Normalenableitung Polarform < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:00 Fr 02.10.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich moechte meine PDG gerne (anstelle der kartesischen) durch Polarkoordinaten beschreiben. Allerdings scheine ich bei der Umformung der Randbedingungen Schwierigkeiten zu haben. Folgender Sachverhalt liegt vor:
[mm] $B_R(0)\subset\IR^2$ [/mm] bezeichne einen Kreis mit Radius $R>0$ mit Mittelpunkt $0$. Ich moechte nun die folgenden Randbedingungen umformen
(1): [mm] $u\vektor{x_1 \\ x_2}=0$ $\forall\,\vektor{x_1 \\ x_2}\in\partial B_R(0)$
[/mm]
(2): [mm] $\frac{\partial u}{\partial n}\vektor{x_1 \\ x_2}=0$ $\forall\,\vektor{x_1 \\ x_2}\in\partial B_R(0)$
[/mm]
wobei [mm] $\frac{\partial}{\partial n}$ [/mm] die aussere Normalenableitung bezeichnet, d.h. falls [mm] $\vec{n}\vektor{x_1 \\ x_2}$ [/mm] den Normalenvektor im Punkt [mm] $\vektor{x_1 \\ x_2}$ [/mm] bezeichnet, so haben wir
[mm] $\frac{\partial u}{\partial n}\vektor{x_1 \\ x_2}=\nabla u\vektor{x_1 \\ x_2}\cdot\vec{n}\vektor{x_1 \\ x_2}$ $\forall\,\vektor{x_1 \\ x_2}\in\partial B_R(0)$
[/mm]
zu (1): Die Umformung von (1) ist einfach
(3) [mm] $u\left(R,\phi\right)=0$ $\forall\,\phi\in\left[0,2\pi\right]$
[/mm]
zu (2): Diese Umformung faellt mir irgendwie schwer. Betrachten wir einen Punkt [mm] $x=Re^{i\phi}\in\partial B_R(0)$ [/mm] mit [mm] $\phi\in\left[0,2\pi\right]$, [/mm] so gilt zunaechst einmal fuer den auesseren Einheits-Normalenvektor
[mm] $\vec{n}\vektor{x_1 \\ x_2}=\vec{n}\left(Re^{i\phi}\right)=e^{i\phi}$
[/mm]
Wie sieht nun aber der Gradient (in Polarform) aus? Und wie sieht die auessere Normalenableitung (in Polarform) aus? Waere schoen, wenn mir dabei jemand behilflich sein koennte.
Danke und Gruss
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Hi Denny,
halb so wild. In einem punkt [mm] $(r,\phi)$ [/mm] hat man ja ein orthogonales KS gegeben durch [mm] $e_r$ [/mm] und [mm] $e_\phi$. $e_r$ [/mm] ist gleich [mm] $e^{i\phi}$ [/mm] und [mm] $e_\phi$ [/mm] steht orthogonal zu [mm] $e_r$.
[/mm]
in polarkoordinaten ist der gradient-operator gegeben durch
[math]\nabla f(r,\phi)$=\partial_r f \cdot e_r +\frac1r \cdot \partial_\phi f\cdot e_\phi.[/math]
der normalenvektor an einem kreis ist nun, wie du schon geschrieben hast, gleich [mm] $e_r$. [/mm]
Also ist:
[math]\frac{\partial f}{\partial \nu}=\nabla f \cdot \nu=???[/math]
den letzten schritt ueberlasse ich dir, sollte nun kein problem mehr sein...
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Sa 03.10.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Matthias,
vielen Dank. Das ist hervorragend und hat mir enorm weitergeholfen. Ich habe es mir etwa auch so vorgestellt, wie Du es beschrieben hast. Da ich dies bislang aber noch nie gesehen (geschweige denn im Internet gefunden) habe, war ich etwas verunsichert. Demzufolge danke ich Dir nochmals.
Gruss
Denny
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