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Hi, habe eine ziemlich einfache Frage,
ich wollte einer Freundin bei einer Aufgabe helfen, nur ich weiss absolut nicht mehr, wie ich von der Normalengleichgung auf die Parameterdarstellung komme. (und andersrum)
Ich habe auch meinen Matheordner einem Kollegen geliehen, so dass
ich dort auch nicht nachgucken kann.
Aber ich brauche immer eine Beispielaufgabe, um das alles nachzuvollziehen.
Also hier die Aufgabe, die Hauptschwierigkeit ist allerdings nur die umechnung
Aufgabe:
a)
Es sei E die Ebene mit der Normalengleichung [mm] x_{1}-x_{2}-3x_{3}=-10
[/mm]
i) Bestimmen sie die Parameterdarstellung der Geraden G , welche durch den Punkt P = (12,0,0) geht und senkrecht auf E steht.
(Hier kann man ja z.B. so ansetzten:
Wenn E eine Ebene ist, die durch [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] aufgespannt wird,
dann ist [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \frac{\vec{u} \times\vec{v}}{|\vec{u} \times\vec{v}|}
[/mm]
eine normale zu E mit der Länge 1)
ii) Bestimmen sie den Sattelpunkt S von G mit E und den Abstand d des Punktes P zu E.
(Hier weiss ich nicht weirklich wie ich das machen sollte)
b)Gegeben seien die Vektoren [mm] \vec{v}_{1} [/mm] = [mm] (1,2,2)^{T} [/mm] und [mm] \vec{v}_{2} [/mm] = [mm] (1,0,-2)^{T} \in \mathff{R}^{3}
[/mm]
i) Welche Dimension hat der von [mm] \vec{v}_{1} [/mm] und [mm] \vec{v}_{2} [/mm] aufgespannte Unterraum U = [mm] \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}
[/mm]
Begründen sie ihre Antwort. Geben sie einen weiteren Vektor [mm] \vec{v} \in [/mm] U an.
(Hier weiss ich nichts mit dem begriff Dimension anzufangen, demzufolge kein plan :D)
ii) Bestimmen sie eine Orthonormalbasis [mm] \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} [/mm] von U
Hier weiss ich auch nicht, wie das gehen sollte .p
Eine tolle Hilfe bin ich also ;p
ich bin dankbar fuer jede Hilfe
Machts gut und bis bald....
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Hallo trinkMilch,
> a)
> Es sei E die Ebene mit der Normalengleichung
> [mm]x_{1}-x_{2}-3x_{3}=-10[/mm]
>
> i) Bestimmen sie die Parameterdarstellung der Geraden G ,
> welche durch den Punkt P = (12,0,0) geht und senkrecht auf
> E steht.
>
> (Hier kann man ja z.B. so ansetzten:
> Wenn E eine Ebene ist, die durch [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm]
> aufgespannt wird,
> dann ist [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\frac{\vec{u} \times\vec{v}}{|\vec{u} \times\vec{v}|}[/mm]
>
> eine normale zu E mit der Länge 1)
Die Normale der Ebene E kannst Du unmittelbar anhand der Gleichung bestimmen. Der Normalenvektor ergibt sich aus den vor den [mm]x_{i}[/mm] Koeffizienten. Bei Bedarf kannst Du diesen Normalenvektor auch noch normieren.
>
> ii) Bestimmen sie den Sattelpunkt S von G mit E und den
> Abstand d des Punktes P zu E.
>
> (Hier weiss ich nicht weirklich wie ich das machen sollte)
>
Die Gerade g mit der Ebene E schneiden.
> b)Gegeben seien die Vektoren [mm]\vec{v}_{1}[/mm] = [mm](1,2,2)^{T}[/mm] und
> [mm]\vec{v}_{2}[/mm] = [mm](1,0,-2)^{T} \in \mathff{R}^{3}[/mm]
>
> i) Welche Dimension hat der von [mm]\vec{v}_{1}[/mm] und [mm]\vec{v}_{2}[/mm]
> aufgespannte Unterraum U = [mm]\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}[/mm]
> Begründen sie ihre Antwort. Geben sie einen weiteren
> Vektor [mm]\vec{v} \in[/mm] U an.
>
> (Hier weiss ich nichts mit dem begriff Dimension
> anzufangen, demzufolge kein plan :D)
>
Dimension ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren hier des Unterraums.
> ii) Bestimmen sie eine Orthonormalbasis
> [mm]\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}[/mm] von U
>
> Hier weiss ich auch nicht, wie das gehen sollte .p
> Eine tolle Hilfe bin ich also ;p
Bei einer Orthonormalbasis müssen die Vektoren den Betrag 1 haben und senkrecht aufeinander stehen. Diese müssen aber wieder in U sein.
Gruß
MathePower
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erstmal vielen Dank fuer die Hinweise,
sollte ich auch alles hinbekommen, jetzt wo ich weiss, was genau gemeint ist.
Aber ich weiss echt nicht wie ich in Aufgabenteil1 die Normale von E direkt
aus der Gleichung ablesen kann.
Und wie komm ich von einer Normalengleichung zur Parameterdarstellung ??
Danke!
Ciao...
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Hallo trinkMilch,
> Aber ich weiss echt nicht wie ich in Aufgabenteil1 die
> Normale von E direkt
> aus der Gleichung kann.
die allgemeine Ebenengleichung schreibt sich so:
[mm]
\begin{gathered}
\left( {x\; - \;p} \right)\;n\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow x\;n\; = \;p\;n\; = :\;d \hfill \\
\Leftrightarrow \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{1} } \\
{x_{2} } \\
{x_{3} } \\
\end{array} } \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n_{1} } \\
{n_{2} } \\
{n_{3} } \\
\end{array} } \right)\; = \;d \hfill \\
\Leftrightarrow \;n_{1} \;x_{1} \; + \;n_{2} \;x_{2} \; + \;n_{3} \;x_{3} \; = \;d \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Hier ist p ein Punkt auf der Ebene und n der zur Ebene gehörende Normalenvektor. d ist der Abstand der Ebene vom Ursprung.
>
> Und wie komm ich von einer Normalengleichung zur
> Parameterdarstellung ??
Für die Ebene ist das relativ einfach:
Löse nach eine [mm]x_{i}[/mm] auf und setze für die übriggebliebenen [mm]x_{j},\; x_{k}[/mm] die Paramter [mm]u,\;v[/mm] ein.
Hier ist aber die Parameterdarstellung der Gerade gefragt:
[mm]
\begin{gathered}
x\; = \;p\; + \;t\;n \hfill \\
\Leftrightarrow \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_{1} } \\
{x_{2} } \\
{x_{3} } \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{p_{1} } \\
{p_{2} } \\
{p_{3} } \\
\end{array} } \right)\; + \;t\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n_{1} } \\
{n_{2} } \\
{n_{3} } \\
\end{array} } \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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