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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mo 16.11.2009 | | Autor: | bobby |
Hallo Leute,
ich muss diesen Satz hier mit Beweis verstehen, da ich einige Punkte nicht ganz nachvollziehen kann, würde es mir sehr helfen, wenn sich das mal jemand anschaut und mir vielleicht näher erklären kann...
Satz:
Sei R Dedekindring.
Für jedes Ideal A von R sei R/A endlich.
Dann gilt für Ideale A, B von R: N(A)N(B)=N(AB), d.h. die Norm ist multiplikativ.
(N(A):=|R/A|)
Beweis:
Wir beweisen die Behauptung für den Fall, dass B=p Primideal ist. Wegen der eindeutigen Primidealfaktorzerlegung in Dedekindringen folgt dann die ganze Behauptung.
Wegen der eindeutigen Primidealfaktorzerlegung und wegen dem Satz
(Die Teilbarkeit von Idealen wird definiert durch: A|B genau dann, wenn es existiert ein Ideal T von R mit AT=B. Dann gilt: A|B genau dann, wenn B Teilmenge/Gleich A)
gilt Ap Teilmenge(Ungleich) A Teilmenge/Gleich R.
(Dieses Teilmenge-Ungleich versteh ich nicht, kann ich nicht nachvollziehen wie das aus den gegebenen Bedingungen folgt…)
Nach dem Satz von Lagrange folgt
N(Ap)=[R:Ap]=[R:A][A:Ap]=N(A)N(p)
(Das zweite „=“ ist doch dabei der Langrange, oder?)
Zu zeigen bleibt: N(p)=|A:Ap| (Ist |…| gleichbedeutend mit […]?)
Das Primideal p ist maximal, also ist R/p ein Körper.
Fasse A/Ap auf als R/p-Vektorraum vermöge (w + p)(a + Ap):= wa + Ap
mit w aus R, a aus A.
Zu zeigen ist, dass die Zuordnungsvorschrift wohldefiniert ist:
Sei w’ + p = w + p , also w’ = w + s mit einem s aus p.
Sei a’ + Ap = a + Ap , also a’ = a + b mit einem b aus Ap.
Dann folgt w’a’ = wa + wb + as + bs
Wegen wb aus Ap, as aus p, bs aus p folgt wb + as + bs aus Ap.
(Diesen letzten Satz, d.h. dass die Elemente daraus sind, kann ich nicht richtig sehen…)
Daraus folgt dann das die Zuordnung wohldefiniert ist.
Nun wird gezeigt: Der R/p-Vektorraum A/Ap besitzt die Dimension 1, also |R/p|=N(p) Elemente.
(Das versteh ich nicht, warum hat er Dim 1 und wie folgt das andere??)
Wegen Ap Teilmenge-Ungleich A enthält der Vektorraum nicht nur die Null (Warum?), die Dimension ist also >= 1.
Annahme: Die Dimension des R/p-Vektorraums ist >=2.
Dann existiert ein nichttrivialer Unterraum V (ist das immer so, wenn die Dim 2 oder mehr ist? Warum?).
Also {0} Teilmenge-Ungleich V Teilmenge-Ungleich A/Ap. (*)
Die Elemente aus V sind Nebenklassen von Ap.
Sei t:={a| a + Ap aus V} die Vereinigung dieser Nebenklassen.
Wegen (*) ist dann Ap Teilmenge-Ungleich t Teilmenge-Ungleich A (**).
(Wie kommt das zusatnde?)
Ferner ist t ein Ideal von R.
Ein Ideal t mit der Eigenschaft (**) kann aber nach dem obigen Satz über die Teilbarkeit von Idealen nicht existieren.
(Warum kann das nicht existieren? Nur wegen dem Ungleich, oder wie?)
Daraus folgt nun das die Dimension 1 ist und damit der Rest der Behauptung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo bobby!
> ich muss diesen Satz hier mit Beweis verstehen, da ich
> einige Punkte nicht ganz nachvollziehen kann, würde es mir
> sehr helfen, wenn sich das mal jemand anschaut und mir
> vielleicht näher erklären kann...
>
> Satz:
> Sei R Dedekindring.
> Für jedes Ideal A von R sei R/A endlich.
