Normalengleichung &.. < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Kater138 |
| Aufgabe 1 | Aufgabe 1
Die Ebene E ist parallel zur x2-x3-Ebene und hat vom Koordinatenursprung den Abstand 3. Geben Sie eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E an. |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 2
Bestimmen Sie für die Ebene in Figur 1 eine Gleichung. Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.
=> in der Figur sieht man eine Ebene, sowie eine Gerade, die die Ebene im Punkt Q (2;1; 3) durchstößt. Die Gerade ist orthogonal zur Ebene. Ein weiterer Geradenpunkt ist gegeben P (-1; 2; -3).
Die Ebene ist durch keine weiteren Angaben bestimmt. |
zu Aufgabe 1)
Woher weiß ich, wie groß die Ebene ist ?
Wie berechne ich dies ?
Kann ich das z.B. durch die Punkte P(0; 3; 3) , Q (0; 3; 6) und R (0, 6; 3) bestimmen ?
Oder wie muss ich die Punkte wählen ?
Gibt es nur eine einzige Lösung ?
zu Aufgabe 2)
Die Geradengleichung lautet : [mm] g:x=\vektor{2 \\ 1 \\ 3} [/mm] + t* [mm] \vektor{-3 \\ 1 \\ -6 }
[/mm]
Wie muss ich jetzt weiter vorgehen ?
Ich habe absolut keine Ahnung.
Vielen Dank schonmal :)
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Hallo Kater,
auweia...
> Aufgabe 1
> Die Ebene E ist parallel zur x2-x3-Ebene und hat vom
> Koordinatenursprung den Abstand 3. Geben Sie eine
> Normalengleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene E
> an.
> Aufgabe 2
> Bestimmen Sie für die Ebene in Figur 1 eine Gleichung.
> Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der Ebene mit den
> Koordinatenachsen.
>
> => in der Figur sieht man eine Ebene, sowie eine Gerade,
> die die Ebene im Punkt Q (2;1; 3) durchstößt. Die Gerade
> ist orthogonal zur Ebene. Ein weiterer Geradenpunkt ist
> gegeben P (-1; 2; -3).
> Die Ebene ist durch keine weiteren Angaben bestimmt.
>
> zu Aufgabe 1)
> Woher weiß ich, wie groß die Ebene ist ?
Eine mathematische Ebene ist immer unendlich groß.
> Wie berechne ich dies ?
> Kann ich das z.B. durch die Punkte P(0; 3; 3) , Q (0; 3; 6)
> und R (0, 6; 3) bestimmen ?
Keiner der Punkte liegt auf der gesuchten Ebene.
Immerhin liegen alle in der [mm] $x_2-x_3-$Ebene, [/mm] aber die hat vom Ursprung den Abstand Null.
> Oder wie muss ich die Punkte wählen ?
Auf einer dazu parallelen Ebene!
> Gibt es nur eine einzige Lösung ?
Nein, es gibt zwei Lösungen.
> zu Aufgabe 2)
> Die Geradengleichung lautet : [mm]g:x=\vektor{2 \\
1 \\
3}[/mm] + t* [mm]\vektor{-3 \\
1 \\
-6 }[/mm]
Ja, das ist eine mögliche Darstellung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie muss ich jetzt weiter
> vorgehen ?
> Ich habe absolut keine Ahnung.
Da Du die Gerade und den Durchstoßpunkt hast, und Du außerdem weißt, dass die Gerade genau senkrecht zur Ebene steht, ist die Hessesche Normalform der einfachste Weg.
Ich bin sicher, dass Ihr die schon hattet.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Kater138 |
Hessesche Normalform ??
Das hatten wir noch nicht.
Mein Mathelehrer hat aus welchen Gründen auch immer einige Kapitel übersprungen und will die später erst behandeln..
Daher, gibt es auch eine andere Möglichkeit das zu berechnen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Mi 05.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hessesche Normalform ??
> Das hatten wir noch nicht.
