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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:43 Di 23.09.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Es bezeichne [mm] $C^2_0(a,b)$ [/mm] den Vektorraum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen mit kompakten Träger, d.h. für [mm] $f\in C^2_0(a,b)$ [/mm] existieren [mm] $\alpha,\beta\in (a,b)\quad \alpha<\beta$, [/mm] mit $f(x)=0$ für [mm] $x\notin[\alpha,\beta]$
[/mm]
Beweisen Sie, dass
[mm] $||f||=\int_{b}^a [/mm] |f [mm] ''(x)|\, [/mm] dx$
eine Norm definiert. |
Hi,
um zu zeigen, dass $||f||$ eine Norm definiert, muss ich ja zeigen, dass die Definitheit, Homogenität und die Dreiecksungleichung gilt.
Die Homogenität war ganz leicht:
$||cf||=|c|||f||$
[mm] $||cf||=\int_{b}^a [/mm] |cf [mm] ''(x)|\, dx=\int_{b}^a [/mm] |c||f [mm] ''(x)|\, dx=|c|\int_{b}^a [/mm] |f [mm] ''(x)|\, [/mm] dx$
Mit der linearität des Integrals.
Auch die Dreiecksungleichung sollte relativ einfach zu zeigen sein:
Seien $f, [mm] g\in C_0^2(a,b)$
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $||f+g||\leq [/mm] ||f||+||g||$
[mm] $||f+g||=\int_{b}^a [/mm] |(f+g) [mm] ''(x)|\, dx=\int_{b}^a [/mm] |f ''(x)+g [mm] ''(x)|\, dx\leq\int_{b}^a [/mm] |f ''(x)|+|g [mm] ''(x)|\, [/mm] dx$
Mit der Dreiecksungleichung.
[mm] $=\int_{b}^a [/mm] |f [mm] ''(x)|\, dx+\int_{b}^a [/mm] |g [mm] ''(x)|\, [/mm] dx$
Da das Integral additiv ist.
$=||f||+||g||$
Also
[mm] $||f+g||\leq||f||+||g||$
[/mm]
Wäre das so erstmal korrekt?
Schwierigkeiten habe ich mit der Definitheit, dass für
$||f||=0$ bereits $f=0$ sein muss. Was hier ja bedeuten würde, dass die Funktion f konstant Null wäre. Oder bedeutet dies, dass f '' konstant Null sein würde?
Denn im Prinzip ist das Integral über die zweite Ableitung von f ja auch dann Null, wenn f(x)=2x wäre, oder ähnliches. Zumindest auch wenn f(x)=5 was ja nicht Null ist...
Da f eine Funktion mit kompakten Träger ist, gibt es ja ohne hin ein Intervall für das die Funktion bereits konstant Null ist. Nämlich für
[mm] $a<\alpha-\epsilon$ [/mm] und [mm] $\beta+\epsilon
Man kann also aufgrund der Intervalladditivität das Integral
[mm] \int_{b}^a [/mm] |f [mm] ''(x)|\, [/mm] dx zerlegen in
[mm] $\int_{a}^{\alpha} [/mm] |f [mm] ''(x)|\, dx+\int_{\alpha}^{\beta} [/mm] |f [mm] ''(x)|\, dx+\int_{\beta}^{b} [/mm] |f [mm] ''(x)|\, [/mm] dx$
Nun ist die Funktion für [mm] $x\notin[\alpha,\beta]$ [/mm] bereits Null. Daher müssen wir nur noch
[mm] $\int_{\alpha}^{\beta} [/mm] |f [mm] ''(x)|\, [/mm] dx$
betrachten.
Weil f '' stetig ist, ist es integrierbar.
Also gibt es eine Stammfunktion f ' mit
[mm] $\int_{\alpha}^{\beta} [/mm] |f [mm] ''(x)|\, dx=f'(\beta)-f '(\alpha)=0$
[/mm]
Naja, das sieht nicht so aus als würde es mich weiterbringen...
Wahrscheinlich nicht mal zu gebrauchen bisher...
Danke.
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Guten Morgen,
> Es bezeichne [mm]C^2_0(a,b)[/mm] den Vektorraum der zweimal stetig
> differenzierbaren Funktionen mit kompakten Träger, d.h.
