Norm eines komplexen Ausdrucks < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich versuche mich gerade an der "manuellen" Lösung einer Fouriertransformation für die Errechnung eines Amplitudenspektrums eines Signals. Dabei muss der Betrag eines komplexen Ausdrucks gebildet werden:
[mm]A_X(\omega, T) = \frac{1}{2 \pi T} \left| \sum\limits_{i=1}^3 \frac{A_i(\omega_i \cdot \cos(\alpha_i) + \mathrm{j} \omega \sin(\alpha_i) - e^{-\mathrm{j}\omega T}(\omega_i \cdot \cos(\alpha_i + \omega_i T) + \mathrm{j} \omega \cdot \sin(\alpha_i + \omega_i T))}{\omega_i^2-\omega^2} \right|[/mm]
An dieser Stelle weiß ich jedoch nicht weiter. Ich kenne das Vorgehen zur Ermittlung des Betrages bei einer simplen Komplexen Zahl [mm]a+\mathrm{j}b[/mm], aber kann mir keinen Reim für diese Gleichung daraus machen. Insbesondere das in der Gleichung vorkommende [mm]e^{-\mathrm{j}\omega T}[/mm] sorgt für besondere Verwirrung....
Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann. Vielen Dank!
P.S.: Die gleiche Frage habe ich bereits ![[]](/images/popup.gif) hier gestellt, dort konnte man mir allerdings nicht weiterhelfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo,
Hallo,
> ich versuche mich gerade an der "manuellen" Lösung einer
> Fouriertransformation für die Errechnung eines
> Amplitudenspektrums eines Signals. Dabei muss der Betrag
> eines komplexen Ausdrucks gebildet werden:
>
> [mm]A_X(\omega, T) = \frac{1}{2 \pi T} \left| \sum\limits_{i=1}^3 \frac{A_i(\omega_i \cdot \cos(\alpha_i) + \mathrm{j} \omega \sin(\alpha_i) - e^{-\mathrm{j}\omega T}(\omega_i \cdot \cos(\alpha_i + \omega_i T) + \mathrm{j} \omega \cdot \sin(\alpha_i + \omega_i T))}{\omega_i^2-\omega^2} \right|[/mm]
>
> An dieser Stelle weiß ich jedoch nicht weiter. Ich kenne
> das Vorgehen zur Ermittlung des Betrages bei einer simplen
> Komplexen Zahl [mm]a+\mathrm{j}b[/mm], aber kann mir keinen Reim
> für diese Gleichung daraus machen. Insbesondere das in der
> Gleichung vorkommende [mm]e^{-\mathrm{j}\omega T}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sorgt für
> besondere Verwirrung....
>
> Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann. Vielen Dank!
Da hast Du Dir ja etwas vorgenommen! Zwar ist die Rechnung an sich sehr leicht, aber auch SEHR SEHR viel Schreibarbeit. Ich mache jetzt mal den Anfang und lege gleich los:
$A_X(\omega, T) = \frac{1}{2 \pi T} \left| \sum\limits_{i=1}^3 \frac{A_i(\omega_i \cdot \cos(\alpha_i) + \mathrm{j} \omega \sin(\alpha_i) - e^{-\mathrm{j}\omega T}(\omega_i \cdot \cos(\alpha_i + \omega_i T) + \mathrm{j} \omega \cdot \sin(\alpha_i + \omega_i T))}{\omega_i^2-\omega^2} \right|$
$=\frac{1}{2 \pi T} \left|\frac{A_1(\omega_1 \cdot \cos(\alpha_1) + \mathrm{j} \omega \sin(\alpha_1) - e^{-\mathrm{j}\omega T}(\omega_1 \cdot \cos(\alpha_1 + \omega_1 T) + \mathrm{j} \omega \cdot \sin(\alpha_1 + \omega_1 T))}{\omega_1^2-\omega^2}\right.$
$+\frac{A_2(\omega_2 \cdot \cos(\alpha_2) + \mathrm{j} \omega \sin(\alpha_2) - e^{-\mathrm{j}\omega T}(\omega_2 \cdot \cos(\alpha_2 + \omega_2 T) + \mathrm{j} \omega \cdot \sin(\alpha_2 + \omega_2 T))}{\omega_2^2-\omega^2}$
$\left.+\frac{A_3(\omega_3 \cdot \cos(\alpha_3) + \mathrm{j} \omega \sin(\alpha_3) - e^{-\mathrm{j}\omega T}(\omega_3 \cdot \cos(\alpha_3 + \omega_3 T) + \mathrm{j} \omega \cdot \sin(\alpha_3 + \omega_3 T))}{\omega_3^2-\omega^2}\right|$
Was ich an dieser Stelle für die Berechnung wissen muss (bzw. vielmehr solltest Du es für Deine eigenen Berechnungen wissen) ist, welche Deiner Variablen ($A_j,\omega_j,\alpha_j,T,\mathrm{j},\omega$, $j=1,2,3$) komplex und welche reell sind? Dies ist für die Berechnung zwar nicht wesentlich, macht Dir das Leben aber etwas einfacher, da Du nicht ständig den Real- und Imaginärteil mitschleppen musst. Dies ist der Grund, weshalb ich an dieser Stelle den ersten Einschnitt gemacht habe.