> Mein Mathelehrer hat aus welchen Gründen auch immer einige
> Kapitel übersprungen und will die später erst
> behandeln..
> Daher, gibt es auch eine andere Möglichkeit das zu
> berechnen ?
Hast Du Dir schon mal eine Zeichnung gemacht. Wie gesagt, es gibt 2 Ebenen , die das Gewünschte leisten.
Zeichne die mal. An der Zeichung kann man wunderbar Aufpunkt und Richtungsvektoren ablesen.
Das Ablesen der Koordinatengleichung ist noch einfacher ...
FRED
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Hallo,
für Aufgabe 2:
Du weißt, dass die Gerade die Ebene orthogonal durchstößt. Findest du nun also zwei lin. unabhängige Richtungsvektoren, die auf g senkrecht stehen, so kannst du ebenfalls schnell die Ebenengleichung aufstellen.
(Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn [mm] \vec{a}*\vec{b}=0 [/mm] ist, also das Skalarprodukt zweier Vektoren verschwindet.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Kater138 |
| Aufgabe 1 | Geben Sie jeweils eine Gleichung einer Geraden g und einer Ebene E an,
a) die sich schneiden,
b) die zueinander parallel sind. |
| Aufgabe 2 | Die Ebene E ist festgelegt durch die Punkte A (1; 0; 0) , B (0, 2, 0) , C (0, 0, 3).
Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden, die zur Ebene E parallel ist. |
Erstmal Vielen Dank für die Hilfe :)
Aber wie genau rechne ich so etwas ?
Einfach ausprobieren, oder gibt es da eine allgemeine Formel oder Ähnliches ?
Ich habe bei Aufgabe 2 schon eine Skizze der Ebene angefertigt, aber jeder Punkt, den ich einsetze scheint die Ebene zu schneiden..
Ebenengleichung : E:x= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] +s* [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 0} [/mm] + t* [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 3 }
[/mm]
Als mögliche Überlegung habe ich auch noch eine Koordinatengleichung bestimmt : E:6x1 + 3x2 + 2x3 = 6
Nochmals Danke !!!!!!
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Hallo,
> Geben Sie jeweils eine Gleichung einer Geraden g und einer
> Ebene E an,
> a) die sich schneiden,
> b) die zueinander parallel sind.
> Die Ebene E ist festgelegt durch die Punkte A (1; 0; 0) ,
> B (0, 2, 0) , C (0, 0, 3).
> Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden, die zur Ebene E
> parallel ist.
> Erstmal Vielen Dank für die Hilfe :)
>
> Aber wie genau rechne ich so etwas ?
> Einfach ausprobieren, oder gibt es da eine allgemeine
> Formel oder Ähnliches ?
> Ich habe bei Aufgabe 2 schon eine Skizze der Ebene
> angefertigt, aber jeder Punkt, den ich einsetze scheint die
> Ebene zu schneiden..
Ein Punkt kann keine Ebene schneiden.
>
> Ebenengleichung : E:x= [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] +s* [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
> + t* [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 3 }[/mm]
>
> Als mögliche Überlegung habe ich auch noch eine
> Koordinatengleichung bestimmt : E:6x1 + 3x2 + 2x3 = 6
>
zu 1)
Das ist ja wohl trivial. Nimm als Ebene z.B. z=0, also die x-y-Ebene. Dann findet man doch ganz leicht eine Gerade, die parallel verläuft, bzw sich schneidet.
zu 2)
Du hast bereits die Ebenengleichung [mm] E:x=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }+s*\vektor{-1 \\ 2 \\ 0}+t*\vektor{-1 \\ 0 \\ 3 }
[/mm]
g soll nun parallel sein, also kann man doch schon einmal einen Richtungsvektor von der Ebene einfach nehmen. Dann sind sie nämlich tatsächlich parallel.
Nun braucht man noch einen Punkt, der nicht in E liegt. Prüfe doch mal ob der Koordinatenursprung ein Punkt der Ebene ist!
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> Nochmals Danke !!!!!!
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