Normalteiler einer Gruppe < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A3.) Sei M eine nichtleere endliche Menge und [mm] ($2^M, [/mm] +$) eine Gruppe, wobei $+ [mm] :\Leftrightarrow 2^M \times 2^M \rightarrow 2^M: [/mm] (X,Y) [mm] \mapsto [/mm] (X [mm] \cup Y)\setminus [/mm] (X [mm] \cap [/mm] Y).$
Sei $N [mm] \subseteq 2^M$ [/mm] diejenige Teilmenge der Potenzmenge von M, die alle Teilmengen mit Mächtigkeit [mm] $\in 2\mathbb{N}$ [/mm] enthält.
a.) Zeigen Sie, dass N ein Normalteiler von [mm] ($2^M, [/mm] +$) ist.
b.) Bestimmen Sie dessen Kardinalität sowie dessen Index in [mm] $2^M$. [/mm] |
Hallo zusammen,
eine neue Übungsaufgabe, die mir den Kopf zerbricht. Es beginnt alleine schon da, das ich das Konzept des Normalteilers nicht ganz nachvollziehen kann.
Laut Skript ist eine Untergruppe N einer Gruppe G ein Normalteiler, falls gilt [mm] $\forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G: [mm] g^{-1}Ng [/mm] = N$ und dies entspricht der Äquivalenz von Links- und Rechtsnebenklassen.
a.) Ich müsste obiges nachweisen, aber da ich nicht weiß, was mit geraden Mächtigkeit in diesem Kontext anzufangen ist - kann ich keinen Ansatz aufzeigen.
b.) Auch hier bin ich leider überfragt, alles was ich weiß, ist dass der Index [mm] $|2^M [/mm] : N|$ die Anzahl der Rechtsnebenklassen von [mm] $2^M$ [/mm] modulo N ist.
Ich danke euch im Voraus für Ratschläge.
Grüße
Joe
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> A3.) Sei M eine nichtleere endliche Menge und ([mm]2^M, +[/mm]) eine
> Gruppe, wobei [mm]+ :\Leftrightarrow 2^M \times 2^M \rightarrow 2^M: (X,Y) \mapsto (X \cup Y)\setminus (X \cap Y).[/mm]
>
> Sei [mm]N \subseteq 2^M[/mm] diejenige Teilmenge der Potenzmenge von
> M, die alle Teilmengen mit Mächtigkeit [mm]\in 2\mathbb{N}[/mm]
> enthält.
>
> a.) Zeigen Sie, dass N ein Normalteiler von ([mm]2^M, +[/mm]) ist.
> b.) Bestimmen Sie dessen Kardinalität sowie dessen Index
> in [mm]2^M[/mm].
> Hallo zusammen,
>
> eine neue Übungsaufgabe, die mir den Kopf zerbricht. Es
> beginnt alleine schon da, das ich das Konzept des
> Normalteilers nicht ganz nachvollziehen kann.
>
> Laut Skript ist eine Untergruppe N einer Gruppe G ein
> Normalteiler, falls gilt [mm]\forall g \in G: g^{-1}Ng = N[/mm] und
> dies entspricht der Äquivalenz von Links- und
> Rechtsnebenklassen.
Für den Normalteiler gibt es 3 äquivalente Definitionen:
- [mm]\forall g\in G : g^{-1}Ng=N[/mm]
- [mm]\forall g\in G : g^{-1}Ng\subseteq N[/mm]
- [mm]\forall g\in G : gN=Ng[/mm]
Du brauchst nur eine davon zeigen. Am einfachsten ist meistens [mm]\forall g\in G : g^{-1}Ng\subseteq N[/mm]
>
> a.) Ich müsste obiges nachweisen, aber da ich nicht weiß,
> was mit geraden Mächtigkeit in diesem Kontext anzufangen
> ist - kann ich keinen Ansatz aufzeigen.
>
Die Verknüpfung ist gegeben durch [mm]\red{+} : 2^M \times 2^M \rightarrow 2^M, (X,Y) \mapsto (X \cup Y)\setminus (X \cap Y).[/mm]
Du nimmst dir eine beliebiges [mm]n\in N[/mm] aus dem Normalteiler [mm] $N=\{A\subseteq 2^M\; | \; |A|=2\IN\}$ [/mm] und ein beliebiges Element [mm]g[/mm] aus [mm]G=2^M[/mm].
