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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 So 04.03.2012 | | Autor: | Krypto |
| Aufgabe | Sei X ein normierter Vektorraum, x,y [mm] \in [/mm] X, [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = 1, [mm] \parallel [/mm] x -y [mm] \parallel [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] < 1.
Dann gilt: [mm] \parallel [/mm] x - [mm] \bruch{y}{\parallel y\parallel}\parallel<2\varepsilon. [/mm] |
Hallo,
irgendwie bekomme ich diese Aufgabe nicht hin, obwohl das ja eigentlich nicht so schwer sein kann...
Ich hab' es mit der Dreiecksungleichung versucht, also z.B.
[mm] \parallel [/mm] x - [mm] \bruch{y}{\parallel y\parallel}\parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x - (y - y) - [mm] \bruch{y}{\parallel y\parallel}\parallel \le \parallel [/mm] x - y [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y - [mm] \bruch{y}{\parallel y\parallel} \parallel [/mm] usw.
Vielen Dank schon mal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 So 04.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei X ein normierter Vektorraum, x,y [mm]\in[/mm] X, [mm]\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel[/mm] = 1, [mm]\parallel[/mm] x -y [mm]\parallel[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] < 1.
> Dann gilt: [mm]\parallel[/mm] x - [mm]\bruch{y}{\parallel y\parallel}\parallel<2\varepsilon.[/mm]
>
> Hallo,
>
> irgendwie bekomme ich diese Aufgabe nicht hin, obwohl das
> ja eigentlich nicht so schwer sein kann...
>
> Ich hab' es mit der Dreiecksungleichung versucht, also
> z.B.
> [mm]\parallel[/mm] x - [mm]\bruch{y}{\parallel y\parallel}\parallel[/mm] =
> [mm]\parallel[/mm] x - (y - y) - [mm]\bruch{y}{\parallel y\parallel}\parallel \le \parallel[/mm]
> x - y [mm]\parallel[/mm] + [mm]\parallel[/mm] y - [mm]\bruch{y}{\parallel y\parallel} \parallel[/mm]
> usw.
das kannst Du weiter abschätzen zu
(Edit: Ich habe hier "unverschämter Weise" schon [mm] $\|y\| \ge [/mm] 1$ vorausgesetzt, was ich übersehen hatte. Eigentlich gehört im Folgenden anstatt [mm] $(1\;\;-\;1/\|y\|)$ [/mm] meist [mm] $|\;1-\;1/\|y\|\;|$ [/mm] hin! Für den Fall $0 < [mm] \|y\| [/mm] < 1$ muss man sich nochmal separat Gedanken machen!)
$$< [mm] \varepsilon +\|y\|*(1\;\;-\;1/\|y\|)\,.$$
[/mm]
Es bleibt also zu zeigen, dass [mm] $\|y\|*(1\;\;-\;1/\|y\|) \le \varepsilon\,.$ [/mm] Bzw. äquivalent dazu
[mm] $$\|y\| \le 1+\varepsilon\,,$$
[/mm]
dann bist Du fertig.
Das würde ich so beginnen:
1.) Es muss sicher
[mm] $$\|y\| \not=0$$
[/mm]
und damit $y [mm] \not=0$ [/mm] sein, da ... (Begründung?)
2.) Es gilt
[mm] $$\|y\|=\|y-x+x\| \le [/mm] ...$$
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Krypto |
Hallo, vielen, vielen Dank
Ich denke, jetzt hab' ich's:
Punkt (1) folgt meiner Meinung nach einfach aus den Normeigenschaften und bei (2) erhalte ich:
[mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] y - x + x [mm] \parallel \le \parallel [/mm] y - x [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x - y [mm] \parallel [/mm] + 1 < [mm] \varepsilon [/mm] + 1
und somit das gewünschte Ergebnis 
Irgendwie habe ich nur ein Problem mit folgender Abschätzung:
[mm] \parallel [/mm] y - [mm] \bruch{y}{\parallel y \parallel} \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] y (1 - [mm] \bruch{1}{\parallel y \parallel} [/mm] ) [mm] \parallel \le \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] (1 - [mm] \bruch{1}{\parallel y \parallel} [/mm] ) = [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] - 1
Wie genau komme ich darauf oder ist das einfach offensichtlich??
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, vielen, vielen Dank
>
> Ich denke, jetzt hab' ich's:
>
> Punkt (1) folgt meiner Meinung nach einfach aus den
> Normeigenschaften
nein - er folgt schon aus den Voraussetzungen: Wäre [mm] $y=0\,,$ [/mm] wie sollte denn dann [mm] $\|x-y\| [/mm] < 1$ sein, wenn [mm] $\|x\|=1$? [/mm]
Aber:
Du brauchst das auch nur, damit man überhaupt [mm] $1/\|y\|$ [/mm] bzw. [mm] $y/\|y\|$ [/mm] bei der Aufgabe hinschreiben kann - ich habe diese Überlegung didaktisch vielleicht schlecht platziert!
