Normalteiler, Monomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:02 So 30.11.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Wenn $N, M [mm] \subseteqG$ [/mm] Normalteiler sind und wenn gilt $N [mm] \cap [/mm] M = [mm] \{e_G\}$, [/mm] dann ist die Abbildung
$f:N [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] G$
$(n, m) [mm] \mapsto [/mm] n [mm] \cdot [/mm] m$
ein Monomorphismus. |
Hi,
ich möchte diese Aufgabe lösen.
Zu erst muss ich zeigen, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist. Also das
[mm] f((n_1n_2,m_1m_2))=f((n_1,m_1))f((n_2,m_2)) [/mm] gilt, bzw. die Elemente von N und M kommutieren.
Danach, dass f injektiv ist, also der Kern trivial.
Nun habe ich folgenden Satz:
Sei G Gruppe und H, K Untergruppen In G.
Angenommen es gilt
I) $HK=G$
II) [mm] $H\cap K=\{e_G\}$
[/mm]
III) Für alle [mm] $h\in [/mm] H$ gilt $hk=kh$
Dann ist die Abbildung
[mm] $H\times K\to [/mm] G, [mm] (h,k)\mapsto [/mm] hk$ ein Isomorphismus.
Die Bedingung III) bedeutet ja gerade, dass H, K Normalteiler sind, bzw. lässt sich dadurch ersetzen. Das einzige was mir jetzt fehlen würde ist, dass NM=G ist. Aber das ist auch nicht unbedingt notwendig, weil ich ja nur einen Monomorphismus haben möchte und keinen Isomorphismus.
Nun haben wir im Beweis dieses Satzes folgendes gemacht:
[mm] $\phi((h,k))\phi((h',k'))=hkh'k'=hh'kk'$
[/mm]
Und das ist ja genau das was ich brauche. Das die Elemente kommutieren, aber mir ist nicht klar warum es gilt. Im Beweis wird es nicht näher begründet.
Könnte mir jemand diesen Schritt erklären?
Oder folgt die Aussage direkt aus dem oben angegebenen Satz?
Danke.
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moin,
um zu zeigen, dass die Elemente kommutieren, musst du dein Wissen über den Schnitt benutzen. Genauer: Wenn $n [mm] \in [/mm] N$ und $m [mm] \in [/mm] M$ existieren mit $nm [mm] \neq [/mm] mn$, dann kannst du daraus ein Element [mm] $\neq [/mm] e$ im Schnitt von $N$ und $M$ konstruieren, was im Widerspruch zur Annahme steht.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:06 So 30.11.2014 | | Autor: | YuSul |
"Wenn $ n [mm] \in [/mm] N $ und $ m [mm] \in [/mm] M $ existieren mit $ nm [mm] \neq [/mm] mn $"
Beißt sich das nicht schon damit, dass M ein Normalteiler ist und da die Linksnebenklassen mit den Rechtsnebenklassen übereinstimmen?
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Nein.
Da es Normalteiler sind, muss
[mm] $nmn^{-1} \in [/mm] M$ gelten, das heißt aber noch lange nicht
[mm] $nmn^{-1} [/mm] = m$ - was ja $nm = mn$ heißt - es könnte auch ein beliebiges anderes Element aus $M$ sein.
Wenn dir das noch nicht ganz klar ist guck dir als Beispiel vielleicht mal die [mm] $S_3$ [/mm] mit Normalteiler [mm] $A_3$ [/mm] an, wenn du dort mit Transpositionen konjugierst vertauschst du die Elemente der [mm] $A_3$ [/mm] und lässt sie nicht fest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:59 So 30.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok.
Jetzt muss ich probieren ein Element in N so zu konstruieren, dass es auch die Form
[mm] $nmn^{-1}$
[/mm]
hat, oder wäre das ein falscher Ansatz? Denn das bekomme ich gerade nicht wirklich hin...
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Betrachte mal das Element
$g := [mm] mnm^{-1}n^{-1}$. [/mm] Wenn das gleich $e$ ist, gilt $mn = nm$ und du bist fertig.
Wir wissen bereits, dass $e$ das einzige Element in $M [mm] \cap [/mm] N$ ist, also versuch mal die Normalteilereigenschaft zu benutzen um zu begründen, warum $g [mm] \in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N$ gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 So 30.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Woran erkennt man denn das ein Element im Schnitt liegen würde?
Klar, indem ich nachrechne, dass es in beiden Untergruppen enthalten ist, aber gibt es auch eine Möglichkeit das direkt zu erkennen? Also in einer Rechnung und nicht in zwei?
Welche Eigenschaft eines Normalteilers meinst du? Das für beliebiges [mm] $g\in [/mm] G$ auch [mm] $gng^{-1}\in [/mm] N$.
Denn damit konnte ich bisher nicht wirklich etwas erreichen...