Für die Berechnungen musst Du dann nur die Folgenden Hilfsmittel verwenden:
(1): $(a+ib)\cdot(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bd)$ für $a,b,c,d\in\IR$
(2): $(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)$ für $a,b,c,d\in\IR$
(3): $\left|x+iy\right|=\sqrt{x^2+y^2}$ für $x,y\in\IR$
(4): $e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot(\cos y+i\sin y)$ für $x,y\in\IR$
(5): $\sin(x+iy)=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)$ für $x,y\in\IR$
(6): $\cos(x+iy)=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)$ für $x,y\in\IR$
Diese werden Dich dann zum Ziel führen. Viel Glück dabei!! Und viel Spass bei der Schreibarbeit (überprüfe Deine Zwischenschritte zwischendurch bestenfalls mit Maple).
Lieben Gruss
Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:24 So 27.09.2009 | | Autor: | R_Schwarz |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort und die damit verbundene Mühe.
> Da hast Du Dir ja etwas vorgenommen! Zwar ist die Rechnung
> an sich sehr leicht, aber auch SEHR SEHR viel
> Schreibarbeit. Ich mache jetzt mal den Anfang und lege
> gleich los:
>
> [mm]A_X(\omega, T) = \frac{1}{2 \pi T} \left| \sum\limits_{i=1}^3 \frac{A_i(\omega_i \cdot \cos(\alpha_i) + \mathrm{j} \omega \sin(\alpha_i) - e^{-\mathrm{j}\omega T}(\omega_i \cdot \cos(\alpha_i + \omega_i T) + \mathrm{j} \omega \cdot \sin(\alpha_i + \omega_i T))}{\omega_i^2-\omega^2} \right|[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{2 \pi T} \left|\frac{A_1(\omega_1 \cdot \cos(\alpha_1) + \mathrm{j} \omega \sin(\alpha_1) - e^{-\mathrm{j}\omega T}(\omega_1 \cdot \cos(\alpha_1 + \omega_1 T) + \mathrm{j} \omega \cdot \sin(\alpha_1 + \omega_1 T))}{\omega_1^2-\omega^2}\right.[/mm]
>
> [mm]+\frac{A_2(\omega_2 \cdot \cos(\alpha_2) + \mathrm{j} \omega \sin(\alpha_2) - e^{-\mathrm{j}\omega T}(\omega_2 \cdot \cos(\alpha_2 + \omega_2 T) + \mathrm{j} \omega \cdot \sin(\alpha_2 + \omega_2 T))}{\omega_2^2-\omega^2}[/mm]
>
> [mm]\left.+\frac{A_3(\omega_3 \cdot \cos(\alpha_3) + \mathrm{j} \omega \sin(\alpha_3) - e^{-\mathrm{j}\omega T}(\omega_3 \cdot \cos(\alpha_3 + \omega_3 T) + \mathrm{j} \omega \cdot \sin(\alpha_3 + \omega_3 T))}{\omega_3^2-\omega^2}\right|[/mm]
Die Auflösung des Summenzeichens an dieser Stelle ist trivial. Vielmehr kommt es mir darauf an, für beliebig viele Harmonische der Fourier-Transformation eine allgemeingültige Formel herzuleiten (d.h. anstatt der momentanen oberen Grenze der Summe von 3 auf beliebige n erweitern zu können).
> Was ich an dieser Stelle für die Berechnung wissen muss
> (bzw. vielmehr solltest Du es für Deine eigenen
> Berechnungen wissen) ist, welche Deiner Variablen
> ([mm]A_j,\omega_j,\alpha_j,T,\mathrm{j},\omega[/mm], [mm]j=1,2,3[/mm])
> komplex und welche reell sind? Dies ist für die Berechnung
> zwar nicht wesentlich, macht Dir das Leben aber etwas
> einfacher, da Du nicht ständig den Real- und Imaginärteil
> mitschleppen musst. Dies ist der Grund, weshalb ich an
> dieser Stelle den ersten Einschnitt gemacht habe.
Bitte nicht verwechseln! Die von dir genannten Variablen tragen den Index i, nicht j (handelt sich -- denke ich -- aber um einen Tippfehler, da du ja das Summenzeichen korrekt aufgelöst hast). Alle vorkommenden Variablen sind [mm]\in \IR[/mm]; [mm]j[/mm] bezeichnet die imaginäre Einheit [mm]j = \sqrt{-1}[/mm].
