Normalteiler < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mo 15.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Besitzt eine Gruppe genau eine Untergruppe der Ordnung k, so ist diese stets Normalteiler. |
Kann sich jemand meinen Beweis ansehen und sagen, ob das stimmt oder wie man es machen muss, damit es stimmt?
Beweis:
Seien G Gruppe und U Untergruppe mit |U|=k.
Es gilt:
[mm] G=\cup [/mm] gU = [mm] \cup U_i, [/mm] wobei gU [mm] \in [/mm] G/U und i [mm] \in [/mm] I.
(In Worten: "G ist disjunkte Vereinigung der Nebenklassen und auch disjunkte Vereinigung der Untergruppen.")
Da U aber einziger Unterraum ist, gilt:
[mm] \cup U_i [/mm] = U.
[mm] \Rightarrow G=U=\cup [/mm] gU.
[mm] \Rightarrow [/mm] |G|=k.
Lagrange:
|G|=|U|*[G:U]=k*1, da |G|=k.
Es gibt also nur eine Nebenklasse und damit
gU=hU für g,h [mm] \in [/mm] G.
[mm] \Rightarrow gUh^{-1}=gUg^{-1} \subset [/mm] U.
Damit ist U Normalteiler, denn Letzteres ist ja eine Bedingung dafür.
???
Bitte helft mir!...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Mo 15.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Schon 19 Mal gelesen und keine Reaktion.
Ohje: Sind alle schockiert, wieviel Blödsinn man produzieren kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Mo 15.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Kleiner Einschub. Kann man das verwenden?
|gU|=|U|
[mm] \Rightarrow [/mm] |gU|=k...???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Di 16.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Kleiner Einschub. Kann man das verwenden?
>
> |gU|=|U|
Ja.
Ebenso $|g U| = |g U [mm] g^{-1}|$.
[/mm]
Jetzt musst du dir nur noch ueberlegen, dass $g U [mm] g^{-1}$ [/mm] wieder eine Untergruppe von $G$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mi 17.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hier meine abschließende Version, wie ich sie abzugeben beabsichtige. Ich freue mich, wenn jemand einen Blick darauf werfen könnte!
[Zur Erinnerung und um das Bild abzurunden sei nochmals die Aufgabenstellung wiederholt:]
Besitzt eine Gruppe genau eine Untergruppe der Ordnung k, so ist diese ein Normalteiler. |
Beweis:
Es gilt [mm] |gUg^{-1}|=|U|=k.
[/mm]
D.h. ich behaupte, dass eine Gleichmächtigkeit vorliegt.
Sicherheitshalber sei das bewiesen.
Dazu sei [mm] \phi [/mm] eine Abbbildung mit [mm] \phi:U \to gUg^{-1}, [/mm] u [mm] \to gug^{-1}.
[/mm]
Behauptung: [mm] \phi [/mm] ist eine Bijektion.
Beweis:
I. Injektivität:
Seien [mm] u_1,u_2 \in [/mm] U.
[mm] \phi(u_1)=\phi(u_2)=gu_1g^{-1}=gu_2g^{-1} \Rightarrow u_1=u_2.
[/mm]
II. Surjektivität:
Ist offensichtlich, da jedem u [mm] \in [/mm] U mindestens ein [mm] gug^{-1} [/mm] zugeordnet wird, d.h. jedes Element in U hat mindestens ein Bild.
Noch zz.: [mm] gUg^{-1} [/mm] ist Untergruppe in G.
1.) Abgeschlossenheit
Seien [mm] gu_1g^{-1}, gu_2g^{-1} \in gUg^{-1}.
[/mm]
[mm] (gu_1g^{-1})(gu_2g^{-1})=gu_1(g^{-1}g)u_2g^{-1}=gu_1u_2g^{-1} [/mm] mit [mm] gu_1u_2g^{-1} \in gUg^{-1}, [/mm] da [mm] u_1u_2 \in [/mm] U aufgrund der Abgeschlossenheit von U.
2.) Existenz der Inversen
[mm] (gu^{-1}g^{-1})(gug^{-1})=gu^{-1}(g^{-1}g)ug^{-1}=g(u^{-1}u)g^{-1}=gg^{-1}=e.
[/mm]
Damit ist das Inverse eines Elements in [mm] gUg^{-1} [/mm] gegeben durch [mm] (gug^{-1})^{-1}=gu^{-1}g^{-1}.
[/mm]
Aus allem bisher Gezeigten folgt:
[mm] gUg^{-1}=U, [/mm] da es nach Voraussetzung genau eine Untergruppe der Ordnung k gibt. [mm] \Box
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Mi 17.11.2010 | | Autor: | statler |
Guten Abend!
> Hier meine abschließende Version, wie ich sie abzugeben
> beabsichtige. Ich freue mich, wenn jemand einen Blick
> darauf werfen könnte!