> Dann gilt für Ideale A, B von R: N(A)N(B)=N(AB), d.h. die
> Norm ist multiplikativ.
> (N(A):=|R/A|)
>
> Beweis:
> Wir beweisen die Behauptung für den Fall, dass B=p
> Primideal ist. Wegen der eindeutigen
> Primidealfaktorzerlegung in Dedekindringen folgt dann die
> ganze Behauptung.
>
> Wegen der eindeutigen Primidealfaktorzerlegung und wegen
> dem Satz
> (Die Teilbarkeit von Idealen wird definiert durch: A|B
> genau dann, wenn es existiert ein Ideal T von R mit AT=B.
> Dann gilt: A|B genau dann, wenn B Teilmenge/Gleich A)
> gilt Ap Teilmenge(Ungleich) A Teilmenge/Gleich R.
Wenn du den Formeleditor benutzen wuerdest, waer das einfacher zu lesen.
> (Dieses Teilmenge-Ungleich versteh ich nicht, kann ich
> nicht nachvollziehen wie das aus den gegebenen Bedingungen
> folgt…)
Nun: es ist $A$ ganz offensichtlich Teiler von $A*p$. Nach dem Satz ist dies aber genau dann der Fall, wenn $A * p [mm] \subseteq [/mm] A$.
Wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung ist jedoch $A*p [mm] \neq [/mm] A$, womit also $A*p [mm] \subsetneqq [/mm] A$ gilt.
> Nach dem Satz von Lagrange folgt
> N(Ap)=[R:Ap]=[R:A][A:Ap]=N(A)N(p)
>
> (Das zweite „=“ ist doch dabei der Langrange, oder?)
Ja.
Aber das dritte Gleichheitszeichen gilt doch noch nicht? Das kommt doch erst jetzt:
> Zu zeigen bleibt: N(p)=|A:Ap| (Ist |…| gleichbedeutend
> mit […]?)
Man verwendet das manchmal als Alternative dazu, ja. Aber da oben $[ ]$ steht sollte das hier auch stehen.
> Das Primideal p ist maximal, also ist R/p ein Körper.
> Fasse A/Ap auf als R/p-Vektorraum vermöge (w + p)(a +
> Ap):= wa + Ap
> mit w aus R, a aus A.
> Zu zeigen ist, dass die Zuordnungsvorschrift wohldefiniert
> ist:
> Sei w’ + p = w + p , also w’ = w + s mit einem s aus
> p.
> Sei a’ + Ap = a + Ap , also a’ = a + b mit einem b aus
> Ap.
> Dann folgt w’a’ = wa + wb + as + bs
> Wegen wb aus Ap, as aus p, bs aus p folgt wb + as + bs aus
> Ap.
>
> (Diesen letzten Satz, d.h. dass die Elemente daraus sind,
> kann ich nicht richtig sehen…)
Wegen $s [mm] \in [/mm] p$ und $a [mm] \in [/mm] A$ ist $a s [mm] \in [/mm] A p$.
Wegen $s [mm] \in [/mm] p$ und $b [mm] \in [/mm] A p$ ist $b s [mm] \in [/mm] A [mm] p^2 \subseteq [/mm] A p$.
Wegen $w [mm] \in [/mm] R$ und $b [mm] \in [/mm] A p$ ist $w b [mm] \in [/mm] A p$.
Damit ist $a s + b s + w b [mm] \in [/mm] A p$, da Ideale Untergruppen sind.
> Daraus folgt dann das die Zuordnung wohldefiniert ist.
>
> Nun wird gezeigt: Der R/p-Vektorraum A/Ap besitzt die
> Dimension 1, also |R/p|=N(p) Elemente.
>
> (Das versteh ich nicht, warum hat er Dim 1 und wie folgt
> das andere??)
Das [mm] $\dim_{R/p} [/mm] A/Ap = 1$ ist wird im Folgenden gezeigt. Was meinst du mit "das andere"? Dass $|A/Ap| = |R/p|$ ist? Das folgt aus [mm] $\dim_{R/p} [/mm] A/Ap = 1$.
> Wegen Ap Teilmenge-Ungleich A enthält der Vektorraum nicht
> nur die Null (Warum?),
Wie ist $A / A p$ denn definiert?