> für [mm]f\in C^2_0(a,b)[/mm] existieren [mm]\alpha,\beta\in (a,b)\quad \alpha<\beta[/mm],
> mit [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]x\notin[\alpha,\beta][/mm]
>
> Beweisen Sie, dass
>
> [mm]||f||=\int_{b}^a |f ''(x)|\, dx[/mm]
Zunächst: Sind die Integralgrenzen wirklich richtig?
>
> eine Norm definiert.
> Hi,
>
> um zu zeigen, dass [mm]||f||[/mm] eine Norm definiert, muss ich ja
> zeigen, dass die Definitheit, Homogenität und die
> Dreiecksungleichung gilt.
>
> Die Homogenität war ganz leicht:
>
> [mm]||cf||=|c|||f||[/mm]
>
> [mm]||cf||=\int_{b}^a |cf ''(x)|\, dx=\int_{b}^a |c||f ''(x)|\, dx=|c|\int_{b}^a |f ''(x)|\, dx[/mm]
Hier bist du meiner Meinung nach etwas zu schnell. Du solltest lieber noch erwähnen, dass eben (cf)''(x)=xf''(x) ist, d.h. also, dass auch die Differentiation homogen ist.
>
> Mit der linearität des Integrals.
>
> Auch die Dreiecksungleichung sollte relativ einfach zu
> zeigen sein:
>
> Seien [mm]f, g\in C_0^2(a,b)[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm]||f+g||\leq ||f||+||g||[/mm]
>
> [mm]||f+g||=\int_{b}^a |(f+g) ''(x)|\, dx=\int_{b}^a |f ''(x)+g ''(x)|\, dx\leq\int_{b}^a |f ''(x)|+|g ''(x)|\, dx[/mm]
>
> Mit der Dreiecksungleichung.
>
> [mm]=\int_{b}^a |f ''(x)|\, dx+\int_{b}^a |g ''(x)|\, dx[/mm]
>
> Da das Integral additiv ist.
>
> [mm]=||f||+||g||[/mm]
>
> Also
>
> [mm]||f+g||\leq||f||+||g||[/mm]
Ok.
>
> Wäre das so erstmal korrekt?
>
> Schwierigkeiten habe ich mit der Definitheit, dass für
>
> [mm]||f||=0[/mm] bereits [mm]f=0[/mm] sein muss. Was hier ja bedeuten würde,
Du musst zeigen:
1. [mm] \Vert f\Vert\ge0
[/mm]
2. [mm] \Vert f\Vert=0\gdw [/mm] f=0
Da erste ist ganz einfach.
Die Rückrichtung von 2. ist auch klar. Für die Hinrichtung nutze aus, dass der Integrand stets positiv oder Null ist.
> dass die Funktion f konstant Null wäre. Oder bedeutet
> dies, dass f '' konstant Null sein würde?
> Denn im Prinzip ist das Integral über die zweite Ableitung
> von f ja auch dann Null, wenn f(x)=2x wäre, oder
> ähnliches. Zumindest auch wenn f(x)=5 was ja nicht Null
> ist...
>
> Da f eine Funktion mit kompakten Träger ist, gibt es ja
> ohne hin ein Intervall für das die Funktion bereits
> konstant Null ist. Nämlich für
>
> [mm]a<\alpha-\epsilon[/mm] und [mm]\beta+\epsilon
>
> Man kann also aufgrund der Intervalladditivität das
> Integral
>
> [mm]\int_{b}^a[/mm] |f [mm]''(x)|\,[/mm] dx zerlegen in
>
> [mm]\int_{a}^{\alpha} |f ''(x)|\, dx+\int_{\alpha}^{\beta} |f ''(x)|\, dx+\int_{\beta}^{b} |f ''(x)|\, dx[/mm]
>
> Nun ist die Funktion für [mm]x\notin[\alpha,\beta][/mm] bereits
> Null. Daher müssen wir nur noch
>
> [mm]\int_{\alpha}^{\beta} |f ''(x)|\, dx[/mm]
>
> betrachten.
>
> Weil f '' stetig ist, ist es integrierbar.
