Normale Körpererw. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 So 21.12.2008 | | Autor: | Turis |
Hallo!
Ich höre dieses Semester Algebra I und wir fangen gerade mit Galios an. Ich stecke allerdings noch bei einem Problem zu normalen Körpererweiterungen fest:
Wenn ich eine Körpererweiterung L/K betrachte und L hat die Form [mm] \IQ(a), [/mm] so muss ich doch das Minimalpolynom von a finden und schauen, ob es über L komplett in Linearfaktoren zerfällt. L/K ist normal genau dann wenn das klappt.
Klappt das nicht, dann ist L/K nicht normal.
Stimmt das so?
Was mache ich aber nun, wenn L die Form [mm] \IQ(a,b,c,...) [/mm] (oder von mir aus zunächst nur [mm] \IQ(a,b) [/mm] ) hat?
Bestimme ich hier die einzelnen Minipolys (also von a und b) und schaue ob die zerfallen?
In diesem Zusammenhang ist mir noch eine weitere Frage untergekommen: Welchen Grad hat eigentlich zum Beispiel das Polynom [mm] X^2 [/mm] + [mm] Y*X^2 [/mm] - X*Y - 3X + 4Y?
Das Polynom ist jetzt kein spezielles, das hab ich mir gerade so überlegt um das Problem deutlicher zu machen. Bei Polynomen mit nur einer Variabel lese ich den Grad einfach wie gewohnt ab, aber was mache ich bei mehreren Variabeln? Oder gibt es hier so etwas wie einen Grad gar nicht mehr?
Viele Grüße und Danke!
Turis
(Ich habe diese Frage bisher nur in diesem Forum gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mo 22.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich höre dieses Semester Algebra I und wir fangen gerade
> mit Galios an. Ich stecke allerdings noch bei einem Problem
> zu normalen Körpererweiterungen fest:
>
> Wenn ich eine Körpererweiterung L/K betrachte und L hat die
> Form [mm]\IQ(a),[/mm] so muss ich doch das Minimalpolynom von a
> finden und schauen, ob es über L komplett in Linearfaktoren
> zerfällt. L/K ist normal genau dann wenn das klappt.
> Klappt das nicht, dann ist L/K nicht normal.
> Stimmt das so?
Ja.
> Was mache ich aber nun, wenn L die Form [mm]\IQ(a,b,c,...)[/mm]
> (oder von mir aus zunächst nur [mm]\IQ(a,b)[/mm] ) hat?
> Bestimme ich hier die einzelnen Minipolys (also von a und
> b) und schaue ob die zerfallen?
Ja, das kannst du so machen. Wenn eins davon nicht zerfaellt, ist die Erweiterung nicht normal.
> In diesem Zusammenhang ist mir noch eine weitere Frage
> untergekommen: Welchen Grad hat eigentlich zum Beispiel das
> Polynom [mm]X^2[/mm] + [mm]Y*X^2[/mm] - X*Y - 3X + 4Y?
> Das Polynom ist jetzt kein spezielles, das hab ich mir
> gerade so überlegt um das Problem deutlicher zu machen. Bei
> Polynomen mit nur einer Variabel lese ich den Grad einfach
> wie gewohnt ab, aber was mache ich bei mehreren Variabeln?
Es gibt dort nicht den Grad. Du kannst es als Polynom in $X$ ueber [mm]R[Y][/mm] auffassen ($R$ irgend ein Ring der die Koeffizienten enthaelt, hier z.B. [mm] $\IZ$ [/mm] oder [mm] $\IQ$), [/mm] dann hat es einen Grad; hier naemlich 2. Wenn du es als Polynom in $Y$ auffasst, hat es Grad 1.
> Oder gibt es hier so etwas wie einen Grad gar nicht mehr?
Es gibt verschiedene verallgemeinerungen des Gradbegriffes, etwa den Multigrad oder den Grad bzgl. einer Monomordnung.
LG Felix
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