Dann berechnest du [mm]g^{-1}\red{+}n\red{+}g=g^{-1}\red{+}((n\cup g)\setminus (n\cap g)) = \ldots \in N[/mm] . Sprich du formst den Ausdruck [mm]g^{-1}\red{+}n\red{+}g[/mm] solange um, bis du am Ende eine Menge mit Mächtigkeit [mm] $2\IN$ [/mm] erhälst.
Bedenke dabei, dass g eine Menge beliebiger Mächtigkeit ist und $n$ nur eine Menge mit Mächtigkeit [mm] $2\IN$.
[/mm]
Hilft das?
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Ich danke dir für deine Antwort wieschoo.
Ich muss wahrscheinlich zeigen, dass $ [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G: [mm] g^{-1}Ng [/mm] = N $, da nur diese Definition im Skript steht oder darf ich durch dieses Wissen deine Formel: $ [mm] \forall g\in [/mm] G : [mm] g^{-1}Ng\subseteq [/mm] N $ anwenden?
Gut, ich habe jetzt den Ansatz, dass ich belegen muss, dass bei der Operation von [mm] $g^{-1}+n+g$ [/mm] eine Menge mit gerade Kardinalität herauskommen muss. Wie kann ich das jedoch zeigen? Wann weiß ich, dass die Menge eine gerade Kardinalität bei der Anwendung der symmetrischen Differenz (das entspricht ja der Operation) hat? Was bedeutet in diesem Kontext überhaupt inverses Element, schließlich ist diese Gruppe selbstinvers (d.h. jedes Element invertiert sich selbst)?
EDIT: Darf ich eigentlich nicht anwenden, dass die Gruppe abelsch also kommutativ ist und da [mm] $g^{-1}+n+g [/mm] = n+ [mm] g^{-1}+g [/mm] = n$ wäre N nach Definition ein Normalteiler oder geht das nicht?
Bei deiner Definition von N meinst du sicherlich $ [mm] N=\{A\subseteq 2^M\; | \; |A| ~ \red{\in} ~ 2\IN\} [/mm] $ - da ansonsten deine Aussage sagen würde, dass die Kardinalität unendlich wäre :)
Also jetzt zu deinem Ansatz:
=> $|n| [mm] \in 2\IN\$ [/mm] und $n, g [mm] \in 2^M$, [/mm] wobei $n [mm] \in [/mm] n$.
=> [mm]g^{-1}+n+g = ((g^{-1} \cup n)\setminus (g^{-1} \cap n))+g = (((g^{-1} \cup n)\setminus (g^{-1} \cap n))\cup g)\setminus (((g^{-1} \cup n)\setminus (g^{-1} \cap n))\cap g)[/mm]
=> was bringt mir das jetzt?
Grüße
Joe
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> EDIT: Darf ich eigentlich nicht anwenden, dass die Gruppe
> abelsch also kommutativ ist und da [mm]g^{-1}+n+g = n+ g^{-1}+g = n[/mm]
> wäre N nach Definition ein Normalteiler oder geht das
> nicht?
Sehr gut!
Allerding brauchst du mehr als das.
Zeige, dass die Gruppe abelsch ist, d.h. für beliebige [mm] $g,h\in 2^M$ [/mm] gilt $g+h=h+g$.
Allerdings müsstest du hier auch zeigen, dass N eine Untergruppe ist.
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Analog zu diesem Thread: https://matheraum.de/read?t=925987 :)
Ich zeige nun, dass die Gruppe abelsch ist:
Seien $A, B [mm] \in 2^M$ [/mm] so ist $A + B = (A [mm] \cup B)\setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$.
Sei jetzt $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup B)\setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) <=> x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \land [/mm] x [mm] \notin [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) <=> x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] A) [mm] \land [/mm] x [mm] \notin [/mm] (B [mm] \cap [/mm] A)$ - ich berufe mich auf die Kommutativität von Schnitt und Vereinigung, welcher bereits bewiesen worden ist - $<=> x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup A)\setminus [/mm] (B [mm] \cap [/mm] A) <=> x [mm] \in [/mm] B+A$.
Hieraus folgt, dass [mm] $(2^M, [/mm] +)$ eine abelsche Gruppe ist.