> Also gibt es eine Stammfunktion f ' mit
>
> [mm]\int_{\alpha}^{\beta} |f ''(x)|\, dx=f'(\beta)-f '(\alpha)=0[/mm]
Hier hast du den Betrag gnadenlos unterschlagen.
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> Naja, das sieht nicht so aus als würde es mich
> weiterbringen...
> Wahrscheinlich nicht mal zu gebrauchen bisher...
>
> Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:19 Di 23.09.2014 | | Autor: | YuSul |
Hi, du hast recht, die Integralgrenzen sind vertauscht. Das der Fehler immer auftritt ist auf Copy & Paste zurück zuführen.
Das ist eine gute Anmerkung zu der Homogenität, werde darauf zukünftig achten.
Richtig, ich habe den Betrag bei der Integration unterschlagen, weshalb ich an der Stelle auch nicht mehr weiter gemacht habe.
Zu deinem Ansatz:
Ich bin mir immer noch nicht sicher, was [mm] $||f||=0\Leftrightarrow [/mm] f=0$
bedeutet. Heißt das, dass [mm] $f(x)\equiv [/mm] 0$ oder $f [mm] ''(x)\equiv [/mm] 0$
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> Hi, du hast recht, die Integralgrenzen sind vertauscht. Das
> der Fehler immer auftritt ist auf Copy & Paste zurück
> zuführen.
Habe ich mir schon so gedacht. Gut aber, dass wir das noch einmal kurz geklärt haben.
>
> Das ist eine gute Anmerkung zu der Homogenität, werde
> darauf zukünftig achten.
>
> Richtig, ich habe den Betrag bei der Integration
> unterschlagen, weshalb ich an der Stelle auch nicht mehr
> weiter gemacht habe.
>
> Zu deinem Ansatz:
>
> Ich bin mir immer noch nicht sicher, was
> [mm]||f||=0\Leftrightarrow f=0[/mm]
>
> bedeutet. Heißt das, dass [mm]f(x)\equiv 0[/mm] oder [mm]f ''(x)\equiv 0[/mm]
Es bedeutet, genau das was dort steht: f(x)=0
Mit Worten: Verschwindet die Norm, so ist f=0.
Warum: Du betrachtest eine Norm definiert auf den Raum aller zweimal stetig diffbaren Funktionen. Die Norm ist ja eine Abbildung [mm] N(\cdot). [/mm] Du steckst eine Funktion rein. Was mit der Funktion dann gemacht liegt in der Bildungsvorschrift.
Daher ist also in der Tat zu zeigen: [mm] N(f)=0\Rightarrow{f=0}
[/mm]
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Di 23.09.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, wobei ich das immer noch ein wenig merkwürdig finde.
Wenn ich die Funktion f(x)=0 habe und zweimal differenziere, dann ist natürlich auch f ''(x)=0. Was ich daran nun merkwürdig finde ist, dass es ja auch so ist wenn ich eine lineare Funktion hätte.
f(x)=x
Also ich will darauf hinaus, dass ich irgendwie mir gerade nicht vorstellen kann, dass dies eindeutig ist.
Also [mm] $\int_a^b [/mm] |f [mm] ''(x)|\, dx=0\Rightarrow [/mm] f(x)=0$
[mm] $||f||\geq [/mm] 0$ ist trivial, da wir ja über eine Funktion im Betrag integrieren. Das Integral ist also immer nicht negativ.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Di 23.09.2014 | | Autor: | hippias |
> Ok, wobei ich das immer noch ein wenig merkwürdig finde.
> Wenn ich die Funktion f(x)=0 habe und zweimal
> differenziere, dann ist natürlich auch f ''(x)=0. Was ich
> daran nun merkwürdig finde ist, dass es ja auch so ist
> wenn ich eine lineare Funktion hätte.
>
> f(x)=x
Ja, schon, aber Du musst die weiteren Bedingungen, die an $f$ gestellt werden, beruecksichtigen. Also:
Wenn $f''$ stetig ist und [mm] $\int_{a}^{b} [/mm] |f''|dx=0$, dann folgt, dass $f''$ [mm] $\ldots$. [/mm] Was folgt damit fuer $f'$ und $f$? Bringe nun den Traeger ins Spiel.
>
> Also ich will darauf hinaus, dass ich irgendwie mir gerade
> nicht vorstellen kann, dass dies eindeutig ist.
