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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 So 27.05.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Man zeige, dass durch
||(x,y,z)|| := 3|x| + [mm] \sqrt{y^2 + z^2}
[/mm]
eine Norm auf [mm] \IR^3 [/mm] definiert wird und dass diese äquivalent zu [mm] ||.||_1 [/mm] ist(ohne resultat der Vo). |
Hallo,
Das der Ausdruck eine Norm auf [mm] \IR^3 [/mm] definiert habe ich hinbekommen.
ZuZeigen: [mm] \exists C_1, C_2 [/mm] >0
[mm] C_1 [/mm] * [mm] ||.||_1 [/mm] <= ||.|| <= [mm] C_2 ||.||_1
[/mm]
[mm] ||(x,y,z)||_1 [/mm] := |x+y+z|
Nun muss ich die Normen jeweils abschätzen um zu der anderen Norm zu kommen.
|x+y+z| <= |x| + |y+z| <= 3*|x| + |y+z| <= ..
3|x| + [mm] \sqrt{y^2 + z^2} [/mm] <= 3 |x| + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] <= ..
Aber ich weiß nicht so recht wie ich da weiter abschätzen soll.
Vlt kann mir einer eine Seite vor machen, dass ich weiß auf was es ankommt.
Tipps würden mich freuen.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 So 27.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige, dass durch
> ||(x,y,z)|| := 3|x| + [mm]\sqrt{y^2 + z^2}[/mm]
> eine Norm auf
> [mm]\IR^3[/mm] definiert wird und dass diese äquivalent zu [mm]||.||_1[/mm]
> ist(ohne resultat der Vo).
> Hallo,
>
> Das der Ausdruck eine Norm auf [mm]\IR^3[/mm] definiert habe ich
> hinbekommen.
>
> ZuZeigen: [mm]\exists C_1, C_2[/mm] >0
> [mm]C_1[/mm] * [mm]||.||_1[/mm] <= ||.|| <= [mm]C_2 ||.||_1[/mm]
>
> [mm]||(x,y,z)||_1[/mm] := |x+y+z|
Das ist nicht die 1-Norm. Das ist ja noch nichteinmal einen Norm !
[mm]||(x,y,z)||_1[/mm] := |x|+|y|+|z|
FRED
>
> Nun muss ich die Normen jeweils abschätzen um zu der
> anderen Norm zu kommen.
> |x+y+z| <= |x| + |y+z| <= 3*|x| + |y+z| <= ..
> 3|x| + [mm]\sqrt{y^2 + z^2}[/mm] <= 3 |x| + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] <= ..
>
> Aber ich weiß nicht so recht wie ich da weiter abschätzen
> soll.
> Vlt kann mir einer eine Seite vor machen, dass ich weiß
> auf was es ankommt.
> Tipps würden mich freuen.
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 So 27.05.2012 | | Autor: | quasimo |
Achso, dann ist es ein Fehler in meinen Skript.
Trotzdem komme ich mit der Abschätzung nicht zurrecht.
LG
|x|+|y|+|z| <= 3*|x| + |y|+|z| <= ..
3|x| + $ [mm] \sqrt{y^2 + z^2} [/mm] $ <= 3 |x| + $ [mm] y^2 [/mm] $ + $ [mm] z^2 [/mm] $ <= ..
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Hallo quasimo,
> |x|+|y|+|z| <= 3*|x| + |y|+|z| <= ..
> 3|x| + [mm]\sqrt{y^2 + z^2}[/mm] <= 3 |x| + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] <= ..
Die Abschätzung [mm] |y|+|z|\le\sqrt{y^2+z^2} [/mm] stimmt im Allgemeinen nicht. Betrachte dazu y=z=1.
Tipp: Finde c>0 mit [mm] |y|+|z|\leq c\sqrt{y^2+z^2}.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 So 27.05.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Ich scheitere daran die Konstante c zu finden.
Könntest du mir vlt noch einne Tipp geben?
denn |x| < [mm] |x|^2 [/mm] muss ja nicht gelten wenn |x| < 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 So 27.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
quadriere $ [mm] |y|+|z|\leq c\sqrt{y^2+z^2}. [/mm] $
und dann abschaetzen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 27.05.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
> quadriere $ [mm] |y|+|z|\leq c\sqrt{y^2+z^2}. [/mm] $
[mm] (|y|+|z|)^2 [/mm] = [mm] |y|^2 [/mm] + 2|y||z| + [mm] |z|^2 [/mm]
[mm] (c\sqrt{y^2+z^2})^2 [/mm] = [mm] c^2 [/mm] * [mm] (y^2+z^2)
[/mm]
Was hat mir das nun weitergeholfen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 So 27.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du ne Ungl zw [mm] |x^2+y^2| [/mm] und 2|xy|
Gruss leduart
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