> Für die Berechnungen musst Du dann nur die Folgenden
> Hilfsmittel verwenden:
>
> (1): [mm](a+ib)\cdot(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bd)[/mm] für [mm]a,b,c,d\in\IR[/mm]
> (2): [mm](a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)[/mm] für [mm]a,b,c,d\in\IR[/mm]
> (3): [mm]\left|x+iy\right|=\sqrt{x^2+y^2}[/mm] für [mm]x,y\in\IR[/mm]
> (4): [mm]e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x\cdot(\cos y+i\sin y)[/mm]
> für [mm]x,y\in\IR[/mm]
> (5): [mm]\sin(x+iy)=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)[/mm] für
> [mm]x,y\in\IR[/mm]
> (6): [mm]\cos(x+iy)=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)[/mm] für
> [mm]x,y\in\IR[/mm]
>
> Diese werden Dich dann zum Ziel führen. Viel Glück
> dabei!! Und viel Spass bei der Schreibarbeit (überprüfe
> Deine Zwischenschritte zwischendurch bestenfalls mit
> Maple).
Genau hier liegt der Hase im Pfeffer. Wenn ich versuche, die Gleichung algebraisch bspw. mit Mathematica zu lösen, d.h. den Betrag zu bilden, kommt ein CAS zu keiner Lösung. Bei genauerem Nachdenken fällt mir auch keine Möglichkeit ein, die Gleichung mit umformenden Mitteln zu lösen, wenn denn die Parameter unbekannt sind.
>
> Lieben Gruss
> Denny
Ich habe unter dieser URL noch meine Ausarbeitung dazu eingestellt, evtl. wird dann der Sinn und Zweck bzw. die Entstehung dieser Formel deutlich: http://www.rene-schwarz.com/temp/amplitudenspektrum_matheraum.pdf
Nochmals für deine Mühen dankend verbleibe ich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 So 27.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
Guten Morgen,
dann starten wir mal einen zweiten Ansatz: Seien [mm] $\omega,T,\alpha_i,\omega_i,A_i,t\in\IR$ [/mm] und [mm] $n\in\IN$
[/mm]
$ [mm] A_X(\omega, [/mm] T) = [mm] \frac{1}{2 \pi T} \left| \sum\limits_{i=1}^n \frac{A_i(\omega_i \cdot \cos(\alpha_i) + \mathrm{j} \omega \sin(\alpha_i) - e^{-\mathrm{j}\omega T}(\omega_i \cdot \cos(\alpha_i + \omega_i T) + \mathrm{j} \omega \cdot \sin(\alpha_i + \omega_i T))}{\omega_i^2-\omega^2} \right| [/mm] $
[mm] $=\frac{1}{2\pi T}\left|\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{A_i\omega_i\cos(\alpha_i)-A_i\omega_i\cos(-\omega t)\cos(\alpha_i+\omega_i T)}{\omega_i^2-\omega^2}\right)+j\cdot\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{A_i\omega\sin(\alpha_i)-A_i\omega_i\sin(-\omega t)\cos(\alpha_i+\omega_i T)+A_i\omega\sin(\alpha_i+\omega_i T)}{\omega_i^2-\omega^2}\right)\right|$
[/mm]
[mm] $\overset{!}{=}\frac{1}{2\pi T}\left|A+j\cdot B\right|$
[/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{A^2+B^2}}{2\pi T}$
[/mm]
wobei [mm] $A,B\in\IR$. [/mm] Ich habe Dir das ganze mal in Real und Imaginärteil zerlegt. Nun musst Du nachsehen, wie Du $A$ und $B$ eventuell vereinfachen kannst, um daraus eine geschlossene Formel für die Summe Deiner $n$ Summanden herzuleiten. Ich komme auf Anhieb auf keine brauchbare Lösung und bezweifel es mittlerweile auch, dass sich die Summe derartig vereinfachen lässt, wie Du es gerne hättest. Viele Hilfsmittel hat man an dieser Stelle ja nicht gerade (z.B. Additionstheoreme). Falls Du allerdings weitere Eigenschaften Deiner Unbekannten hast (d.h. z.B. wie stehen sie zueinander im Verhältnis), dann liese sich dieser Ausdruck noch etwas vereinfachen, würde aber vermutlich dennoch zu keiner geschlossenen Formel führen.
Lieben Gruß und noch viel Glück
Denny
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Hallo,
abermals vielen Dank für deine Mühen. Warum ich selbst noch nicht auf die Idee gekommen bin, mal alles aufzudröseln, weiß ich auch nicht. Aber genau die Trennung zwischen Real- und Imaginärteil habe ich gesucht.
