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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Di 07.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Diesmal habe ich folgende Aufgabe zu lösen:
Sei [mm] f:[0,1]\to\IR [/mm] eine stetige Funktion, und bezeichne [mm] \cal P_{k} [/mm] den Raum aller Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] k. Betrachte das lineare Ausgleichsproblem
[mm] ||f-p||_{L^2((0,1),\IR)}:=\integral_{0}^{1}{|f(t)-p(t)|^2 dt} \to [/mm] min
unter allen [mm] p\in\cal P_{k}.
[/mm]
a) Leite die zugehörigen Normalengleichungen her, d. h. das lineare Gleichungssystem, denen die Koeffizienten [mm] x\in\IR^{k+1} [/mm] des Lösungspolynoms [mm] p(t)=\summe_{i=1}^{k+1}x_i t^{i-1} [/mm] notwendigerweise genügen müssen.
Also erstmal ein paar Fragen zu dieser Aufgabe:
Hat das was besonderes zu sagen, dass die Norm [mm] "L^2((0,1),\IR)" [/mm] genannt wird? Ich denke mal, dass das nur dafür steht, dass die Funktion von [mm] [0,1]\to\IR [/mm] geht oder gibt's da sonst noch was Besonderes?
Dann habe ich mich gefragt, was denn genau eine Normalengleichung ist. Also ich kenne Normalengleichungen um Ebenen zu beschreiben. Will ich hier denn auch eine Ebene haben?
So, und anders formuliert verstehe ich die Aufgabenstellung so, dass ich die Gleichung aufstellen soll, sodass ich genau das p(t) erhalte, sodass das Integral da oben minimal wird, oder?
Hat jemand eine Idee, wie ich da anfangen muss???
Viele Grüße
Bastiane
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:10 Do 09.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Vielleicht kannst du ja die Lösung, sobald ihr die Aufgabe in der Übung besprochen habt, hier hereinstellen. Ich mag keine halbwegs interessanten, unbeantwortete Fragen hier im Matheraum.
Ich habe hier als Gleichungssystem nur
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{k+1} \frac{x_i}{i+j} [/mm] = [mm] \int\limits_0^t f(t)t^j\, [/mm] dt$
raus, glaube aber, mich a) verrechnet zu haben und b) dass man dies vermutlich irgendwie (partielle Integration etc.) schöner schreiben sollte. Oder ist das jetzt die Lösung?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:37 Do 09.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
> Vielleicht kannst du ja die Lösung, sobald ihr die Aufgabe
> in der Übung besprochen habt, hier hereinstellen. Ich mag
> keine halbwegs interessanten, unbeantwortete Fragen hier im
> Matheraum.
Mmh, also ich fürchte, das wird schlecht sein. Meine Übung überschneidet sich nämlich mit meinem Proseminar, so dass ich leider immer nur die ersten 20 Minuten hingehen kann. Und da dies nicht die erste Aufgabe war, werde ich die Besprechung fürchte ich nicht mitbekommen...
> Ich habe hier als Gleichungssystem nur
>
> [mm]\sum\limits_{i=1}^{k+1} \frac{x_i}{i+j} = \int\limits_0^t f(t)t^j\, dt[/mm]
>
>
> raus, glaube aber, mich a) verrechnet zu haben und b) dass
> man dies vermutlich irgendwie (partielle Integration etc.)
> schöner schreiben sollte. Oder ist das jetzt die Lösung?
Mmh, also ich habe keine Ahnung, und ehrlich gesagt, habe ich die Aufgabe immer noch nicht wirklich verstanden. Also, was man da machen soll. Aber vor der Klausur (wenn ich denn die Zulassung bekomme), werde ich mir wohl alle Aufgaben nochmal genauer anschauen, und vielleicht finde ich dann jemanden, der die Lösung hat.
Viele Grüße
Christiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Do 09.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Da dir ja auch nicht die Aufgabenstellung klar ist, solltest du wenigstens die verstehen, denn sonst werden die Lücken zu groß. Daher werde ich sie jetzt mal erklären.
Geometrisch handelt es sich im die hier beschriebene Grundsituation:
![[]](/images/popup.gif) http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage1059/Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hier bei uns haben in der Tat einen abgeschlossenen Teilraum von $L^2((0,1),\IR)$, nämlich ${\cal P}_{\Vert}}$ (endlichdimensionale Unterräume sind immer abgeschlossen).
Wir suchen also nach dem letzten Satz des obigen Links dasjenige Polynom $\sum\limits_{i=1}^{k+1}x_i t^{i-1} \in {\cal P}_{\Vert}$, so dass
$f - \sum\limits_{i=1}^{k+1}x_i t^{i-1} \in {\cal P}_{\Vert}^{\perp}$
gilt. Da $\{1,t,t^2,\ldots,t^k\}$ eine Basis von ${\cal P}_{\Vert}$ ist, müssen wir die $x_i$ so bestimmen, dass
(*) $\langle f - \sum\limits_{i=1}^{k+1} x_it^{i-1},t^j\rangle = 0$
gilt, wobei wir in $L^2((0,1),\IR)$ das folgende Skalarprodukt haben:
$\langle f,g\rangle = \int\limits_0^1 f(t)g(t)\, dt$.
Und beim Nachrechnen von (*) bin ich auf mein Gleichungssystem gekommen.
Tipps von mir:
1) Besorge dir immer sofort nach jeder Übung die Musterlösung deiner Kommilitonen und arbeite alles sofort nach. Das wird sonst zuviel vor der Klausur.
2) Die Übung ist wichtiger als das Proseminar. Gehe notfalls noch zusätzlich in eine andere Übung, wo du Zeit hast, nur um zuzuhören und mitzuschreiben. Die Übungen sind das Wichtigste im Studium. Vorlesungen und Seminare bringen eh nichts. (Alles, was ich jetzt mathematisch weiß, weiß ich von ehemaligen tollen Übungsgruppenleitern und aus meinem Selbststudium; so gut wie nichts aus Vorlesungen und schon mal gar nichts aus Seminaren; nur von den Dingen natürlich, die ich selber vorbereitet und über die ich vorgetragen habe.  .)
Liebe Grüße
Stefan
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