Natürlich hätte man statt A,B auch g,h nehmen können, aber Großbuchstaben für Mengen wirken besser :)
Jetzt könnte ich die Kommutativität und Assoziativität anwenden => [mm] $g^{-1}+n+g [/mm] = [mm] n+g^{-1}+g [/mm] = n + [mm] \emptyset [/mm] = n$ und da $|n| [mm] \in 2\IN\$ [/mm] ist N ein Normalteiler. Aber so könnte ich im Grunde jede Teilmenge C auf [mm] $2^M$ [/mm] nehmen und eine solche Aussage treffen - die Aufgabe kann doch nicht so einfach sein oder? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Mo 19.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo JoeSunnex,
> Ich zeige nun, dass die Gruppe abelsch ist:
>
> Seien [mm]A, B \in 2^M[/mm] so ist [mm]A + B = (A \cup B)\setminus (A \cap B)[/mm].
>
> Sei jetzt [mm]x \in (A \cup B)\setminus (A \cap B) <=> x \in (A \cup B) \land x \notin (A \cap B) <=> x \in (B \cup A) \land x \notin (B \cap A)[/mm]
> - ich berufe mich auf die Kommutativität von Schnitt und
> Vereinigung, welcher bereits bewiesen worden ist - [mm]<=> x \in (B \cup A)\setminus (B \cap A) <=> x \in B+A[/mm].
> Hieraus folgt, dass [mm](2^M, +)[/mm] eine abelsche Gruppe ist.
Sehr schön! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt könnte ich die Kommutativität und Assoziativität
> anwenden => [mm]g^{-1}+n+g = n+g^{-1}+g = n + \emptyset = n[/mm]
> und
> da [mm]|n| \in 2\IN\[/mm] ist N ein Normalteiler.
Ja, wenn N denn eine Untergruppe ist.
[mm] ($N\subseteq g^{-1}Ng$ [/mm] für alle [mm] $g\in [/mm] G$ müsstest du gegebenenfalls auch noch zeigen, wenn ihr die von wieschoo genannte Charakterisierung eines Normalteilers noch nicht hattet.)
> Aber so könnte
> ich im Grunde jede Teilmenge C auf [mm]2^M[/mm] nehmen und eine
> solche Aussage treffen
Jede Untergruppe C, nicht jede Teilmenge C.
> - die Aufgabe kann doch nicht so
> einfach sein oder? :)
Mir kam sie auch schon merkwürdig vor, aber offensichtlich ist dieser Teil so einfach. Zumindest, wenn man, wie du, auf die gute Idee kommt, die Kommutativität auszunutzen.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 Mo 19.11.2012 | | Autor: | wieschoo |
Es fehlt noch die Abgeschlossenheit [mm]A,B\in N\Rightarrow A+B\in N[/mm].
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Mo 19.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Es fehlt noch die Abgeschlossenheit [mm]A,B\in N\Rightarrow A+B\in N[/mm].
Ja, unter anderem das meinte ich mit "wenn N denn eine Untergruppe ist".
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Mo 19.11.2012 | | Autor: | wieschoo |
> > Es fehlt noch die Abgeschlossenheit [mm]A,B\in N\Rightarrow A+B\in N[/mm].
> Ja, unter anderem das meinte ich mit "wenn N denn eine
> Untergruppe ist".
>
Das weiß ich. Ich wollte nur nicht, dass es untergeht.
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Danke euch wieschoo und Tobias :)
OK, dann zeige ich jetzt, dass N eine Untergruppe von [mm] $(2^M, [/mm] +)$ ist.
Für eine Untergruppe muss gelten:
$i) ~ [mm] \forall [/mm] n,n' [mm] \in [/mm] N: n + n' [mm] \in [/mm] N$
$ii) ~ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N: [mm] n^{-1} \in [/mm] N$
zu i.)
Seien $n, n' [mm] \in [/mm] N$ daraus folgt, dass $|n|$ und $|n'| [mm] \in 2\IN\$. [/mm] Also lässt sich $|n|$ schreiben als $p + q$ und $|n'|$ als $r + q$, mit $p,q,r [mm] \in \IN\$, [/mm] $p+q, r+q [mm] \in 2\IN\$ [/mm] und $q = |n [mm] \cap [/mm] n'|$. Jetzt beschreibt obige Operation die symmetrische Differenz, d.h. $|n+n'| = |n [mm] \cup [/mm] n'| - |n [mm] \cap [/mm] n'| = p + r - 2q$. Nach obiger Definition folgt daher, dass $p + r [mm] \in 2\IN$ [/mm] (da p und r "gleichartig") und das bedeutet, dass $n + n' = n [mm] \Delta [/mm] n' [mm] \in [/mm] N$.
zu ii.)