>
> [Zur Erinnerung und um das Bild abzurunden sei nochmals die
> Aufgabenstellung wiederholt:]
>
> Besitzt eine Gruppe genau eine Untergruppe der Ordnung k,
> so ist diese ein Normalteiler.
> Beweis:
>
> Es gilt [mm]|gUg^{-1}|=|U|=k.[/mm]
> D.h. ich behaupte, dass eine Gleichmächtigkeit vorliegt.
> Sicherheitshalber sei das bewiesen.
>
> Dazu sei [mm]\phi[/mm] eine Abbbildung mit [mm]\phi:U \to gUg^{-1},[/mm] u
> [mm]\to gug^{-1}.[/mm]
>
> Behauptung: [mm]\phi[/mm] ist eine Bijektion.
> Beweis:
> I. Injektivität:
> Seien [mm]u_1,u_2 \in[/mm] U.
> [mm]\phi(u_1)=\phi(u_2)=gu_1g^{-1}=gu_2g^{-1} \Rightarrow u_1=u_2.[/mm]
>
> II. Surjektivität:
> Ist offensichtlich, da jedem u [mm]\in[/mm] U mindestens ein
> [mm]gug^{-1}[/mm] zugeordnet wird, d.h. jedes Element in U hat
> mindestens ein Bild.
Das ist bei jeder Abbildung so, Surjektivität ist etwas anderes.
>
> Noch zz.: [mm]gUg^{-1}[/mm] ist Untergruppe in G.
>
> 1.) Abgeschlossenheit
> Seien [mm]gu_1g^{-1}, gu_2g^{-1} \in gUg^{-1}.[/mm]
>
> [mm](gu_1g^{-1})(gu_2g^{-1})=gu_1(g^{-1}g)u_2g^{-1}=gu_1u_2g^{-1}[/mm]
> mit [mm]gu_1u_2g^{-1} \in gUg^{-1},[/mm] da [mm]u_1u_2 \in[/mm] U aufgrund
> der Abgeschlossenheit von U.
>
> 2.) Existenz der Inversen
>
> [mm](gu^{-1}g^{-1})(gug^{-1})=gu^{-1}(g^{-1}g)ug^{-1}=g(u^{-1}u)g^{-1}=gg^{-1}=e.[/mm]
>
> Damit ist das Inverse eines Elements in [mm]gUg^{-1}[/mm] gegeben
> durch [mm](gug^{-1})^{-1}=gu^{-1}g^{-1}.[/mm]
Ist das neutrale Element dabei?
> Aus allem bisher Gezeigten folgt:
> [mm]gUg^{-1}=U,[/mm] da es nach Voraussetzung genau eine
> Untergruppe der Ordnung k gibt.
Der Weg ist OK, aber es gibt noch ein paar technische Mängel.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mi 17.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Danke für die Reaktion. Ich werde versuchen, die Mängel zu beseitigen.
Habe ich das richtig verstanden, dass dort Mängel vorliegen, wo Du die Fragen in das Zitat meines Ausgangstextes eingebaut hast? |
Kann ich für die angesprochenen Mängel evtl. auch Hilfestellungen bekommen?
Dankesehr!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mi 17.11.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Danke für die Reaktion. Ich werde versuchen, die Mängel
> zu beseitigen.
>
> Habe ich das richtig verstanden, dass dort Mängel
> vorliegen, wo Du die Fragen in das Zitat meines
> Ausgangstextes eingebaut hast?
Ja, die beiden Stellen solltest du auf jeden Fall bereinigen.
> Kann ich für die angesprochenen Mängel evtl. auch
> Hilfestellungen bekommen?
Von mir eher nicht, ich gehe gleich offline. Aber es wird sich jd. finden.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mi 17.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es wurden zwei Dinge in meinem Beweis bemängelt:
1.) Ich habe den Begriff der Surjektivität missverstanden.
2.) Ich habe nicht gezeigt, dass das neutrale Element e in der Untergruppe ist. |
Zum 1.) Punkt habe ich keine Frage, das ist ganz klar: falsches Verständnis, also falscher Beweis.
Aber zum 2. Kritikpunkt habe ich eine Frage.
Ich möchte ja zeigen, dass [mm] gUg^{-1} [/mm] eine Untergruppe von G ist. Ich habe mir also ganz unkompliziert das Untergruppenkriterium "genommen".
Dieses lautet ja:
"Sei U eine Teilmenge der Gruppe G. Dann ist U eine Untergruppe von G, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
(i) U ist nicht die leere Menge.
(ii) Wenn g [mm] \in [/mm] U ist, so ist auch [mm] g^{^-1} \in [/mm] U.
(iii) Wenn g,h [mm] \in [/mm] U sind, so ist auch gh [mm] \in [/mm] U."
