Normale einer Hyperebene < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe folgendes Problem, bei dem ich gerade seit Stunden nicht so recht auf nen formalen Beweis komme :(
Wir betrachten affin unabhängige Vektoren [mm] A^1,...,A^d \in \IR^d.
[/mm]
Für die Komponenten der Vektoren gilt:
[mm] A^i_i [/mm] = 0, sowie [mm] A^i_j [/mm] > 0 für alle i [mm] \not= [/mm] j
Bsp: [mm] A^1=(0,1,2)^T, A^2=(1,0,1)^T, A^3=(2,2,0)
[/mm]
Meine Behauptung ist, dass für die Normale n der affinen Hülle dieser Punkte (d.h. die Hyperebene, die alle Punkte [mm] A^1,...,A^n [/mm] enthält) folgendes gilt:
n > 0 (komponentenweise) (bzw. natürlich n < 0, wenn man die Normale in die andere Richtung anträgt)
Leider krieg ich irgendwie gerade keine Idee für nen Beweis hin :(
Ich hab mal ein Bild für den drei-dimensionalen Fall in den Anhang gestellt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bin über sämtliche Kommentare sehr dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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so ... ich hätte jetzt eine Idee ...
Sei [mm] P:=conv(A^1,...A^n).
[/mm]
P kann man als Polytop ansehen und damit sich der linearen Optimierung bedienen ...
Kanten des Polytops sind [mm] conv(A^i,A^j)
[/mm]
[mm] A^i [/mm] sind Lösungen von linearen Programmen:
min [mm] (e^i)^T [/mm] x
u.d.N. x [mm] \in [/mm] P
Dann gibt es ein v [mm] \in cone(e^i,e^j), [/mm] sodass [mm] conv(A^i,A^j) [/mm] Lösungsmenge von
min v^Tx
u.d.N. x [mm] \in [/mm] P
ist. Das könnte man dann induktiv so fortsetzen, dass man schließlich ein n [mm] \in cone(e^1,...e^d) [/mm] hat, sodass das ganze Polytop P Lösungsmenge von
min n^Tx
u.d.N. x [mm] \in [/mm] P
ist. Damit hätten wir die gesuchte Normale mit echt positiven Komponenten.
Könnte das so passen?
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> Wir betrachten affin unabhängige Vektoren [mm]A^1,...,A^d \in \IR^d.[/mm]
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> Für die Komponenten der Vektoren gilt:
> [mm]A^i_i[/mm] = 0, sowie [mm]A^i_j[/mm] > 0 für alle i [mm]\not=[/mm] j
>
> Bsp: [mm]A^1=(0,1,2)^T, A^2=(1,0,1)^T, A^3=(2,2,0)[/mm]
>
> Meine Behauptung ist, dass für die Normale n der affinen
> Hülle dieser Punkte (d.h. die Hyperebene, die alle Punkte
> [mm]A^1,...,A^n[/mm] enthält) folgendes gilt:
>
> n > 0 (komponentenweise) (bzw. natürlich n < 0, wenn man
> die Normale in die andere Richtung anträgt)
>
> Leider krieg ich irgendwie gerade keine Idee für nen
> Beweis hin :(
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich denke nicht daß man das wird beweisen können.
Gehen wir in den [mm] \IR^3 [/mm] und nehmen die Punkte
[mm] A_1(0,0,2), A_1(0,-2,0), A_3(2, [/mm] 0, 0).
Diese Punkte spannen die Ebene mit der Gleichung x-y+z=2 auf, ein Normalenvektor dieser Ebene ist [mm] \vektor{1\\-1\\1}, [/mm] und man wird ihn nicht überreden können, nur positive oder nur negative Einträge zu haben.
Oder meinst Du etwas anderes?
Gruß v. Angela
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> Ich hab mal ein Bild für den drei-dimensionalen Fall in
> den Anhang gestellt.
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Bin über sämtliche Kommentare sehr dankbar
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo Angela, danke für deine Antwort.
Dein Beispiel erfüllt die Voraussetzung
[mm] A_i^i=0 [/mm] und vor allem [mm] A_i^j>0 [/mm]
nicht.
Diese Voraussetzung ist natürlich essentiell für meine Behauptung :)
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Hallo,
nimm die Punkte
A(0|2|0)
B(1|0|1)
C(4|2|0).
Die Ebene ist wie zuvor x-y+z=2,
der Normalenvektor enthält pos. und neg. Einträge.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
das Beispiel genügt leider immer noch nicht den Voraussetzungen,
da [mm] A_3=C_3 [/mm] = 0 ist
ich fordere, dass auf jeder der Ebenen [mm] {x_i=0} [/mm] genau ein Punkt [mm] A^i [/mm] liegt, d.h. insbesondere, dass kein Punkt auf den Koordinatenachsen liegen darf.
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Weiter geht unser Pingpong:
nimm die Punkte
A(0|2|4)
B(1|0|1)
C(4|2|0).
Die Ebene ist wie zuvor x-y+z=2,
der Normalenvektor enthält pos. und neg. Einträge.
Gruß v. Angela
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Das PingPong hat ein Ende.
Dank dir vielmals, Angela
auch mal wieder ein Fall für "warum bin ich da nicht selbst draufgekommen" ;)
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