Da die Gruppe selbstinvers ist, gilt für alle Elemente von N, dass Sie sich selbst auf die leere Menge - welche ebenfalls eine gerade Kardinalität (0) hat - invertiert.
=> [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N: [mm] n^{-1} [/mm] = n$, da $n [mm] \Delta [/mm] n = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Ist das ein formal korrekter Beweis für die a? Vielleicht schaffe ich es mich doch langsam an diese Denkweise zu gewöhnen :)
Wir dürfen wieschoos Definition seit heute verwenden, da wir einen Trick angewandt haben um so die doppelte Inklusion durch einfache Inklusion zu ersetzen.
Wie sieht es jetzt mit der b aus?
Grüße
Joe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Di 20.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> OK, dann zeige ich jetzt, dass N eine Untergruppe von [mm](2^M, +)[/mm]
> ist.
>
> Für eine Untergruppe muss gelten:
>
> [mm]i) ~ \forall n,n' \in N: n + n' \in N[/mm]
> [mm]ii) ~ \forall n \in N: n^{-1} \in N[/mm]
Und N muss nichtleer sein.
> zu i.)
>
> Seien [mm]n, n' \in N[/mm] daraus folgt, dass [mm]|n|[/mm] und [mm]|n'| \in 2\IN\[/mm].
> Also lässt sich [mm]|n|[/mm] schreiben als [mm]p + q[/mm] und [mm]|n'|[/mm] als [mm]r + q[/mm],
> mit [mm]p,q,r \in \IN\[/mm], [mm]p+q, r+q \in 2\IN\[/mm] und [mm]q = |n \cap n'|[/mm].
> Jetzt beschreibt obige Operation die symmetrische
> Differenz, d.h. [mm]|n+n'| = |n \cup n'| - |n \cap n'| = p + r - 2q[/mm].
Am Ende muss es (p+r+q)-q=p+r heißen.
> Nach obiger Definition folgt daher, dass [mm]p + r \in 2\IN[/mm] (da
> p und r "gleichartig")
Mit gleichartig meinst du wohl: beide gerade oder beide ungerade. Das solltest du aus meiner Sicht näher begründen.
> und das bedeutet, dass [mm]n + n' = n \Delta n' \in N[/mm].
Sonst aus meiner Sicht ok.
> zu ii.)
>
> Da die Gruppe selbstinvers ist, gilt für alle Elemente von
> N, dass Sie sich selbst auf die leere Menge - welche
> ebenfalls eine gerade Kardinalität (0) hat - invertiert.
Sag besser: Jedes Element der Gruppe ist selbstinvers.
> => [mm]\forall n \in N: n^{-1} = n[/mm], da [mm]n \Delta n = \emptyset[/mm].
Ja.
> Ist das ein formal korrekter Beweis für die a? Vielleicht
> schaffe ich es mich doch langsam an diese Denkweise zu
> gewöhnen :)
Scheint wirklich so! Freut mich. 
> Wie sieht es jetzt mit der b aus?
Kennt ihr schon den Satz von Lagrange? Dann genügt es, eine der beiden gesuchten Zahlen explizit zu bestimmen und die andere lässt sich daraus berechnen.
Zur Kardinalität von N: Du könntest mal die Beispiele [mm] $M=\{a\}$, $M=\{a,b\}$, $M=\{a,b,c\}$ [/mm] und [mm] $M=\{a,b,c,d\}$ [/mm] betrachten, um eine Vermutung zu erhalten.
Zum Index von N in [mm] $2^M$: [/mm] Hier ist also die Menge der Linksnebenklassen [mm] $2^M/N$ [/mm] zu bestimmen. Eine Linksnebenklasse ist auf jeden Fall [mm] $\emptyset+N=N$. [/mm] Damit hast du die Linksnebenklasse aller Elemente von N. Betrachte mal ein Element von [mm] $2^M$, [/mm] das nicht in N liegt, z.B. [mm] $\{m\}$ [/mm] für ein [mm] $m\in [/mm] M$ (so eines existiert ja, da M nicht leer). Wie sieht seine Linksnebenklasse [mm] $\{m\}+N$ [/mm] aus? Vielleicht hilft auch hier die Betrachtung von Beispielen, um zu einer allgemeinen Vermutung zu gelangen.
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> Und N muss nichtleer sein.
>
Stimmt, aber da ich Elemente aus N gewählt habe um die Axiome zu beweisen, ist das doch eine Folgerung oder :)?
>
> Am Ende muss es (p+r+q)-q=p+r heißen.
