ! Mach mal.
Gruß FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Sa 22.02.2014 | | Autor: | wieschoo |
Mit [mm]g(x)=(1+x)f(x)[/mm] funktioniert es doch nicht. Dann eben:
Sei [mm]f\in \IR[X][/mm] ein Polynom vom Grad [mm]n\in \IN[/mm], also
[mm]f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k[/mm]
mit [mm] 00}[/mm]. Dann gilt für jede Nullstelle [mm]z\in\IC[/mm] von [mm]f[/mm] stets [mm]|z|\ge 1[/mm].
Beweis: Sei [mm]z\in\IC[/mm] eben eine solche Nullstelle. Dann gilt [mm]f(z)=0[/mm]. Wir definieren [mm]g(x):=(1-x)f(x)[/mm] und es gilt ebenfalls [mm]g(z)=0[/mm]. Dann ist
[mm]0=g(z)=\blue{f(z)}-\red{zf(z)}=\blue{\sum_{k=0}^na_kz^k}-\red{\sum_{k=0}^na_kz^{k+1}}[/mm]
[mm]=\blue{a_0+\sum_{k=1}^{n}a_kz^k}-\red{\sum_{k=0}^na_kz^{k+1}}[/mm]
[mm]=\blue{a_0}-\red{a_nz^{n+1}}+\blue{\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}z^{k+1}}-\red{\sum_{k=0}^{n-1}a_kz^{k+1}}[/mm]
und somit
[mm]0=\blue{a_0}-\red{a_nz^{n+1}}+\sum_{k=0}^{n-1}(\blue{a_{k+1}}-\red{a_k})z^{k+1}[/mm]
[mm]\implies \red{a_nz^{n+1}}=\blue{a_0}+\sum_{k=0}^{n-1}(\underbrace{\blue{a_{k+1}}-\red{a_k}}_{\le 0})z^{k+1}[/mm]
Angenommen [mm]|z|<1[/mm]. So gilt doch auch
[mm]\red{a_n|z^{n+1}|}\ge\blue{a_0}+\sum_{k=0}^{n-1}(\blue{a_{k+1}}-\red{a_k})[/mm]
Teleskopsumme ausnutzen ergibt
[mm]\red{a_n|z^{n+1}|}\ge\blue{a_0}-\red{a_0}+\blue{a_n}=\blue{a_n}[/mm]
Mutige dürfen jetzt durch [mm] $a_n$ [/mm] teilen. Ansonsten schreibt man noch " wegen [mm] $a_n>0$" [/mm] hinzu.
Widerspruch mit Multimediafarbe und kunterbunt(=didaktisch) aufbereitet.
Induktion sollte aber auch gehen.
Alle Angaben ohne Gewähr!
edit: Rechtschreibung eingebaut
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Sa 22.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Mit [mm]g(x)=(1+x)f(x)[/mm] funktioniert es doch nicht. Dann eben:
>
> Sei [mm]f\in \IR[X][/mm] ein Polynom vom Grad [mm]n\in \IN[/mm], also
>
> [mm]f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k[/mm]
>
> mit [mm]0
> [mm]a_i\in\IR_{>0}[/mm]. Dann gilt für jede Nullstelle [mm]z\in\IC[/mm] von
> [mm]f[/mm] stets [mm]|z|\ge 1[/mm].
>
> Beweis: Sei [mm]z\in\IC[/mm] eben eine solche Nullstelle. Dann gilt
> [mm]f(z)=0[/mm]. Wir definieren [mm]g(x):=(1-x)f(x)[/mm] und es gilt
> ebenfalls [mm]g(z)=0[/mm]. Dann ist
>
> [mm]0=g(z)=\blue{f(z)}-\red{zf(z)}=\blue{\sum_{k=0}^na_kz^k}-\red{\sum_{k=0}^na_kz^{k+1}}[/mm]
>
> [mm]=\blue{a_0+\sum_{k=1}^{n}a_kz^k}-\red{\sum_{k=0}^na_kz^{k+1}}[/mm]
>
> [mm]=\blue{a_0}-\red{a_nz^{n+1}}+\blue{\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}z^{k+1}}-\red{\sum_{k=0}^{n-1}a_kz^{k+1}}[/mm]
>
>
> und somit
>
> [mm]0=\blue{a_0}-\red{a_nz^{n+1}}+\sum_{k=0}^{n-1}(\blue{a_{k+1}}-\red{a_k})z^{k+1}[/mm]
> [mm]\implies \red{a_nz^{n+1}}=\blue{a_0}+\sum_{k=0}^{n-1}(\underbrace{\blue{a_{k+1}}-\red{a_k}}_{\le 0})z^{k+1}[/mm]
>
> Angenommen [mm]|z|<1[/mm]. So gilt doch auch
>
> [mm]\red{a_n|z^{n+1}|}\ge\blue{a_0}+\sum_{k=0}^{n-1}(\blue{a_{k+1}}-\red{a_k})[/mm]
> Teleskopsumme ausnutzen ergibt
>
> [mm]\red{a_n|z^{n+1}|}\ge\blue{a_0}-\red{a_0}+\blue{a_n}=\blue{a_n}[/mm]
>
> Mutige dürfen jetzt durch [mm]a_n[/mm] teilen. Ansonsten schreibt
> man noch " wegen [mm]a_n>0[/mm]" hinzu.
Prima gemacht !
FRED
>
> Widerspruch mit Multimediafarbe und kunterbunt(=didaktisch)
> aufbereitet.
>
> Induktion sollte aber auch gehen.
>
>
> Alle Angaben ohne Gewähr!
>
>
> edit: Rechtschreibung eingebaut
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