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| Aufgabe | Es sei [mm] \phi:G\rightarrow [/mm] G' ein Gruppenhomomorphismus.
Ist N' Normalteiler von G', so ist [mm] \phi^{-1}(N') [/mm] ein Normalteiler von G.
Ist [mm] \phi [/mm] ein Epimorphismus, so gilt: N Normalteiler von G [mm] \Rightarrow \phi(N) [/mm] Normalteiler G'. |
Hallo,
ich habe diesen Satz in einem alten Skript entdeckt, leider ohne Beweis.
Ich habe schon Zweifel daran, ob die Aussage so stimmt. Das mit dem Epimorphismus hätte ich spontan eher auf den ersten Teil der Aussage bezogen.
Kann man den letzten Teil nicht einfach so zeigen: Sei N Normalteiler von G. Dann gilt aN=Na für ein beliebiges a in G. Also sei n in N bel. Dann an=na, somit auch [mm] \phi(an)=\phi(na). [/mm] Setzen wir [mm] \phi(a)=b \in [/mm] G', so folgt also [mm] b\phi(n)=\phi(n)b\Rightarrow b\phi(n)b^{-1}=\phi(n), [/mm] damit hätte man es gezeigt, falls man es so mache darf. Und da für jedes b in G' ein entsprechendes a aufgrund der Surjektivität existiert, denke ich, dass das richtig ist?
Wie kann man den ersten Teil zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:57 Do 09.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei [mm]\phi:G\rightarrow[/mm] G' ein Gruppenhomomorphismus.
> Ist N' Normalteiler von G', so ist [mm]\phi^{-1}(N')[/mm] ein
> Normalteiler von G.
> Ist [mm]\phi[/mm] ein Epimorphismus, so gilt: N Normalteiler von G
> [mm]\Rightarrow \phi(N)[/mm] Normalteiler G'.
>
> ich habe diesen Satz in einem alten Skript entdeckt, leider
> ohne Beweis.
> Ich habe schon Zweifel daran, ob die Aussage so stimmt. Das
> mit dem Epimorphismus hätte ich spontan eher auf den
> ersten Teil der Aussage bezogen.
Er stimmt jedoch genau so wie er da steht. Ist [mm] $\phi$ [/mm] kein Epimorphismus, so muss [mm] $\phi(N)$ [/mm] kein Normalteiler in $G'$ sein. Und Urbilder von Normalteilern sind immer Normalteiler.
> Kann man den letzten Teil nicht einfach so zeigen: Sei N
> Normalteiler von G. Dann gilt aN=Na für ein beliebiges a
> in G. Also sei n in N bel. Dann an=na,
Das ist falsch. Es gilt $a n = n' a$ fuer ein passendes (von $a$ und $n$ abhaengendes) $n' [mm] \in [/mm] N$.
> somit auch
> [mm]\phi(an)=\phi(na).[/mm] Setzen wir [mm]\phi(a)=b \in[/mm] G', so folgt
> also [mm]b\phi(n)=\phi(n)b\Rightarrow b\phi(n)b^{-1}=\phi(n),[/mm]
> damit hätte man es gezeigt, falls man es so mache darf.
Damit (wenn du es korrigierst) hast du gezeigt, dass [mm] $\phi(N)$ [/mm] ein Normalteiler in [mm] $\phi(G)$ [/mm] ist. Aber nicht, dass es einer in $G'$ ist. (Wenn [mm] $\phi$ [/mm] ein Epimorphismus ist, dann ist [mm] $\phi(G) [/mm] = G'$.)
> Und da für jedes b in G' ein entsprechendes a aufgrund der
> Surjektivität existiert, denke ich, dass das richtig ist?
Ja, wenn [mm] $\phi$ [/mm] surjektiv ist, dann ist [mm] $\phi(N)$ [/mm] ein Normalteiler in $G'$.
> Wie kann man den ersten Teil zeigen?
Sehr aehnlich wie im zweiten Teil. Sei $g [mm] \in [/mm] G$ und $n [mm] \in \varphi^{-1}(N')$. [/mm] Dann ist [mm] $\varphi(n) \in [/mm] N'$.
Berechne jetzt [mm] $\varphi(g [/mm] n)$ und stelle es als [mm] $\varphi(n' [/mm] g)$ dar.
LG Felix
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