>
Stimmt, habe vergessen abzuziehen - danke.
> Mit gleichartig meinst du wohl: beide gerade oder beide
> ungerade. Das solltest du aus meiner Sicht näher
> begründen.
>
Genau, das meine ich mit "Gleichartigkeit". Dann hier noch eine explizite Begründung. Die Summe zweier natürlicher Zahlen ist nur dann gerade, wenn beide Summanden entweder gerade oder ungerade sind. Da $p+q$ und $r+q$ gerade, hängt der ganze Fall von $q$ ab. Ist $q$ ungerade, sind p und r ungerade, da ansonsten die Summen nicht gerade sind. Ist q gerade, sind p und r gerade aus obigem Grund.
> Scheint wirklich so! Freut mich.
Danke :) Es motiviert schon ungemein, wenn man mal einen eigenen (korrekten!) Ansatz zu Papier bringen kann.
>
> > Wie sieht es jetzt mit der b aus?
> Kennt ihr schon den Satz von Lagrange? Dann genügt es,
> eine der beiden gesuchten Zahlen explizit zu bestimmen und
> die andere lässt sich daraus berechnen.
Der Satz von Lagrange ist mir bekannt, das ist die Aussage, dass die Ordnung der Gruppe das Produkt der Anzahl der (Rechts- oder Links-)Nebenklassen von (in diesem Fall) [mm] 2^M [/mm] modulo N - also dem Index - und der Kardinalität von N ist.
Da ich aber das Konzept von den Nebenklassen nicht so ganz verstanden habe (neben dem Isomorphiesatz) - wäre es gut wenn wir es elementar lösen würden :)
> Zur Kardinalität von N: Du könntest mal die Beispiele
> [mm]M=\{a\}[/mm], [mm]M=\{a,b\}[/mm], [mm]M=\{a,b,c\}[/mm] und [mm]M=\{a,b,c,d\}[/mm]
> betrachten, um eine Vermutung zu erhalten.
Aus deiner Aufzählung merke ich, dass $|N| = [mm] 2^{n-1}$, [/mm] wobei $n := |M|$. Aber darf ich das durch "Probieren" herausgefundene Ergebnis verwenden oder muss ich irgendeinen Rechenweg aufzeigen?
> Zum Index von N in [mm]2^M[/mm]: Hier ist also die Menge der
> Linksnebenklassen [mm]2^M/N[/mm] zu bestimmen. Eine Linksnebenklasse
> ist auf jeden Fall [mm]\emptyset+N=N[/mm]. Damit hast du die
> Linksnebenklasse aller Elemente von N. Betrachte mal ein
> Element von [mm]2^M[/mm], das nicht in N liegt, z.B. [mm]\{m\}[/mm] für ein
> [mm]m\in M[/mm] (so eines existiert ja, da M nicht leer). Wie sieht
> seine Linksnebenklasse [mm]\{m\}+N[/mm] aus? Vielleicht hilft auch
> hier die Betrachtung von Beispielen, um zu einer
> allgemeinen Vermutung zu gelangen.
Erstmal ganz elementar: Eine Linksnebenklasse von [mm] $2^M/N$ [/mm] bspw. X ist definiert durch $X := [mm] \{g + N ~ | ~ g \in 2^M\} [/mm] := [mm] \{g + n ~ | ~ g \in 2^M$ und $n \in N\}$. [/mm] Des Weiteren muss X eine Teilmenge von M mit gerader Kardinalität und damit Element N sein?
Ich weiß, dass es sich hierbei um die Äquivalenzklassen der Äq'relation [mm] $\sim :\Leftrightarrow ab^{-1} \in [/mm] N$ handelt, kann es mir aber kaum vorstellen.
OK, [mm] $\emptyset [/mm] + N = N$ das ist logisch. Die Linksnebenklasse von [mm] $\{m\} [/mm] + N$ würde bedeutet ich brauche ein $n [mm] \in [/mm] N$, wobei [mm] $\{m\} \sim [/mm] n = [mm] \{m\} [/mm] + n [mm] \in [/mm] N$. Weiter fehlt mir irgendwie das Verständnis.
Nach Lagrange würde für den Index 2 rauskommen - oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Di 20.11.2012 | | Autor: | wieschoo |
> >
> > Und N muss nichtleer sein.
> >
>
> Stimmt, aber da ich Elemente aus N gewählt habe um die
> Axiome zu beweisen, ist das doch eine Folgerung oder :)?
