Noethernormalisierung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Do 09.09.2010 | | Autor: | Krypto |
| Aufgabe | Sei K ein Körper. Bestimmen sie eine Noethernormalisierung zu dem folgenden Ring und bestimmen Sie die Krulldimension.
[mm] K[X,Y]/ [/mm] |
Hallo,
ich verstehe leider überhaupt nicht, wie die Noethernormalisierung funktioniert. Ich würde ja gerne einen Ansatz angeben, aber ich habe keinerlei Idee wie das funktionieren soll. Es muss auch nicht unbedingt die Aufgabe sein, eine andere wäre mir auch recht. Wenn jemand einen Link mit einem gut erklärten Beispiel hat, wäre mir auch schon geholfen.
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Fr 10.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei K ein Körper. Bestimmen sie eine Noethernormalisierung
> zu dem folgenden Ring und bestimmen Sie die
> Krulldimension.
>
> [mm]K[X,Y]/[/mm]
>
> ich verstehe leider überhaupt nicht, wie die
> Noethernormalisierung funktioniert. Ich würde ja gerne
> einen Ansatz angeben, aber ich habe keinerlei Idee wie das
> funktionieren soll. Es muss auch nicht unbedingt die
> Aufgabe sein, eine andere wäre mir auch recht. Wenn jemand
> einen Link mit einem gut erklärten Beispiel hat, wäre mir
> auch schon geholfen.
Nun, fuer die Noerthernormalisierung musst du doch Elemente [mm] $X_1, \dots, X_n$ [/mm] finden, so dass [mm] $K[X_1, \dots, X_n] \subseteq [/mm] R$ (bei dir ist $R = K[X, [mm] Y]/\langle X^2 [/mm] + [mm] Y^2 [/mm] + 1 [mm] \rangle$) [/mm] isomorph zum Polynomring ist und dass $R$ ganz ueber [mm] $K[X_1, \dots, X_n]$ [/mm] ist, also etwa von der Form $R = [mm] K[X_1, \dots, X_n, [/mm] z]$, wobei $f(z) = 1$ ist fuer ein normiertes $f [mm] \in K[X_1, \dots, X_n][T]$.
[/mm]
Hier musst du $n = 1$ waehlen, also ein Element aus [mm] $K[X,Y]/\langle X^2 [/mm] + [mm] Y^2 [/mm] + 1 [mm] \rangle$ [/mm] waehlen. Die Restklassen von $X$ bzw. $Y$ bieten sich als [mm] $X_1$ [/mm] an! Und was kannst du wohl als $z$ waehlen?
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:47 So 12.09.2010 | | Autor: | Krypto |
Hallo,
vielen Dank erstmal. Leider verstehe ich das wirklich nicht.
Ich habe hier ein Beispiel aus dem Skript:
Sei [mm] S=K[X,Y]/ [/mm] gegeben. [mm] X^2-Y^5=0 \Rightarrow X^2=Y^5 [/mm]
Wir wählen dann die Abbildung [mm] R=K[T]\to [/mm] S mit [mm] T\mapsto Y^5.
[/mm]
[mm] \Rightarrow R<1,...,Y^4,X,XY,XY^2,XY^3,XY^4>=S
[/mm]
[mm] X^aY^b=X^{2a'}X^lY^{5b'}Y^k=T^{a'}X^lT^{b'}Y^k [/mm] mit l [mm] \in \{0,1\}, [/mm] k [mm] \in \{0,...,4\}
[/mm]
Das ist mir leider überhaupt nicht klar. Ich weiß auch nicht so recht, wie ich das dann bei meiner Aufgabe machen soll.
Bei mir hätte ich [mm] S=K[X,Y]/. [/mm] Und mit
[mm] X^2+Y^2+1=0 \Rightarrow X^2=-(Y^2+1) [/mm] bekäme ich dann
[mm] R=K[T]\to [/mm] S mit [mm] t\mapsto -(y^5+1)??? [/mm] Und dann??
Es tut mir wirklich leid, ich komme da einfach nicht weiter.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 17.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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