Beim Durchrechnen komme ich allerdings auf eine andere Gleichung am Ende. Auch wenn es vermessen klingt: Könntest du deine Rechnung noch einmal prüfen? Ich komme auf folgende Gleichung (solltest du keinen Fehler in deiner Rechnung finden, dann reiche ich meinen Rechenweg nach, um ihn ggf. auf Fehler zu prüfen):
$ [mm] =\frac{1}{2\pi T}\left|\left(A_i\sum_{i=1}^{n}\frac{\omega_i\cos(\alpha_i)-\omega_i\cos(-\omega t)\cos(\alpha_i+\omega_i T)+\omega \sin(-\omega T) \sin(\alpha_i+\omega_i T)}{\omega_i^2-\omega^2}\right)+j\cdot\left(A_i\sum_{i=1}^{n}\frac{\omega\sin(\alpha_i)-\omega_i\sin(-\omega t)\cos(\alpha_i+\omega_i T)-\omega\sin(\alpha_i+\omega_i T)\cos(-\omega T)}{\omega_i^2-\omega^2}\right)\right| [/mm] $
Bei der Gelegenheit habe ich dann auch noch einen Fehler in der Usprungsgleichung entdeckt: Einige kleine t hatte ich nicht durch die Integrationsgrenze T ersetzt. Das hatte aber (bis auf die geänderte Großschreibung) keine weiteren Auswirkungen.
Mit bestem Gruß,
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Mo 28.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo,
Hallo,
> abermals vielen Dank für deine Mühen. Warum ich selbst
> noch nicht auf die Idee gekommen bin, mal alles
> aufzudröseln, weiß ich auch nicht. Aber genau die
> Trennung zwischen Real- und Imaginärteil habe ich
> gesucht.
>
> Beim Durchrechnen komme ich allerdings auf eine andere
> Gleichung am Ende. Auch wenn es vermessen klingt: Könntest
> du deine Rechnung noch einmal prüfen?
Jupp, ich habe eine Fehler gemacht!
> Ich komme auf
> folgende Gleichung (solltest du keinen Fehler in deiner
> Rechnung finden, dann reiche ich meinen Rechenweg nach, um
> ihn ggf. auf Fehler zu prüfen):
>
> [mm]=\frac{1}{2\pi T}\left|\left(A_i\sum_{i=1}^{n}\frac{\omega_i\cos(\alpha_i)-\omega_i\cos(-\omega t)\cos(\alpha_i+\omega_i T)+\omega \sin(-\omega T) \sin(\alpha_i+\omega_i T)}{\omega_i^2-\omega^2}\right)+j\cdot\left(A_i\sum_{i=1}^{n}\frac{\omega\sin(\alpha_i)-\omega_i\sin(-\omega t)\cos(\alpha_i+\omega_i T)-\omega\sin(\alpha_i+\omega_i T)\cos(-\omega T)}{\omega_i^2-\omega^2}\right)\right|[/mm]
Du hast auch einen kleinen Fehler gemacht. Die [mm] $A_i$'s [/mm] haengen vom Laufindex $i$ Deiner Summe ab. Daher kannst Du die [mm] $A_i$'s [/mm] nicht vor das Summenzeichen ziehen. Weiter muessen die zwei $t$'s noch durch $T$'s ersetzt werden. Sonst stimmt Dein Ergebnis aber, d.h. richtig ist
[mm] $=\frac{1}{2\pi T}\left|\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{A_i(\omega_i\cos(\alpha_i)-\omega_i\cos(-\omega T)\cos(\alpha_i+\omega_i T)+\omega \sin(-\omega T) \sin(\alpha_i+\omega_i T))}{\omega_i^2-\omega^2}\right)+j\cdot\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{A_i(\omega\sin(\alpha_i)-\omega_i\sin(-\omega T)\cos(\alpha_i+\omega_i T)-\omega\sin(\alpha_i+\omega_i T)\cos(-\omega T))}{\omega_i^2-\omega^2}\right)\right|$
[/mm]
> Bei der Gelegenheit habe ich dann auch noch einen Fehler in
> der Usprungsgleichung entdeckt: Einige kleine t hatte ich
> nicht durch die Integrationsgrenze T ersetzt. Das hatte
> aber (bis auf die geänderte Großschreibung) keine
> weiteren Auswirkungen.
>
>
> Mit bestem Gruß,
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Mo 28.09.2009 | | Autor: | R_Schwarz |
Hallo,
vielen Dank für deine Antworten und deine freundliche Hilfe. Das war insgesamt ja eine schwierige Geburt ;o) Umso mehr freut es mich, dass jetzt alles stimmt.
Noch einmal vielmals dankend,
René
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