>
> Also [mm]\int_a^b |f ''(x)|\, dx=0\Rightarrow f(x)=0[/mm]
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> [mm]||f||\geq 0[/mm] ist trivial, da wir ja über eine Funktion im
> Betrag integrieren. Das Integral ist also immer nicht
> negativ.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:11 Mi 24.09.2014 | | Autor: | YuSul |
Wenn
[mm] \int_a^b [/mm] |f [mm] ''(x)|\, [/mm] dx=0, dann muss schon |f ''(x)|=0 sein.
Damit wäre f ' konstant und f maximal linear.
Da für f aber gilt, dass es für [mm] $x\notin [\alpha,\beta]$ [/mm] gleich Null ist, kann f nicht linear sein, weil sonst müsste [mm] $\alpha=\beta$ [/mm] gelten, da eine lineare Funktion nur in einem bestimmten Punkt Null sein kann, aber nicht in einem Intervall.
Es gilt aber [mm] $\alpha<\beta$, [/mm] also ist f nicht linear. Daher muss f ebenfalls Konstant sein und [mm] $f\equiv [/mm] 0$ gelten. Denn wenn f "anderweitig" Konstant wäre, könnte f natürlich ebenfalls nicht Null sein in einem Intervall. Das kann nur erfüllt sein wenn f schon die Nullabbildung ist.
"[...] mit kompakten Träger, d.h. für [mm] $f\in C^2_0(a,b)$ [/mm] existieren [mm] $\alpha,\beta\in (a,b)\quad \alpha<\beta$, [/mm] mit $f(x)=0$ für [mm] $x\notin[\alpha,\beta]$"
[/mm]
Dies ist also so zu verstehen, dass f innerhalb des Intervalls [mm] $[\alpha,\beta]$
[/mm]
ebenfalls Null sein darf. (In diesem Fall sogar sein muss)
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Hiho,
du meinst das völlig richtige, schreibst aber viel zu viel Text. Das geht viel prägnanter:
$f'' [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] f(x) = c_1x [mm] +c_2$ [/mm] für [mm] $c_1,c_2 \in\IR$
[/mm]
Nun gilt aber für alle Funktionen $f(a)=f(b) = 0$.
Was folgt daraus für [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2, [/mm] wenn [mm] $a\not= [/mm] b$?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mi 24.09.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank. So geht es natürlich deutlich besser, oder prägnanter.
Es folgt natürlich [mm] $c_1=c_2=0$
[/mm]
Ich hätte noch eine Frage zu den "kompakten Trägern".
Was genau versteht man nun darunter? Einfach das eine Funktion in einem gewissen Intervall Null ist?
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Hi,
> Vielen Dank. So geht es natürlich deutlich besser, oder
> prägnanter.
>
> Es folgt natürlich [mm]c_1=c_2=0[/mm]
>
> Ich hätte noch eine Frage zu den "kompakten Trägern".
>
> Was genau versteht man nun darunter?
In Worten: Der Träger von f ist der Abschluss der Menge, wo die Funktion keine Nullstelle hat.
> Einfach das eine
> Funktion in einem gewissen Intervall Null ist?
Das ist keine gute Formulierung.
Mal als Test für dich:
Bestimme den Träger von
a) [mm] f(x)=x^2-4
[/mm]
b) [mm] h(x)=\sin{x}
[/mm]
c) [mm] k(x)=e^x
[/mm]
(Funktionen sind jeweils auf dem maximalen Definitionsbereich zu betrachten).
Die Eigenschaft der Kompaktheit des Trägers ist ein zusätzlcihes Attribut. Für das Vertsändnis des Begriffs des Trägers ist es aber nicht wirklich notwendig.
Liebe Grüße
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Hiho,
> Ich hätte noch eine Frage zu den "kompakten Trägern".
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> Was genau versteht man nun darunter? Einfach das eine Funktion in einem gewissen Intervall Null ist?
ein bisschen unmathematisch kann man sagen, dass der Träger der Bereich ist, wo "was abgeht", die Funktion also Dinge tut.
Außerhalb des Trägers verschwindet die Funktion, ist also konstant Null.
Gruß,
Gono
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