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> Woran erkennt man denn das ein Element im Schnitt liegen
> würde?
>
> Klar, indem ich nachrechne, dass es in beiden Untergruppen
> enthalten ist, aber gibt es auch eine Möglichkeit das
> direkt zu erkennen? Also in einer Rechnung und nicht in
> zwei?
Nein, im Allgemeinen nicht.
> Welche Eigenschaft eines Normalteilers meinst du? Das für
> beliebiges [mm]g\in G[/mm] auch [mm]gng^{-1}\in N[/mm].
Wähle $g=m$.
> Denn damit konnte ich bisher nicht wirklich etwas
> erreichen...
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 So 30.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Damit habe ich es schon versucht, also wenn ich
[mm] $mnm^{-1}n^{-1}$ [/mm] habe und nun diese Eigenschaft ausnutze, dann kann ich ja auch [mm] $m^{-1}nm\in [/mm] N$ nutzen. Wenn ich das auf den Ausdruck anwende, dann ist es einfach e.
Aber das würde ja nichts bringen.
Oder meinst du ich soll diese Gleichung verwenden
[mm] $m=mnm^{-1}n^{-1}$
[/mm]
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> Damit habe ich es schon versucht, also wenn ich
>
> [mm]mnm^{-1}n^{-1}[/mm] habe und nun diese Eigenschaft ausnutze,
> dann kann ich ja auch [mm]m^{-1}nm\in N[/mm] nutzen. Wenn ich das
> auf den Ausdruck anwende, dann ist es einfach e.
Was bedeutet "Auf den Ausdruck anwenden" und was bedeutet "es ist einfach e"? Du willst am Ende haben, dass [mm] $mnm^{-1}n^{-1}\in M\cap [/mm] N$. Wir können bescheiden anfangen und erstmal nur [mm] $mnm^{-1}n^{-1}\in [/mm] N$ zeigen. Nun hast du aber gerade festegestellt, dass [mm] $mnm^{-1}\in [/mm] N$, und dass [mm] $n^{-1}\in [/mm] N$ sollte bekannt sein. So langsam sollte die Sirene leuchten.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
> Aber das würde ja nichts bringen.
> Oder meinst du ich soll diese Gleichung verwenden
>
> [mm]m=mnm^{-1}n^{-1}[/mm]
>
Da aus dieser Gleichung $m=1$ folgen würde, sollten wir das nicht verwenden 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 So 30.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, das habe ich verstanden.
Jetzt muss ich noch [mm] $mnm^{-1}n^{-1}\in [/mm] M$ zeigen.
Dann schreibe ich
[mm] $nmn^{-1}nm^{-1}n^{-1}=nmm^{-1}n^{-1}=nn^{-1}=e\in [/mm] M$
Also ich wende auf m zu erst an, dass [mm] nmn^{-1} [/mm] in M liegt, weil M Normalteiler ist. Nun kürzen sich die teile entsprechend raus und ich erhalte das neutral Element wovon ich ja weiß, dass es in M liegt.
Oder bringt es nichts auf das neutral Element zu schließen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 So 30.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also noch mal alles zusammen: Du möchtest jetzt $mn=nm [mm] \gdw mnm^{-1}n^{-1}=e$ [/mm] zeigen. Wegen [mm] $N\cap M=\{e\}$ [/mm] gilt zudem [mm] $mnm^{-1}n^{-1}=e \gdw mnm^{-1}n^{-1}\in N\cap [/mm] M$. Ist die klar, warum?
Jetzt zeige [mm] mnm^{-1}n^{-1}\in N\cap [/mm] M. Dafür zeigst du
i) [mm] $mnm^{-1}n^{-1}\in [/mm] N$
UND
ii) [mm] $mnm^{-1}n^{-1}\in [/mm] M$
Die Gleichung, mit der du da eben gestartet bist hatte viel zu viele n's und m's. Du musst mit [mm] mnm^{-1}n^{-1} [/mm] starten und dann damit arbeiten, dass sowohl $M$ als auch $N$ Normalteiler sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 So 30.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, ich denke mir ist klar warum. Grob gesagt liegt es daran, weil man eben darauf achten muss "von welcher Seite" man die Inversen multipliziert.
Ok, ich muss noch zeigen, dass es sich um ein Element von M handelt. Das es in N liegt weiß ich ja bereits.
Im Grunde habe ich es hier ja mit dem Kommutator
[mm] $[m,n]=mnm^{-1}n^{-1}$
[/mm]
zu tun. Nun steht im Skript, dass für [mm] $[a,b]=e\Leftrightarrow$ [/mm] a und b vertauschen.
Aber das kann ich ja einfach mit der Eigenschaft des Normalteilers wie oben erreichen, oder nicht. Dann weiß ich, dass die Elemente kommutieren und habe das was ich brauche.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 So 30.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Woher weißt du denn, dass es in $N$ liegt?