Beachte nun, dass $A p [mm] \subsetneqq [/mm] A$ ist.
> die Dimension ist also >= 1.
> Annahme: Die Dimension des R/p-Vektorraums ist >=2.
> Dann existiert ein nichttrivialer Unterraum V (ist das
> immer so, wenn die Dim 2 oder mehr ist? Warum?).
Ja. Nimm einfach ein Element [mm] $\neq [/mm] 0$ und betrachte den davon erzeugten Unterraum: dieser hat Dimension 1.
> Also {0} Teilmenge-Ungleich V Teilmenge-Ungleich A/Ap.
> (*)
> Die Elemente aus V sind Nebenklassen von Ap.
> Sei t:={a| a + Ap aus V} die Vereinigung dieser
> Nebenklassen.
> Wegen (*) ist dann Ap Teilmenge-Ungleich t
> Teilmenge-Ungleich A (**).
> (Wie kommt das zusatnde?)
Wie kommt was zustande? Das [mm] $\subseteq$? [/mm] Warum es [mm] $\neq$ [/mm] ist?
> Ferner ist t ein Ideal von R.
> Ein Ideal t mit der Eigenschaft (**) kann aber nach dem
> obigen Satz über die Teilbarkeit von Idealen nicht
> existieren.
>
> (Warum kann das nicht existieren? Nur wegen dem Ungleich,
> oder wie?)
Wenn es ein Ideal $t$ mit $A p [mm] \subsetneqq [/mm] t [mm] \subsetneqq [/mm] A$ gibt, dann gibt es Ideale [mm] $q_1, q_2$ [/mm] mit $A p = t [mm] q_1$ [/mm] und $t = A [mm] q_2$ [/mm] nach dem obigen Satz. Daraus folgt $p = [mm] q_1 q_2$ [/mm] (warum?). Kannst du hier einen Widerspruch erkennen?
> Daraus folgt nun das die Dimension 1 ist und damit der Rest
> der Behauptung.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Di 17.11.2009 | | Autor: | bobby |
vielen dank für die schnelle antwort!
ich hab grad noch ein paar fragen/anmerkungen dazu...
> > (Diesen letzten Satz, d.h. dass die Elemente daraus sind,
> > kann ich nicht richtig sehen…)
>
> Wegen [mm]s \in p[/mm] und [mm]a \in A[/mm] ist [mm]a s \in A p[/mm].
>
> Wegen [mm]s \in p[/mm] und [mm]b \in A p[/mm] ist [mm]b s \in A p^2 \subseteq A p[/mm].
>
> Wegen [mm]w \in R[/mm] und [mm]b \in A p[/mm] ist [mm]w b \in A p[/mm].
>
> Damit ist [mm]a s + b s + w b \in A p[/mm], da Ideale Untergruppen
> sind.
>
Also stimmte das so gar nicht, wie ich das geschrieben habe, dass as [mm] \in [/mm] p und bs [mm] \in [/mm] p sind? die müssen also aus Ap sein?
So wäre es für mich auch verständlich, ich habe nicht gesehen, warum die nur aus p sein sollten...
> > Also {0} Teilmenge-Ungleich V Teilmenge-Ungleich A/Ap.
> > (*)
> > Die Elemente aus V sind Nebenklassen von Ap.
> > Sei t:={a| a + Ap aus V} die Vereinigung dieser
> > Nebenklassen.
> > Wegen (*) ist dann Ap Teilmenge-Ungleich t
> > Teilmenge-Ungleich A (**).
> > (Wie kommt das zusatnde?)
>
> Wie kommt was zustande? Das [mm]\subseteq[/mm]? Warum es [mm]\neq[/mm] ist?
>
Ja, ich denke [mm]\neq[/mm] wird einfach aus dem anderen übertragen, aber ich weis nicht wie ich von (*) auf die Form (**) komme.
> > Ferner ist t ein Ideal von R.
> > Ein Ideal t mit der Eigenschaft (**) kann aber nach dem
> > obigen Satz über die Teilbarkeit von Idealen nicht
> > existieren.
> >
> > (Warum kann das nicht existieren? Nur wegen dem Ungleich,
> > oder wie?)
