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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Di 11.09.2007 | | Autor: | holwo |
| Aufgabe | Es sei [mm]E[/mm] die affine Ebene durch die Punkte [mm]\vektor{2\\ 0 \\ 0}, \vektor{0\\ 1\\ 0}, \vektor{0\\ 0 \\ -1}[/mm] und [mm]F[/mm] durch die Gleichung [mm]2x+2y-z=1[/mm] erklärte affine Ebene.
Ermitteln Sie die normierten Normalenvektoren der beiden affinen Ebenen [mm]E[/mm] und [mm]F[/mm], sodass der Koordinatenursprung auf der Seite der Normale liegt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich hoffe jemand kann mir helfen :)
Dazu habe ich folgendes gemacht:
bei E: [mm] P=\vektor{2\\ 0 \\ 0}, Q=\vektor{0\\ 1 \\ 0}, R=\vektor{0\\ 0 \\ -1} [/mm]
Abstand zw. P und Q: [mm] P-Q=\vektor{2\\ -1 \\ 0}
[/mm]
Abstand zw. P und R: [mm] P-R=\vektor{2\\ 0 \\ 1}
[/mm]
Also [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \alpha (P-Q)+\beta (P-R)=\alpha \vektor{2\\ -1 \\ 0}+\beta \vektor{2\\ 0 \\ 1}
[/mm]
Damit habe ich eine Parameterdarstellung der Ebene. P ist dabei der Ortsvektor, und die anderen die Richtungsvektoren. Hätte ich eigentlich andere wählen können, z.b. Ortsvektor Q mit Q-P und Q-R ? oder R mit R-P und R-Q ?
Dann habe ich den Normalenvektor berechnet, und zwar [mm] \overrightarrow{n_{E}}= \vektor{2\\ -1 \\ 0} \times \vektor{2\\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\ -2\\ 2}. [/mm] Normierung ergibt [mm] \overrightarrow{n_{E}}= \bruch{1}{3} \vektor{-1\\-2 \\ 2} [/mm]
Jetz zu F: Da wir schon die Normalgleichung haben, ist [mm] \overrightarrow{n_{F}}= \vektor{2\\ 2 \\ -1}. [/mm] Normierung ergibt [mm] \overrightarrow{n_{F}}= \bruch{1}{3} \vektor{2\\ 2 \\ -1}
[/mm]
Also ist [mm] \overrightarrow{n_{E}}= \bruch{1}{3} \vektor{-1\\ -2 \\ 2} [/mm] und [mm] \overrightarrow{n_{F}}= \bruch{1}{3} \vektor{2\\ 2 \\ -1}
[/mm]
Da ein Normalenvektor orthogonal zur Ebene liegt, sind [mm] \overrightarrow{n_{E}}= \pm\bruch{1}{3} \vektor{-1\\ -2\\ 2} [/mm] und [mm] \overrightarrow{n_{F}}= \pm \bruch{1}{3} \vektor{2\\ 2 \\ -1}
[/mm]
Woher weiss man welches man nehmen muss?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Di 11.09.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Eduardo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ermitteln Sie die normierten Normalenvektoren der beiden
> affinen Ebenen [mm]E[/mm] und [mm]F[/mm], sodass der Koordinatenursprung auf
> der Seite der Normale liegt.
>
> Ich hoffe jemand kann mir helfen :)
> Dazu habe ich folgendes gemacht:
> bei E: [mm]P=\vektor{2\\ 0 \\ 0}, Q=\vektor{0\\ 1 \\ 0}, R=\vektor{0\\ 0 \\ -1}[/mm]
> Abstand zw. P und Q: [mm]P-Q=\vektor{2\\ -1 \\ 0}[/mm]
> Abstand zw.
> P und R: [mm]P-R=\vektor{2\\ 0 \\ 1}[/mm]
> Also [mm]\overrightarrow{x}[/mm] =
> [mm]\alpha (P-Q)+\beta (P-R)=\alpha \vektor{2\\ -1 \\ 0}+\beta \vektor{2\\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Damit habe ich eine Parameterdarstellung der Ebene. P ist
> dabei der Ortsvektor, und die anderen die
> Richtungsvektoren. Hätte ich eigentlich andere wählen
> können, z.b. Ortsvektor Q mit Q-P und Q-R ? oder R mit R-P
> und R-Q ?
Das kannst du handhaben, wie du willst. Welcher der Punkte "dein" Stützpunkt ist, ist egal.
>
> Dann habe ich den Normalenvektor berechnet, und zwar
> [mm]\overrightarrow{n_{E}}= \vektor{2\\ -1 \\ 0} \times \vektor{2\\ 0 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{-1\\ -2\\ 2}.[/mm] Normierung ergibt
> [mm]\overrightarrow{n_{E}}= \bruch{1}{3} \vektor{-1\\-2 \\ 2}[/mm]
>
> Jetz zu F: Da wir schon die Normalgleichung haben, ist
> [mm]\overrightarrow{n_{F}}= \vektor{2\\ 2 \\ -1}.[/mm] Normierung
> ergibt [mm]\overrightarrow{n_{F}}= \bruch{1}{3} \vektor{2\\ 2 \\ -1}[/mm]
>
> Also ist [mm]\overrightarrow{n_{E}}= \bruch{1}{3} \vektor{-1\\ -2 \\ 2}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{n_{F}}= \bruch{1}{3} \vektor{2\\ 2 \\ -1}[/mm]
>
> Da ein Normalenvektor orthogonal zur Ebene liegt, sind
> [mm]\overrightarrow{n_{E}}= \pm\bruch{1}{3} \vektor{-1\\ -2\\ 2}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{n_{F}}= \pm \bruch{1}{3} \vektor{2\\ 2 \\ -1}[/mm]
>
Korrekt
> Woher weiss man welches man nehmen muss?
>
> Vielen Dank!
>
Du musst jetzt nur noch mal folgende Hilfsgerade konstruieren, die durch den Ursprung geht und senkrecht zur Ebene steht, also:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}\red{-}\mu\vec{n_{F}}=-\mu\vec{n_{F}}.
[/mm]
Damit berechnest du jetzt das [mm] \mu [/mm] für das sich Gerade und Ebene schneiden, also setze mal die Gerade in die Ebene ein. Hast du dann für [mm] \mu [/mm] einen Wert über 0 erhalten, ist [mm] -\mu\vec{n_{F}} [/mm] Parallel zum Normalenvektor der Ebene, also liegt der Ursprung oberhalb der Ebene. Ist [mm] \mu<0, [/mm] liegt der Ursprung unterhalb der Ebene, also ist der Normalenvektor mit dem anderen Vorzeichen der gesuchte.
Du kannst natürlich auch die Gerade mit
[mm] \red{+}\mu\vec{n_{F}} [/mm] bestimmen, dann dreht sich die spätere Bedingung um, also aus [mm] \mu<0 [/mm] folgt, dass der Vektor der Passende ist, aus [mm] \mu>0 [/mm] folgt, dass der "Minusvektor" der gesuchte ist.
Marius
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