Das ist eine Fehleinschätzung.
Nimm die leere Menge als Grundmenge und betrachte [mm](\emptyset, \boxplus)[/mm]. Auf der leeren Menge kann man die utopischsten Verknüpfungen kreiren. Es wird nur nie eine Gruppe und somit (auch nie eine Untergruppe) sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Di 20.11.2012 | | Autor: | JoeSunnex |
Dass das so explizit erwähnt werden muss war mir unklar, das stimmt - aber da ich sowas schon befürchtet hatte, war der Smiley nicht ohne Grund dort. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Di 20.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Mit gleichartig meinst du wohl: beide gerade oder beide
> > ungerade. Das solltest du aus meiner Sicht näher
> > begründen.
> >
>
> Genau, das meine ich mit "Gleichartigkeit". Dann hier noch
> eine explizite Begründung. Die Summe zweier natürlicher
> Zahlen ist nur dann gerade, wenn beide Summanden entweder
> gerade oder ungerade sind. Da [mm]p+q[/mm] und [mm]r+q[/mm] gerade, hängt
> der ganze Fall von [mm]q[/mm] ab. Ist [mm]q[/mm] ungerade, sind p und r
> ungerade, da ansonsten die Summen nicht gerade sind. Ist q
> gerade, sind p und r gerade aus obigem Grund.
Schön!
> > > Wie sieht es jetzt mit der b aus?
> > Kennt ihr schon den Satz von Lagrange? Dann genügt es,
> > eine der beiden gesuchten Zahlen explizit zu bestimmen und
> > die andere lässt sich daraus berechnen.
>
> Der Satz von Lagrange ist mir bekannt, das ist die Aussage,
> dass die Ordnung der Gruppe das Produkt der Anzahl der
> (Rechts- oder Links-)Nebenklassen von (in diesem Fall) [mm]2^M[/mm]
> modulo N - also dem Index - und der Kardinalität von N
> ist.
> Da ich aber das Konzept von den Nebenklassen nicht so ganz
> verstanden habe (neben dem Isomorphiesatz) - wäre es gut
> wenn wir es elementar lösen würden :)
Da ihr den Satz von Lagrange kennt, genügt es ja, die Kardinalität von N zu bestimmen. (Ob das unbedingt einfacher ist, als den Index von N zu bestimmen, weiß ich allerdings nicht...)
> > Zur Kardinalität von N: Du könntest mal die Beispiele
> > [mm]M=\{a\}[/mm], [mm]M=\{a,b\}[/mm], [mm]M=\{a,b,c\}[/mm] und [mm]M=\{a,b,c,d\}[/mm]
> > betrachten, um eine Vermutung zu erhalten.
>
> Aus deiner Aufzählung merke ich, dass [mm]|N| = 2^{n-1}[/mm], wobei
> [mm]n := |M|[/mm].
> Aber darf ich das durch "Probieren"
> herausgefundene Ergebnis verwenden oder muss ich
> irgendeinen Rechenweg aufzeigen?
Wenn du die Korrektheit des Ergebnisses allgemein zeigen kannst, bist du fertig.
Die einfachste Idee, die mir dazu einfällt, ist folgende:
1. Zunächst zeigen wir die Behauptung für den Fall $n$ ungerade.
2. Dann führen wir den Fall $n$ gerade [mm] ($n\not=0$) [/mm] auf den Fall $n-1$ zurück.
Sei [mm] $U:=2^M\setminus [/mm] N$, also ist U die Menge der Teilmengen von M mit ungeradzahliger Kardinalität.
Zu 1.: Idee ist zu zeigen, dass N und $U$ gleich viele Elemente haben. Zeige dazu, dass [mm] $\varphi\colon N\to U,\;\varphi(X):=M\setminus [/mm] X$ eine wohldefinierte Bijektion ist. Wohldefiniert heißt hier, dass [mm] $M\setminus [/mm] X$ tatsächlich ein Element von $U$ ist, wenn [mm] $X\in [/mm] N$ gilt. Zum Zeigen der Bijektivität kannst du zeigen, dass [mm] $\psi\colon U\to [/mm] N$, [mm] $\psi(Y):=M\setminus [/mm] Y$ wohldefiniert ist und [mm] $\psi\colon\varphi=id_N$ [/mm] und [mm] $\varphi\colon\psi=id_U$ [/mm] gelten.
