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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Do 16.04.2009 | | Autor: | biic |
| Aufgabe | Ungleichung zeigen für
[mm] ||(x,y)||:=\sqrt{x^2-xy+y^2} [/mm] |
Tag zusammen.
Bei der Norm oben (ich gehe davon aus dass es eine ist) hab ich Probleme die Ungleichung zu zeigen.
Meine Idee bisher sieht so aus, dass ich die quadrate zeige, das ist ja oft einfacher als mit wurzeln zu hantieren:
[mm] (||(x,y)||+||(v,w)||)^2 [/mm] = [mm] x^2-xy+y^2 [/mm] + [mm] 2\sqrt{x^2-xy+y^2}\sqrt{v^2-vw+w^2} [/mm] + [mm] v^2-vw+w^2 \geq x^2-xy+y^2+v^2-vw+w^2
[/mm]
.
.
.
[mm] x^2+2xv+v^2-xy-xw-vy-vw+y^2+2yw+w^2
[/mm]
= [mm] (x+v)^2-(x+v)(y+w)+(y+w)^2
[/mm]
[mm] =||(x+v,y+w)||^2
[/mm]
mein problem ist nun die lücke zu füllen, da ich über die x,y,v,w nichts weiß. wäre nett wenn mir jemand einen tipp geben könnte wie ich einen schritt weiterkomme (oder doch ein gegenbeispiel finde, aber da bin ich wegen zahlreicher versuche doch recht hoffnungslos ;))
Danke für Antworten.
(Frage in keinem anderen Forum gestellt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:03 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ungleichung zeigen für
>
> [mm]||(x,y)||:=\sqrt{x^2-xy+y^2}[/mm]
> Tag zusammen.
>
> Bei der Norm oben (ich gehe davon aus dass es eine ist) hab
> ich Probleme die Ungleichung zu zeigen.
also die Definitheit und Homogenität sind Dir klar?
> Meine Idee bisher sieht so aus, dass ich die quadrate
> zeige, das ist ja oft einfacher als mit wurzeln zu
> hantieren:
>
> [mm](||(x,y)||+||(v,w)||)^2[/mm] = [mm]x^2-xy+y^2[/mm] +
> [mm]2\sqrt{x^2-xy+y^2}\sqrt{v^2-vw+w^2}[/mm] + [mm]v^2-vw+w^2 \geq x^2-xy+y^2+v^2-vw+w^2[/mm]
>
> .
> .
> .
> [mm]x^2+2xv+v^2-xy-xw-vy-vw+y^2+2yw+w^2[/mm]
> = [mm](x+v)^2-(x+v)(y+w)+(y+w)^2[/mm]
> [mm]=||(x+v,y+w)||^2[/mm]
>
> mein problem ist nun die lücke zu füllen, da ich über die
> x,y,v,w nichts weiß. wäre nett wenn mir jemand einen tipp
> geben könnte wie ich einen schritt weiterkomme (oder doch
> ein gegenbeispiel finde, aber da bin ich wegen zahlreicher
> versuche doch recht hoffnungslos ;))
ist doch okay. Wenn das Ding 'ne Norm ist, ist nur noch die Dreiecksungleichung zu prüfen. Die ist für [mm] $(x,y),\;(v,w)$ [/mm] (eigentlich sollte da ein Raum zugrundeliegen, z.B. $(x,y) [mm] \in \IR^2$?) [/mm] wegen $a [mm] \le [/mm] b+c [mm] \gdw a^2 [/mm] <= [mm] (b+c)^2$ [/mm] ($a,c, [mm] \ge [/mm] 0$) genau dann erfüllt, wenn
[mm] $$\|\underbrace{(x,y)+(v,w)}_{=(x+v,y+w)}\|^2 \le \big(\|(x,y)\|+\|(v,w)\|\big)^2\,.$$
[/mm]
(Dabei sollte auch die Addition $(x,y)+(v,w):=(x+v,y+w)$ vorher irgendwo so erklärt worden sein!)
Wir prüfen also, ob die Gleichung
[mm] $$\|\underbrace{(x,y)+(v,w)}_{=(x+v,y+w)}\|^2 \le \big(\|(x,y)\|+\|(v,w)\|\big)^2\,$$
[/mm]
für alle Paare [mm] $(x,y),\;(v,w)$ [/mm] gilt:
[mm] $$\|\underbrace{(x,y)+(v,w)}_{=(x+v,y+w)}\|^2 \le \big(\|(x,y)\|+\|(v,w)\|\big)^2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \blue{x^2}+2xv+\blue{v^2}-xy-xw-vy-vw+\blue{y^2}+2yw+\blue{w^2} \le \blue{x^2}-xy+\blue{y^2}+2\|(x,y)\|\|(v,w)\|+\blue{v^2}-vw+\blue{w^2}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw 2xv\blue{-xy}-xw-vy\blue{-vw}+2yw \le \blue{-xy}+2\|(x,y)\|\|(v,w)\|\blue{-vw}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] 2xv-xw-vy+2yw [mm] \le 2\|(x,y)\|\|(v,w)\|$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] 2xv-xw-vy+2yw [mm] \le 2\sqrt{(x^2-xy+y^2)*(v^2-vw+w^2)}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (\star)\;\;\;v(2x-y)+w(2y-x) \le 2\sqrt{(x^2-xy+y^2)*(v^2-vw+w^2)}\,.$$
[/mm]
So, entweder ist's nun zu spät, ich bin zu blind, oder keine Ahnung... ich seh' gerade auch noch nicht, wie's weitergeht. Ich lasse die Rechnung aber trotzdem mal stehen, sie ist ja nichtsdestotrotz hoffentlich nicht falsch 
Gruß,
Marcel
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Hallo biic, hallo Marcel,
Marcel, deine Antwort aufgreifend, quadriere mal die letzte Ungleichung und rechne alles aus, dann kommt man auf
[mm] $0\le 3(wx-vy)^2$
[/mm]
Nun ist das Quadrieren leider keine Äquivalenzumformung, aber wenn du den Beweis quasi andersherum von hinten nach vorne aufziehst, ausgehend von der wahren Aussage [mm] $0\le 3(wx-vy)^2$ [/mm] und entsprechend hinzubastelst, sollte das hinzubekommen sein ...
Habe ich aber im Detail nicht mehr gemacht ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachuzipus,
> Hallo biic, hallo Marcel,
>
> Marcel, deine Antwort aufgreifend, quadriere mal die letzte
> Ungleichung und rechne alles aus, dann kommt man auf
>
> [mm]0\le 3(wx-vy)^2[/mm]
das sieht doch gut aus. Am Ende steht doch bei mir sowas wie, dass noch
[mm] $$(\*)\;\;\;a \le [/mm] b$$
zu beweisen ist, wobei $b [mm] \ge [/mm] 0$. Wenn man nun [mm] $a^2 \le b^2$ [/mm] beweisen kann (was ja anscheinend gelingt, ich hatte auch schon daran gedacht, aber keine Lust und Geduld mehr gehabt, dass durchzurechnen), so liefert das doch $|a| [mm] \le [/mm] |b|$ und wegen $b [mm] \ge [/mm] 0$ dann auch $|a| [mm] \le b\,.$ [/mm] Wegen $a [mm] \le [/mm] |a|$ wäre damit [mm] $(\*)$ [/mm] bewiesen.
Jetzt hoffe ich natürlich, dass wir beide da keinen Fehler gemacht haben.
Gruß,
Marcel
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