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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Mo 27.09.2010 | | Autor: | cantor |
Hallo zusammen,
ich hätte eine Frage zu einem Spezialfall der Noether Normalisierung und würde mich über Hinweise sehr freuen. Eine Formulierung des Noether Theorems (Spezialfall) lautet in meinem Heft
Sei $ k $ ein Körper, $ |k| = [mm] \infty [/mm] $ und $ a [mm] \subset k[x_1,...,x_n] [/mm] $ ein Ideal, $ B = [mm] k[x_1,...,x_n] [/mm] / a $
Dann gibt es einen Polynomring
$ A [mm] \cong k[x_1,...,x_d] \subseteq [/mm] B $ mit $ d [mm] \leq [/mm] n $ so dass B ganz über A ist.
Frage:
nehmen wir mal den einfachen Fall $n=1$. Dann gibt es laut dem Satz
einen Polynomring
$ A [mm] \cong k[x_1] \subseteq [/mm] B $ so dass B ganz über A ist. Wobei hier $ B = [mm] k[x_1] [/mm] / a $ für ein Ideal $a$.
Da ist doch irgendwas faul. Wie soll [mm] $k[x_1] \subseteq k[x_1] [/mm] / a$ sein, wenn in Wirklichkeit doch [mm] $k[x_1] [/mm] / a$ "kleiner" ist als [mm] $k[x_1]$
[/mm]
Meine einzige Idee hierzu wäre, dass in dem Noether Satz $n [mm] \ge [/mm] 1$ aber $d [mm] \ge [/mm] 0$ ist. Ist das so?
Danke und Viele Grüße,
cantor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Mo 27.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich hätte eine Frage zu einem Spezialfall der Noether
> Normalisierung und würde mich über Hinweise sehr freuen.
> Eine Formulierung des Noether Theorems (Spezialfall) lautet
> in meinem Heft
>
> Sei [mm]k[/mm] ein Körper, [mm]|k| = \infty[/mm] und [mm]a \subset k[x_1,...,x_n][/mm]
> ein Ideal, [mm]B = k[x_1,...,x_n] / a[/mm]
> Dann gibt es einen
> Polynomring
> [mm]A \cong k[x_1,...,x_d] \subseteq B[/mm] mit [mm]d \leq n[/mm] so dass B
> ganz über A ist.
>
> Frage:
> nehmen wir mal den einfachen Fall [mm]n=1[/mm]. Dann gibt es laut
> dem Satz
> einen Polynomring
> [mm]A \cong k[x_1] \subseteq B[/mm] so dass B ganz über A ist.
> Wobei hier [mm]B = k[x_1] / a[/mm] für ein Ideal [mm]a[/mm].
>
> Da ist doch irgendwas faul. Wie soll [mm]k[x_1] \subseteq k[x_1] / a[/mm]
> sein, wenn in Wirklichkeit doch [mm]k[x_1] / a[/mm] "kleiner" ist
> als [mm]k[x_1][/mm]
Nun, wenn $a = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] ist, dann ist [mm] $k[x_1] [/mm] / a [mm] \cong k[x_1]$.
[/mm]
Ansonsten musst du halt $d = 0$ waehlen. Schliesslich ist [mm] $k[x_1]/a$ [/mm] dann ganz ueber $k$, da in diesem Fall "ganz" einfach nur "algebraisch" bedeutet.
> Meine einzige Idee hierzu wäre, dass in dem Noether Satz [mm]n \ge 1[/mm]
> aber [mm]d \ge 0[/mm] ist. Ist das so?
Exakt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Di 28.09.2010 | | Autor: | cantor |
fein. Besten Dank.
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