Und ich sehe nicht, inwiefern es nun von Belang ist, dass das neutrale Element in der Untergruppe ist. Das Untergruppenkriterium ist erfüllt und somit ist [mm] gUg^{-1} [/mm] eben eine Untergruppe.
Oder?!...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Mi 17.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich möchte auch gleich versuchen, den ersten Fehler zu berichtigen.
Dieser betraf den Begriff der Surjektivität .
Dieser besagt:
Es seien X und Y Mengen, sowie f: [mm] X\to [/mm] Y eine Abbildung.
f heißt surjektiv, wenn für alle y aus Y mindestens ein x aus X mit f(x) = y existiert.
Formal:
Für alle y [mm] \in [/mm] Y ex. ein x [mm] \in [/mm] X: f(x)=y.
Für meine Aufgabe:
Sei [mm] gu_1g^{-1} [/mm] ein beliebiges Element in [mm] gUg^{-1}.
[/mm]
Dann ex. ein [mm] u_1 \in [/mm] U mit [mm] \phi(u_1)=gu_1g^{-1}, [/mm] wobei [mm] \phi: [/mm] U [mm] \to gUg^{-1} [/mm] ist.
Für jedes Element in [mm] gUg^{-1} [/mm] ex. also mindestens ein Urbild in U.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Do 18.11.2010 | | Autor: | statler |
> Ich möchte auch gleich versuchen, den ersten Fehler zu
> berichtigen.
>
> Dieser betraf den Begriff der Surjektivität .
>
>
> Dieser besagt:
> Es seien X und Y Mengen, sowie f: [mm]X\to[/mm] Y eine Abbildung.
>
> f heißt surjektiv, wenn für alle y aus Y mindestens ein x
> aus X mit f(x) = y existiert.
>
> Formal:
>
> Für alle y [mm]\in[/mm] Y ex. ein x [mm]\in[/mm] X: f(x)=y.
>
>
>
> Für meine Aufgabe:
>
> Sei [mm]gu_1g^{-1}[/mm] ein beliebiges Element in [mm]gUg^{-1}.[/mm]
Noch etwas penibler: Es sei y ein beliebiges Element in [mm]gUg^{-1}[/mm]. Das kann ich auf Grund der Def. von [mm]gUg^{-1}[/mm] schreiben als y = [mm] gu_1g^{-1} [/mm] mit [mm] u_1 \in [/mm] U. Usw.
> Dann ex. ein [mm]u_1 \in[/mm] U mit [mm]\phi(u_1)=gu_1g^{-1},[/mm] wobei
> [mm]\phi:[/mm] U [mm]\to gUg^{-1}[/mm] ist.
>
> Für jedes Element in [mm]gUg^{-1}[/mm] ex. also mindestens ein
> Urbild in U.
Der Mathe-Slang, also die Beherrschung der Fachsprache, gehört mit zur Ausbildung  .
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 Do 18.11.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Es wurden zwei Dinge in meinem Beweis bemängelt:
>
> 1.) Ich habe den Begriff der Surjektivität
> missverstanden.
> 2.) Ich habe nicht gezeigt, dass das neutrale Element e in
> der Untergruppe ist.
> Zum 1.) Punkt habe ich keine Frage, das ist ganz klar:
> falsches Verständnis, also falscher Beweis.
>
> Aber zum 2. Kritikpunkt habe ich eine Frage.
> Ich möchte ja zeigen, dass [mm]gUg^{-1}[/mm] eine Untergruppe von
> G ist. Ich habe mir also ganz unkompliziert das
> Untergruppenkriterium "genommen".
>
> Dieses lautet ja:
>
> "Sei U eine Teilmenge der Gruppe G. Dann ist U eine
> Untergruppe von G, falls folgende Bedingungen erfüllt
> sind:
> (i) U ist nicht die leere Menge.
> (ii) Wenn g [mm]\in[/mm] U ist, so ist auch [mm]g^{^-1} \in[/mm] U.
> (iii) Wenn g,h [mm]\in[/mm] U sind, so ist auch gh [mm]\in[/mm] U."
>
> Und ich sehe nicht, inwiefern es nun von Belang ist, dass
> das neutrale Element in der Untergruppe ist. Das
> Untergruppenkriterium ist erfüllt und somit ist [mm]gUg^{-1}[/mm]
> eben eine Untergruppe.
Wenn das dein Untergruppenkriterium ist, dann hast du nicht gezeigt, daß [mm] gUg^{-1} [/mm] nicht die leere Menge ist. Und das ist deswegen so, weil e da drin liegt.
Mathematiker neigen zur Pedanterie, das liegt in der Natur der Sache.
Gruß aus HH
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Do 18.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ja, stimmt!...
Das sehe ich jetzt erst.
1000 Dank.
(Pedanterie ist bestimmt eine gute Eigenschaft! )
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