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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Fr 20.08.2010 | | Autor: | hula |
| Aufgabe | | Sei $\ E [mm] \subset [/mm] K $ eine Körpererweiterung mit $\ |E| = [mm] p^n=q$ [/mm] mit $\ p$ prim und $\ n$ eine natürliche Zahl. Der Grad der Erweiterung sei ebenfalls endlich und gleich m. Zeigen Sie, dass die Erweiterung galois ist. |
Hallöchen!
Ich würde gerne obige Aussage zeigen. Nun für endliche Erweiterung weiss ich, dass es genügt, wenn $\ K $ ein Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $\ f [mm] \in [/mm] E[X] $ ist. So weit bin ich gekommen:
Da $\ E $ endlich ist, folgt, dass der Frobeniushomomorphismus surjektiv ist (wie im Beweis Klassifikation endlicher Körper). Daher ist der Körper $\ E $ vollkommen. (folgt aus einem Satz von Steinitz). Dies bedeutet wiederum, dass $\ E [mm] \subset [/mm] K$ separabel ist. Nun ich weiss ja aus dem Klassifikationssatz, dass der Körper $\ E $ bis auf Isomorphie eindeutig ist und ein Zerfällungskörper eines Polynoms $\ g [mm] \in \IF_{p}[X]$ [/mm] ist. Kann ich jetzt daraus schliesse: $\ [mm] \IF_{p}[X] \subset [/mm] E[X] [mm] \subset [/mm] K[X]$. Also ist auch K Zerfällungskörper dieses Polynoms. Und wenn nicht, wie geht es sonst? Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Fr 20.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]\ E \subset K[/mm] eine Körpererweiterung mit [mm]\ |E| = p^n=q[/mm]
> mit [mm]\ p[/mm] prim und [mm]\ n[/mm] eine natürliche Zahl. Der Grad der
> Erweiterung sei ebenfalls endlich und gleich m. Zeigen Sie,
> dass die Erweiterung galois ist.
>
> Ich würde gerne obige Aussage zeigen. Nun für endliche
> Erweiterung weiss ich, dass es genügt, wenn [mm]\ K[/mm] ein
> Zerfällungskörper eines separablen Polynoms [mm]\ f \in E[X][/mm]
> ist. So weit bin ich gekommen:
>
> Da [mm]\ E[/mm] endlich ist, folgt, dass der Frobeniushomomorphismus
> surjektiv ist (wie im Beweis Klassifikation endlicher
> Körper). Daher ist der Körper [mm]\ E[/mm] vollkommen. (folgt aus
> einem Satz von Steinitz). Dies bedeutet wiederum, dass [mm]\ E \subset K[/mm]
> separabel ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun ich weiss ja aus dem
> Klassifikationssatz, dass der Körper [mm]\ E[/mm] bis auf
> Isomorphie eindeutig ist und ein Zerfällungskörper eines
> Polynoms [mm]\ g \in \IF_{p}[X][/mm] ist. Kann ich jetzt daraus
> schliesse: [mm]\ \IF_{p}[X] \subset E[X] \subset K[X][/mm]. Also ist
> auch K Zerfällungskörper dieses Polynoms. Und wenn nicht,
> wie geht es sonst? Danke für die Hilfe!
So geht das nicht, da $K$ nicht Zerfaellungskoerper von $g$ ist, sondern ein Oberkoerper davon! (Falls $m > 1$ ist, ein echter.) Beachte doch, dass $K$ ebenfalls ein endlicher Koerper ist (warum?). Du brauchst schon ein Polynom, was auf $K$ zugeschnitten ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Fr 20.08.2010 | | Autor: | hula |
> So geht das nicht, da [mm]K[/mm] nicht Zerfaellungskoerper von [mm]g[/mm]
> ist, sondern ein Oberkoerper davon! (Falls [mm]m > 1[/mm] ist, ein
> echter.) Beachte doch, dass [mm]K[/mm] ebenfalls ein endlicher
> Koerper ist (warum?). Du brauchst schon ein Polynom, was
> auf [mm]K[/mm] zugeschnitten ist.
>
> LG Felix
>
Naja der Grund warum $\ K $ ebenfalls ein endlicher Körper ist, ist weil er ein endlicher Vektorraum über einem endlichen Körper ist.
Naja, er sollte ja demnach gelten $\ |K| = [mm] (p^n)^m [/mm] = [mm] q^m [/mm] $. Also ist $\ K$ Zerfällungskörper des Polynoms $\ [mm] X^{q^m}-X \in F_p[X]$ [/mm] und somit habe ich die Eigenschaft Normal auch, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Fr 20.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > So geht das nicht, da [mm]K[/mm] nicht Zerfaellungskoerper von [mm]g[/mm]
> > ist, sondern ein Oberkoerper davon! (Falls [mm]m > 1[/mm] ist, ein
> > echter.) Beachte doch, dass [mm]K[/mm] ebenfalls ein endlicher
> > Koerper ist (warum?). Du brauchst schon ein Polynom, was
> > auf [mm]K[/mm] zugeschnitten ist.
>
> Naja der Grund warum [mm]\ K[/mm] ebenfalls ein endlicher Körper
> ist, ist weil er ein endlicher Vektorraum über einem
> endlichen Körper ist.
> Naja, er sollte ja demnach gelten [mm]\ |K| = (p^n)^m = q^m [/mm].
> Also ist [mm]\ K[/mm] Zerfällungskörper des Polynoms [mm]\ X^{q^m}-X \in F_p[X][/mm]
> und somit habe ich die Eigenschaft Normal auch, richtig?
Exakt :)
LG Felix
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