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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 So 28.02.2010 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | | Von d. Koordinatenform zur Normalenform |
gegeben :
E: 2x1 + 5x2 + 3x3 = 12
Normalenform
[mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{p}) [/mm] * [mm] \vec{n}
[/mm]
[mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{p}) [/mm] * [mm] \vektor{2\\5\\3}
[/mm]
wieso kann man einfach die koefizienten zum normalenvektor zusammentun?
2x1 + 5(0) + 3(0) = 12
x1 = 6
[mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{6\\0\\0}) [/mm] * [mm] \vektor{2\\5\\3}
[/mm]
was macht man da, um [mm] \vec{p} [/mm] zu bestimmen? verstehe die logik dahinter nicht ganz...
Außerdem steht in meinen Mitschriften, dass es 3 Möglichkeiten gibt, diese Aufgabe zu lösen... ist damit gemeint, dass man jeden der x werte benutzen kann, um auf wundersame weise den [mm] \vec{p} [/mm] zu zaubern?
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> Von d. Koordinatenform zur Normalenform
> gegeben :
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> E: 2x1 + 5x2 + 3x3 = 12
>
> Normalenform
>
> [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\vec{p})[/mm] * [mm]\vec{n}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Hier sollte auch eine Gleichung stehen. Jede Gleichung
hat ein Gleichheitszeichen.
> [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\vec{p})[/mm] * [mm]\vektor{2\\5\\3}[/mm]
>
>
> wieso kann man einfach die koefizienten zum normalenvektor
> zusammentun?
Der Ausdruck [mm] 2\,x_1 [/mm] + [mm] 5\,x_2 [/mm] + [mm] 3\,x_3 [/mm] in der gegebenen Gleichung
von E ist ein Skalarprodukt:
$\ [mm] 2\,x_1 [/mm] + [mm] 5\,x_2 [/mm] + [mm] 3\,x_3\ [/mm] =\ [mm] \vektor{2\\5\\3}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}$
[/mm]
Man kann die Ebenengleichung also auch so schreiben:
$\ [mm] E:\quad \vektor{2\\5\\3}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\ [/mm] =\ 12$
oder auch:
$\ [mm] E:\quad \underbrace{\vektor{2\\5\\3}}_{Normalenvektor}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}-12\ [/mm] =\ 0$
Ist [mm] \vec{p} [/mm] der Ortsvektor eines beliebigen in E liegenden Punktes,
so kann man auch schreiben:
$\ [mm] E:\quad \underbrace{\vektor{2\\5\\3}}_{Normalenvektor}*\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}-\vec{p}\right)\ [/mm] =\ 0$
> 2x1 + 5(0) + 3(0) = 12
>
> x1 = 6
>
> [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{6\\0\\0})[/mm] * [mm]\vektor{2\\5\\3}[/mm]
>
>
> was macht man da, um [mm]\vec{p}[/mm] zu bestimmen? verstehe die
> logik dahinter nicht ganz...
In der Ebene E gibt es unendlich viele Punkte. Man hat also
bei der Wahl eines Punktes [mm] P\in{E} [/mm] eine gewisse (recht große)
Freiheit. Man kann also z.B. versuchen, [mm] x_2=0 [/mm] und [mm] x_3=0 [/mm] zu
setzen und das dazu passende [mm] x_1 [/mm] zu berechnen.
> Außerdem steht in meinen Mitschriften, dass es 3
> Möglichkeiten gibt, diese Aufgabe zu lösen... ist damit
> gemeint, dass man jeden der x werte benutzen kann, um auf
> wundersame weise den [mm]\vec{p}[/mm] zu zaubern?
Ja ... und es gibt ja nicht nur 3, sondern unendlich viele
Möglichkeiten, einen Punkt in E "herauszupicken". Die 3
vorgeschlagenen sind nur die Schnittpunkte von E mit
den 3 Koordinatenachsen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 So 28.02.2010 | | Autor: | m4rio |
Dankeschön!
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