Norm auf C([a,b]) < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [a,b] [mm] \subseteq [/mm] IR. Man zeige, dass durch [mm] ||f||_1 [/mm] := [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}, [/mm] f [mm] \in [/mm] C([a,b]), eine Norm auf C([a,b]) definiert ist. |
Hallo,
es gilt: [mm] ||f||_1 [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{n}|f_k|^1)^1 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}|f_k| [/mm] = [mm] |f_1| [/mm] + [mm] |f_2| [/mm] + ... + [mm] |f_n| [/mm]
Nun wissen wir gerade nicht so recht weiter..
Ist der Ansatz überhaupt sinnvoll?
Und kann uns jemand definieren, was die Norm auf C([a,b]) bedeutet?
Viele Grüße,
Anil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 So 01.05.2016 | | Autor: | hippias |
> Es sei [a,b] [mm]\subseteq[/mm] IR. Man zeige, dass durch [mm]||f||_1[/mm] :=
> [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx},[/mm] f [mm]\in[/mm] C([a,b]), eine Norm auf
> C([a,b]) definiert ist.
> Hallo,
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> es gilt: [mm]||f||_1[/mm] = [mm](\summe_{k=1}^{n}|f_k|^1)^1[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n}|f_k|[/mm] = [mm]|f_1|[/mm] + [mm]|f_2|[/mm] + ... + [mm]|f_n|[/mm]
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> Nun wissen wir gerade nicht so recht weiter..
> Ist der Ansatz überhaupt sinnvoll?
Nein, da die von Dir benutzte Rechenvorschrift ganz anders ist als die in der Aufgabenstellung gegebene.
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> Und kann uns jemand definieren, was die Norm auf C([a,b])
> bedeutet?
Anschaulich kann man die Norm eines Vektor als seine Länge oder seinen Abstand vom Koordinatenursprung deuten. Wie sie definiert ist, kannst Du in Deiner Vorlesungsmitschrift oder jedem Buch über Analysis finden. Teile mit welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit eine Norm vorliegt. Dann können wir überlegen, wie Du überprüfen kannst, ob sie für die Abbildung aus der Aufgabenstellung erfüllt sind.
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> Viele Grüße,
> Anil
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Hallo,
die Norm ist bei uns im Skript folgendermaßen definiert d(z,q) = [mm] ||z-q||_p [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{m} |z_j-q_j|^p)^\bruch{1}{p}.
[/mm]
Wir haben bei der Aufgabe allerdings keinen Abstand gegeben, oder wie soll man [mm] ||f||_1 [/mm] verstehen?
Außerdem haben wir im Skript nichts zu der Verbindung von Norm und Integral gefunden. Muss man vllt das Integral irgendwie umschreiben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Mo 02.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> die Norm ist bei uns im Skript folgendermaßen definiert
> d(z,q) = [mm]||z-q||_p[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{m} |z_j-q_j|^p)^\bruch{1}{p}.[/mm]
ja, das ist eine Metrik auf [mm] \IK^m
[/mm]
in der Aufgabe liegt aber ein völlig anderer Raum zugrunde, der Raum der stetigen Funktionen auf [a,b]
du sollst zeigen, dass auf diesem Raum durch [mm] ||f||_1 [/mm] eine Norm definiert wird
fred
>
> Wir haben bei der Aufgabe allerdings keinen Abstand
> gegeben, oder wie soll man [mm]||f||_1[/mm] verstehen?
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> Außerdem haben wir im Skript nichts zu der Verbindung von
> Norm und Integral gefunden. Muss man vllt das Integral
> irgendwie umschreiben?
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Wie ist denn der Raum der stetigen Funktionen definiert?
finden dazu leider nichts im Skript... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mo 02.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wie ist denn der Raum der stetigen Funktionen definiert?
> finden dazu leider nichts im Skript... :(
das sind alle reellwertigen Funktionen, die auf [a,b] definiert und stetig sind
fred
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