Zu 2.: Wegen [mm] $M\not=\emptyset$ [/mm] haben wir ein [mm] $m\in [/mm] M$ und es gilt für gerades n, dass [mm] $n\ge [/mm] 2$. Somit gilt [mm] $M':=M\setminus\{m\}\not=\emptyset$ [/mm] und diese Menge hat Kardinalität $n-1$ (ungerade Zahl). Nun gilt (mit N' bzw. U' die Mengen der Teilmengen von M' von geradzahliger bzw. ungeradzahliger Kardinalität)
[mm] $N=N'\cup\{X\cup\{m\}\;|\;X\in U'\}$
[/mm]
und die Vereinigung ist disjunkt. Was sagt uns das über die Kardinalität von N?
> > Zum Index von N in [mm]2^M[/mm]: Hier ist also die Menge der
> > Linksnebenklassen [mm]2^M/N[/mm] zu bestimmen. Eine Linksnebenklasse
> > ist auf jeden Fall [mm]\emptyset+N=N[/mm]. Damit hast du die
> > Linksnebenklasse aller Elemente von N. Betrachte mal ein
> > Element von [mm]2^M[/mm], das nicht in N liegt, z.B. [mm]\{m\}[/mm] für ein
> > [mm]m\in M[/mm] (so eines existiert ja, da M nicht leer). Wie sieht
> > seine Linksnebenklasse [mm]\{m\}+N[/mm] aus? Vielleicht hilft auch
> > hier die Betrachtung von Beispielen, um zu einer
> > allgemeinen Vermutung zu gelangen.
>
> Erstmal ganz elementar: Eine Linksnebenklasse von [mm]2^M/N[/mm]
> bspw. X ist definiert durch [mm]X := \{g + N ~ | ~ g \in 2^M\}[/mm]
Das wäre nicht eine Linksnebenklasse, sondern die Menge aller Linksnebenklassen bzgl. N. Jede einzelne Linksnebenklasse hat die Gestalt $X+N$ für ein [mm] $X\in 2^M$.
[/mm]
> [mm]:= \{g + n ~ | ~ g \in 2^M[/mm]
> und [mm]n \in N\}[/mm].
Nein. Letzteres ist eine komplizierte Schreibweise der Menge [mm] $2^M$. [/mm] Die Menge davor war jedoch eine Menge von Teilmengen von [mm] $2^M$.
[/mm]
> Des Weiteren muss X eine Teilmenge von M mit
> gerader Kardinalität und damit Element N sein?
Wenn [mm] $X\in [/mm] N$ gilt, so ist $X+N=N$. Wir können jedoch für jedes [mm] $X\in 2^M$ [/mm] die Linksnebenklasse $X+N$ betrachten.
> Ich weiß, dass es sich hierbei um die Äquivalenzklassen
> der Äq'relation [mm]\sim :\Leftrightarrow ab^{-1} \in N[/mm]
> handelt, kann es mir aber kaum vorstellen.
Die Gruppenverknüpfung ist hier +, und alle Elemente sind selbstinvers. Von daher lautet die Äquivalenzrelation hier [mm] $X\sim [/mm] Y [mm] :\gdw X+Y\in [/mm] N$.
> OK, [mm]\emptyset + N = N[/mm] das ist logisch. Die Linksnebenklasse
> von [mm]\{m\} + N[/mm] würde bedeutet ich brauche ein [mm]n \in N[/mm],
n ist schon als $|M|$ vergeben... 
Zwei Möglichkeiten: Entweder du bestimmst [mm] $\{m\}+N$ [/mm] als Menge aller Summen von m mit Elementen von [mm] $X\in [/mm] N$. Oder du bestimmst die Menge aller [mm] $X\in 2^M$ [/mm] (beachte: wirklich [mm] $2^M$, [/mm] nicht $N$) mit [mm] $X\sim \{m\}$.
[/mm]
Bei beiden Ansätzen tritt eine Summen von [mm] $\{m\}$ [/mm] mit Mengen [mm] $X\in 2^M$ [/mm] auf. Wie lautet [mm] $\{m\}+X$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $m\in [/mm] X$ oder [mm] $m\not\in [/mm] X$?
> Nach Lagrange würde für den Index 2 rauskommen - oder?
Ja.
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Ich danke dir mal wieder für deine ausführliche Antwort, Tobias.
>
> Die einfachste Idee, die mir dazu einfällt, ist folgende:
> 1. Zunächst zeigen wir die Behauptung für den Fall [mm]n[/mm]
> ungerade.