>
> Wenn es ein Ideal [mm]t[/mm] mit [mm]A p \subsetneqq t \subsetneqq A[/mm]
> gibt, dann gibt es Ideale [mm]q_1, q_2[/mm] mit [mm]A p = t q_1[/mm] und [mm]t = A q_2[/mm]
> nach dem obigen Satz. Daraus folgt [mm]p = q_1 q_2[/mm] (warum?).
> Kannst du hier einen Widerspruch erkennen?
>
ok, ich kann t ja durch die Form t=A [mm] q_2[/mm] [/mm] ersetzen und dann ist [mm]p = q_1 q_2[/mm]. der widerspruch ist, dass p primideal ist und nicht mehr zerlegt werden kann...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > (Diesen letzten Satz, d.h. dass die Elemente daraus sind,
> > > kann ich nicht richtig sehen…)
> >
> > Wegen [mm]s \in p[/mm] und [mm]a \in A[/mm] ist [mm]a s \in A p[/mm].
> >
> > Wegen [mm]s \in p[/mm] und [mm]b \in A p[/mm] ist [mm]b s \in A p^2 \subseteq A p[/mm].
>
> >
> > Wegen [mm]w \in R[/mm] und [mm]b \in A p[/mm] ist [mm]w b \in A p[/mm].
> >
> > Damit ist [mm]a s + b s + w b \in A p[/mm], da Ideale Untergruppen
> > sind.
> >
>
> Also stimmte das so gar nicht, wie ich das geschrieben
> habe, dass as [mm]\in[/mm] p und bs [mm]\in[/mm] p sind? die müssen also aus
> Ap sein?
Nun, in $p$ sind sie auch, aber auch in $A p$. Und dass sie in $A p$ sind braucht man hier.
> > > Also {0} Teilmenge-Ungleich V Teilmenge-Ungleich A/Ap.
> > > (*)
> > > Die Elemente aus V sind Nebenklassen von Ap.
> > > Sei t:={a| a + Ap aus V} die Vereinigung dieser
> > > Nebenklassen.
> > > Wegen (*) ist dann Ap Teilmenge-Ungleich t
> > > Teilmenge-Ungleich A (**).
> > > (Wie kommt das zusatnde?)
> >
> > Wie kommt was zustande? Das [mm]\subseteq[/mm]? Warum es [mm]\neq[/mm] ist?
>
> Ja, ich denke [mm]\neq[/mm] wird einfach aus dem anderen
> übertragen, aber ich weis nicht wie ich von (*) auf die
> Form (**) komme.
Betrachte die Abbildung [mm] $\pi [/mm] : A [mm] \to [/mm] A p$. Dann ist $A p = [mm] \pi^{-1}(\{ 0 \})$, [/mm] $t = [mm] \pi^{-1}(V)$ [/mm] und $A = [mm] \pi^{-1}(A/Ap)$.
[/mm]
Dass die Urbildabbildung (bei surjektiven [mm] $\pi$) [/mm] solche echten Inklusionsketten erhaelt kannst du dir jetzt ganz allgemein ueberlegen.
> > > Ferner ist t ein Ideal von R.
> > > Ein Ideal t mit der Eigenschaft (**) kann aber nach
> dem
> > > obigen Satz über die Teilbarkeit von Idealen nicht
> > > existieren.
> > >
> > > (Warum kann das nicht existieren? Nur wegen dem Ungleich,
> > > oder wie?)
> >
> > Wenn es ein Ideal [mm]t[/mm] mit [mm]A p \subsetneqq t \subsetneqq A[/mm]
> > gibt, dann gibt es Ideale [mm]q_1, q_2[/mm] mit [mm]A p = t q_1[/mm] und [mm]t = A q_2[/mm]
> > nach dem obigen Satz. Daraus folgt [mm]p = q_1 q_2[/mm] (warum?).
> > Kannst du hier einen Widerspruch erkennen?
>
> ok, ich kann t ja durch die Form t=A [mm]q_2[/mm][/mm] ersetzen und dann
> ist [mm]p = q_1 q_2[/mm]. der widerspruch ist, dass p primideal ist
> und nicht mehr zerlegt werden kann...
Genau.
LG Felix
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