Das mit den Kommutatoren brauchst du im Moment nicht, nur die Normalteilereigenchaft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 So 30.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Das hatten wir doch in dem Beitrag von UniversellesObjekt gesehen?
Von welcher Eigenschaft des Normalteilers sprechen wir? Ok, viele sind äquivalent, aber ich denke nicht jede dieser Äquivalenzen sind geeignet.
Ihr sprecht doch von dieser, das für [mm] $n\in [/mm] N$ auch [mm] $mnm^{-1}\in [/mm] N$, weil damit komme ich nicht zum Ziel, egal wie ich diese Elemente hinzufüge.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 So 30.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Nein, das haben wir ja eben noch nicht gesehen. ;)
Ich meine z.B. die Eigenschaft [mm] $gng^{-1}\in [/mm] N$ für alle [mm] $n\in [/mm] N$ und $g [mm] \in [/mm] G$. Damit gilt doch z.B.
$mnm=n'$ für irgendein [mm] $n'\in [/mm] N$. Damit gilt also [mm] $mnm^{-1}n^{-1}=n'n^{-1}$... [/mm] und ist dieses Element in $N$ oder nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 So 30.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, das wäre ein Element in N, weil
[mm] $mnm^{-1}\in [/mm] N$ und [mm] $n^{-1}\in [/mm] N$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 So 30.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Genau. Und wie geht das jetzt mit [mm] $\in [/mm] M$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Mo 01.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Wahrscheinlich analog, nur das ich diesmal mit einem anderen m anfange, nämlich mit [mm] $m^{-1}$, [/mm] aber das hat ja auch die Normalteilereigenschaft.
Dann gilt für irgendein [mm] $m'\in [/mm] M$, dass
[mm] $m'=m^{-1}=nm^{-1}n^{-1}$
[/mm]
Nun multipliziere ich von links ein m dran und erhalte damit die Behauptung, weil dies nun wieder ein Element in M ist, weil M abgeschlossen ist.
[mm] $mm'=mnm^{-1}n^{-1}\in [/mm] M$
Wenn das alles war Fang ich an zu heulen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Teufel |
Nein, wieso sollte [mm] nm^{-1}n^{-1}=m^{-1} [/mm] sein? Mach es doch ganz analog zu vorher: Es gibt ein m' mit [mm] m'=nm^{-1}n^{-1}. [/mm] Also ist [mm] mnm^{-1}n^{-1}=...
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mo 01.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, dann lasse ich diese Gleichungskette einfach weg und den Rest wie gehabt...
Das wäre ja die analoge Vorgehensweise.
Also nur
[mm] $m'=nm^{-1}n^{-1}$ [/mm]
dann ist [mm] $mm'=mnm^{-1}n^{-1}$
[/mm]
Und das ist wieder ein Element von M.
Dann wäre der Schnitt dieser Mengen aber nicht trivial.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Teufel |
Doch, der Schnitt ist trivial, das ist ja schon gegeben!
Du hast gezeigt: [mm] $mnm^{-1}n^{-1}\in [/mm] M [mm] \cap [/mm] N$. Du hast in der Aufgabe gegeben: [mm] $M\cap [/mm] N = [mm] \{e\}$. [/mm] Was folgt dann daraus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Mo 01.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Achso, ich dachte es würde ein Widerspruch folgen, aber dann folgt, dass es sich dabei um das Neutralelement handeln muss.
Daher kann ich die Elemente vertauschen. Aus
[mm] $mnm^{-1}n^{-1}$ [/mm] wird [mm] $mm^{-1}nn^{-1}=e$.
[/mm]
Puhh... schwere Geburt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Teufel |
Na ja also [mm] mm^{-1}nn^{-1} [/mm] gilt ja immer, das brauchst du nicht folgern.
Wichtig ist [mm] $mnm^{-1}n^{-1}=e \gdw [/mm] mn=nm$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Mo 01.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, und mit dieser Erkenntnis kann ich nun die Homomorphieeigenschaft zeigen. Danach brauch ich nur noch einen trivialen Kern, da kann ich das denke ich mal verwenden, aber ich gehe nun erst einmal ins Bett.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Teufel |
Ok ;)
Dann gute Nacht!
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> [mm]mnm^{-1}n^{-1}[/mm] habe und nun diese Eigenschaft ausnutze,
> dann kann ich ja auch [mm]m^{-1}nm\in N[/mm] nutzen. Wenn ich das
> auf den Ausdruck anwende, dann ist es einfach e.
Nein, immer noch nicht!
Es ist $g := [mm] m^{-1}nm$ [/mm] ein Element von $N$, aber das heißt noch lange nicht $g=n$. Wiegesagt, guck dir nochmal an, wie ein Normalteiler definiert ist, die einzelnen Elemente müssen nicht zwingend fest gelassen werden!
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