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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Di 23.04.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Sei (X, [mm] \parallel*\parallel) [/mm] ein normierter Vektorraum. Zeigen Sie
[mm] |\parallel x-y\parallel [/mm] - [mm] \parallel u-v\parallel| \le \parallel x-u\parallel [/mm] + [mm] \parallel y-v\parallel \forall x,y,u,v\in [/mm] X |
Hallo.
Ich hänge schon eine Weile an dieser Aufgabe, bekomme es aber einfach nicht hin
[mm] |\parallel x-y\parallel [/mm] - [mm] \parallel u-v\parallel| [/mm] Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich auf einen nächsten Schritt kommen soll, die Beträge müssen ja irgendwie weg. Vielleicht hat jemand einen Ansatz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei (X, [mm]\parallel*\parallel)[/mm] ein normierter Vektorraum.
> Zeigen Sie
>
> [mm]|\parallel x-y\parallel[/mm] - [mm]\parallel u-v\parallel| \le \parallel x-u\parallel[/mm]
> + [mm]\parallel y-v\parallel \forall x,y,u,v\in[/mm] X
> Hallo.
>
> Ich hänge schon eine Weile an dieser Aufgabe, bekomme es
> aber einfach nicht hin
>
> [mm]|\parallel x-y\parallel[/mm] - [mm]\parallel u-v\parallel|[/mm] Ich weiß
> leider überhaupt nicht wie ich auf einen nächsten Schritt
> kommen soll, die Beträge müssen ja irgendwie weg.
> Vielleicht hat jemand einen Ansatz?
ja:
Um $|r| [mm] \le \epsilon$ [/mm] einzusehen, kann man einfach beweisen, dass
[mm] $$-\epsilon \le [/mm] r [mm] \le \epsilon$$
[/mm]
gilt. (Tatsächlich gilt sogar Äquivalenz!)
Zerlege also die Aufgabe in zwei Teile (beide sind zu beweisen!):
1. Zeige [mm] $\|x-y\|-\|u-v\| \le \|x-v\|+\|y-u\|\,.$
[/mm]
und
2. Zeige [mm] $-(\|x-v\|+\|y-u\|) \le \|x-y\|-\|u-v\|\,.$
[/mm]
Mit 1. und 2. folgt dann
[mm] $$-(\|x-v\|+\|y-u\|) \le \|x-y\|-\|u-v\| \le \|x-v\|+\|y-u\|$$
[/mm]
und damit
[mm] $$\red{|\;\;}\|x-y\|-\|u-v\|\red{\;\;|} \le \|x-v\|+\|y-u\|\,.$$
[/mm]
Tipp etwa zu 1.:
[mm] $\|x-y\|-\|u-v\| \le \|x-v\|+\|y-u\| \iff \|x-y\| \le \|x-v\|+\|y-u\|+\|u-v\|\,.$
[/mm]
Es reicht daher, die Gültigkeit der rechten Ungleichung zu begründen. Diese
folgt durch (zweifache) Anwendung der Dreiecksungleichung:
[mm] $$\|x-y\|=\|(x-v)+(v-y)\| \le \|x-v\|+\|(v-u)+(u-y)\| \le [/mm] ...$$
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei (X, [mm]\parallel*\parallel)[/mm] ein normierter Vektorraum.
> Zeigen Sie
>
> [mm]|\parallel x-y\parallel[/mm] - [mm]\parallel u-v\parallel| \le \parallel x-u\parallel[/mm]
> + [mm]\parallel y-v\parallel \forall x,y,u,v\in[/mm] X
> Hallo.
>
> Ich hänge schon eine Weile an dieser Aufgabe, bekomme es
> aber einfach nicht hin
>
> [mm]|\parallel x-y\parallel[/mm] - [mm]\parallel u-v\parallel|[/mm] Ich weiß
> leider überhaupt nicht wie ich auf einen nächsten Schritt
> kommen soll, die Beträge müssen ja irgendwie weg.
> Vielleicht hat jemand einen Ansatz?
Auch in normierten Räumen gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung:
(*) $| [mm] \quad [/mm] ||a||-||b|| [mm] \quad [/mm] | [mm] \le [/mm] ||a-b||$
Setze a:0x-y und b:=u-v, wende (*) an und dann die Dreiecksungl.
FRED
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