> und bei (2) erhalte ich:
>
> [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel[/mm] y - x + x [mm]\parallel \le \parallel[/mm]
> y - x [mm]\parallel[/mm] + [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel[/mm] x - y
> [mm]\parallel[/mm] + 1 < [mm]\varepsilon[/mm] + 1
>
> und somit das gewünschte Ergebnis
>
> Irgendwie habe ich nur ein Problem mit folgender
> Abschätzung:
>
> [mm]\parallel[/mm] y - [mm]\bruch{y}{\parallel y \parallel} \parallel[/mm] =
> [mm]\parallel[/mm] y (1 - [mm]\bruch{1}{\parallel y \parallel}[/mm] )
> [mm]\parallel \le \parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm] (1 -
> [mm]\bruch{1}{\parallel y \parallel}[/mm] ) = [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm]
> - 1
>
> Wie genau komme ich darauf oder ist das einfach
> offensichtlich??
Dass [mm] $\|\;\;y\;\;-\;y/\|y\|\;\;\|=|\;\;\;1\;\;-1/\|y\|\;\;\;|*\|y\|$ [/mm] ist, ist Dir klar, oder? Du kannst ja schreiben
[mm] $$y-\frac{y}{\|y\|}=\left(1-\frac{1}{\|y\|}\right)*y\,.$$
[/mm]
Wir rechnen ja in einem Vektorraum!
Damit gilt
[mm] $$\left\|y-\frac{y}{\|y\|}\right\|=\left|1-\frac{1}{\|y\|}\right|*\|y\|$$
[/mm]
Falls [mm] $\|y\| \ge 1\,,$ [/mm] so gilt [mm] $|\;\;1\;-\;\;1/\|y\|\;\;|=1-1/\|y\|$ [/mm] und dann kannst Du so weiterrechnen, wie ich es in der ersten Antwort getan habe.
Ich habe da aber was vergessen:
Wir müssen dann den Fall $0 < [mm] \|y\| [/mm] < 1$ noch separat untersuchen. Vielleicht denkst Du da auch nochmal drüber nach? Ich editiere das mal in meiner ersten Antwort, da sie nicht ganz korrekt war.
Aber vielleicht fällt Dir ja was für den Fall $0 < [mm] \|y\| [/mm] < 1$ noch ein. Ich muss nun leider gleich in die Falle ^^
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:34 Mo 05.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Hallo, vielen, vielen Dank
>
> Ich denke, jetzt hab' ich's:
>
> Punkt (1) folgt meiner Meinung nach einfach aus den
> Normeigenschaften und bei (2) erhalte ich:
>
> [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel[/mm] y - x + x [mm]\parallel \le \parallel[/mm]
> y - x [mm]\parallel[/mm] + [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel[/mm] x - y
> [mm]\parallel[/mm] + 1 < [mm]\varepsilon[/mm] + 1
>
> und somit das gewünschte Ergebnis
>
> Irgendwie habe ich nur ein Problem mit folgender
> Abschätzung:
>
> [mm]\parallel[/mm] y - [mm]\bruch{y}{\parallel y \parallel} \parallel[/mm] =
> [mm]\parallel[/mm] y (1 - [mm]\bruch{1}{\parallel y \parallel}[/mm] )
> [mm]\parallel \le \parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm] (1 -
> [mm]\bruch{1}{\parallel y \parallel}[/mm] ) = [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm]
> - 1
>
> Wie genau komme ich darauf oder ist das einfach
> offensichtlich??
ich hatte ja bereits geschrieben/ergänzt, dass man den Fall $0 < [mm] \|y\| [/mm] < 1$ nochmal separat behandeln muss. In diesem Falle ist ja nach wie vor auch zu zeigen
[mm] $$\|y\|*\left|1-\frac{1}{\|y\|}\right| \le \varepsilon\,$$
[/mm]
was hier dann aber äquivalent ist zu
[mm] $$\|y\|*\left(\frac{1}{\|y\|}-1\right) \le \varepsilon\,$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$1-\varepsilon \le \|y\|\,.$$
[/mm]
Letzteres folgt aber aus der umgekehrten Dreiecksungleichung unter den gegebenen Voraussetzungen, oder aber man verwendet halt direkt wieder die Dreiecksungleichung
[mm] $$\|x\| \le \|x-y\| [/mm] + [mm] \|y\|\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Di 06.03.2012 | | Autor: | Krypto |
Vielen Dank für deine Hilfe,
ich denke, jetzt hab' ich's
Grüße
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