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| Aufgabe | | forme den therm: f(x)=-x²+1 in die Nullstellenform um |
ich habe leider keine ahnung wie ich diese aufgabe angehen soll, da ich bis zum heutigen tage nichts von einer Nullstellenform wusste, und unser neuer mathelehrer auch nichts, aber auch rein gar nichts erklärt. ich habe durch suche im internet herausgefunden, dass die nullstellenform f(x)=a(x-x1(index)) * (x-y1(index)) lautet... muss ich nun mit der quadratischen ergänzung anfangen? es wäre sehr nett wenn mir jemand helfen würde... bevor wir den neuen lehrer bekommen haben, hatte ich 11 punkte... jetzt hab ich das gefühl das ich nicht mal mehr einen verdiene :(
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: myproblems.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Mo 06.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Sebastian,
normalerweise müsstest du so vorgehen, dass du erstmal die Nullstellen ausrechnest (entweder mit  quadratischer Ergänzung oder der PQFormel - je nachdem, was dir lieber ist).
Du wirst sicher schnell herausfinden: [mm] $-x^{2}+1=0 \gdw [/mm] x=-1 [mm] \vee [/mm] x=1$.
Damit hast du schon die beiden Klammern der Nullstellenform gefunden: [mm] $(x-(-1))\cdot [/mm] (x-1)$, aber der Vorfaktor $a$ fehlt noch!
Dieser Vorfaktor richtet sich immer nach dem Vorfaktor, der im Ausgangsterm vor dem [mm] $x^{2}$ [/mm] steht. In unserem Fall ist das nur ein Minus, also $(-1)$.
Die vollständige Nullstellenform von [mm] $f(x)=-x^{2}+1$ [/mm] wäre also [mm] $f(x)=-x^{2}+1=-(x+1)\cdot [/mm] (x-1)$.
In deiner Aufgabe könnte man sich die Berechnung der Nullstellen sogar sparen, wenn man bedenkt, dass [mm] $-x^{2}+1=1-x^{2}=(1+x)\cdot (1-x)=(1+x)\cdot (-1)\cdot (-1+x)=-(1+x)\cdot (-1+x)=-(x+1)\cdot [/mm] (x-1)$.
Hierbei habe ich nur die dritte binomische Formel benutzt und einmal $(-1)$ ausgeklammert. Das ist aber nicht so wichtig, das allgemeine Vorgehen, das ich oben beschrieben habe, führt dich immer zum Ziel!
Was hat es mit dieser Nullstellenform überhaupt auf sich?
Wenn man einen Funktionsterm in der Form [mm] $f(x)=a\cdot(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})$ [/mm] hat, kann man daran sofort die beiden Nullstellen ablesen: Denn [mm] $a\cdot(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})$ [/mm] ist genau dann gleich Null, wenn mindestens eine Klammer gleich Null ist. Und die erste Klammer wird genau dann Null, wenn [mm] $x=x_{1}$, [/mm] und die zweite Klammer wird genau dann Null, wenn [mm] $x=x_{2}$.
[/mm]
Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig weiterhelfen! Frag bitte nochmal nach, falls dir etwas unklar geblieben ist, ok? 
MFG,
Yuma
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hehe vielen dank :D jetzt hab ichs verstanden... bin doch nicht auf den kopf gefallen, habe nur schwierigkeiten einen lösungsansatz zu finden, grade wenn ich das ziel nicht wirklich kenne. vielen dank nochmal. ist ein super forum hier :D
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ich habe doch nochmal eine kurze frage...
ich habe ja nur ein "q" in der funktion f(x)=-x²+1. eben diese 1. folglich müsste die diskriminante ja kleiner als null sein, da der erste teil sprich (p/2)² ja 0 sein muss und 0 -1= -1 ist und aus einer negativen zahl kann man ja keine wurzel ziehen. aber man kann die nullstellen ja noch altmodisch über diesen weg rausfinden.
f(x)=-x²+1 |-1
-1=-x² | mal (-1)
1=x² | *wurzelziehen*
+- 1=x
naja meine frage ist nur, wie das mit der pq formel funktioniert. meines erachtens habe ich alles berücksichtigt. :D danke nochmal :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mo 06.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Sebastian,
> ich habe doch nochmal eine kurze frage...
Gern...
> ich habe ja nur ein "q" in der funktion f(x)=-x²+1. eben
> diese 1. folglich müsste die diskriminante ja kleiner als
> null sein, da der erste teil sprich (p/2)² ja 0 sein muss
> und 0 -1= -1 ist und aus einer negativen zahl kann man ja
> keine wurzel ziehen.
Nein, da hast du einen Denkfehler! Die Diskriminante ist gleich Eins, d.h. sie ist positiv, denn um die PQFormel überhaupt anwenden zu können, musst du die Gleichung auf die Form [mm] $x^{2}+px+q$ [/mm] bringen. Dazu musst du "deine" Gleichung aber mit $(-1)$ multiplizieren:
[mm] $-x^{2}+1=0 \gdw x^{2}-1=0 \gdw x_{1,2}=0\pm \sqrt{0+1}$
[/mm]
Alles klar?
> aber man kann die nullstellen ja noch
> altmodisch über diesen weg rausfinden.
> f(x)=-x²+1 |-1
> -1=-x² | mal (-1)
> 1=x² | *wurzelziehen*
> +- 1=x
Richtig, aber das geht nur, weil in dem Term kein $x$ vorkommt! Sonst hättest du erst die quadratische Ergänzung machen müssen.
> naja meine frage ist nur, wie das mit der pq formel
> funktioniert. meines erachtens habe ich alles
> berücksichtigt. :D danke nochmal :D
Nichts zu danken - freut mich, wenn ich dir helfen konnte.
Das mit der PQFormel ist jetzt klar, oder? 
MFG,
Yuma
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oh man, es fällt mir wie schuppen von den augen :D klar, die pq formel funktioniert nur mit einer "positiven" funktion.
danke nochmal. du bist ja angehender lehrer.. sowas wie dich könnten wir bei uns gut gebrauchen. unsere alte mathelehrerin ist in den mutterschaftsurlaub gegangen, dann haben wir einen prof. aus harvard bekommen. er kann zwar mathe, aber er kann es nicht erkären bzw. wir verstehen es nicht wie er es uns erklärt. ;)
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