> 2. Dann führen wir den Fall [mm]n[/mm] gerade ([mm]n\not=0[/mm]) auf den
> Fall [mm]n-1[/mm] zurück.
>
> Sei [mm]U:=2^M\setminus N[/mm], also ist U die Menge der Teilmengen
> von M mit ungeradzahliger Kardinalität.
>
> Zu 1.: Idee ist zu zeigen, dass N und [mm]U[/mm] gleich viele
> Elemente haben. Zeige dazu, dass [mm]\varphi\colon N\to U,\;\varphi(X):=M\setminus X[/mm]
> eine wohldefinierte Bijektion ist. Wohldefiniert heißt
> hier, dass [mm]M\setminus X[/mm] tatsächlich ein Element von [mm]U[/mm] ist,
> wenn [mm]X\in N[/mm] gilt. Zum Zeigen der Bijektivität kannst du
> zeigen, dass [mm]\psi\colon U\to N[/mm], [mm]\psi(Y):=M\setminus Y[/mm]
> wohldefiniert ist und [mm]\psi\colon\varphi=id_N[/mm] und
> [mm]\varphi\colon\psi=id_U[/mm] gelten.
>
> Zu 2.: Wegen [mm]M\not=\emptyset[/mm] haben wir ein [mm]m\in M[/mm] und es
> gilt für gerades n, dass [mm]n\ge 2[/mm]. Somit gilt
> [mm]M':=M\setminus\{m\}\not=\emptyset[/mm] und diese Menge hat
> Kardinalität [mm]n-1[/mm] (ungerade Zahl). Nun gilt (mit N' bzw. U'
> die Mengen der Teilmengen von M' von geradzahliger bzw.
> ungeradzahliger Kardinalität)
>
> [mm]N=N'\cup\{X\cup\{m\}\;|\;X\in U'\}[/mm]
>
> und die Vereinigung ist disjunkt. Was sagt uns das über
> die Kardinalität von N?
>
Ich werde diesen Beweis, mal nach der Abgabe morgen machen, denn ich habe noch einen Vortrag vorzubereiten, habe dazu aber die Frage was ist hier dein X? Was bedeutet die untere Schreibweise, also [mm] $\psi [/mm] : [mm] \varphi [/mm] = [mm] id_N$ [/mm] - meinst du damit [mm] $\psi \circ \varphi [/mm] = [mm] id_N$ [/mm] (also die Komposition)? Die beispielhafte Skizzierung müsste vorerst ausreichen :)
>
> Das wäre nicht eine Linksnebenklasse, sondern die Menge
> aller Linksnebenklassen bzgl. N. Jede einzelne
> Linksnebenklasse hat die Gestalt [mm]X+N[/mm] für ein [mm]X\in 2^M[/mm].
>
Also ist die Linksnebenklasse $X + N [mm] \in [/mm] N$ für ein $X [mm] \in 2^M$?
[/mm]
> Nein. Letzteres ist eine komplizierte
> Schreibweise der Menge [mm]2^M[/mm]. Die Menge davor war jedoch eine
> Menge von Teilmengen von [mm]2^M[/mm].
>
> > Des Weiteren muss X eine Teilmenge von M mit
> > gerader Kardinalität und damit Element N sein?
> Wenn [mm]X\in N[/mm] gilt, so ist [mm]X+N=N[/mm]. Wir können jedoch für
> jedes [mm]X\in 2^M[/mm] die Linksnebenklasse [mm]X+N[/mm] betrachten.
>
> > Ich weiß, dass es sich hierbei um die Äquivalenzklassen
> > der Äq'relation [mm]\sim :\Leftrightarrow ab^{-1} \in N[/mm]
> > handelt, kann es mir aber kaum vorstellen.
> Die Gruppenverknüpfung ist hier +, und alle Elemente sind
> selbstinvers. Von daher lautet die Äquivalenzrelation hier
> [mm]X\sim Y :\gdw X+Y\in N[/mm].
>
> > OK, [mm]\emptyset + N = N[/mm] das ist logisch. Die Linksnebenklasse
> > von [mm]\{m\} + N[/mm] würde bedeutet ich brauche ein [mm]n \in N[/mm],
> n ist schon als [mm]|M|[/mm] vergeben...
>
> Zwei Möglichkeiten: Entweder du bestimmst [mm]\{m\}+N[/mm] als
> Menge aller Summen von m mit Elementen von [mm]X\in N[/mm]. Oder du
> bestimmst die Menge aller [mm]X\in 2^M[/mm] (beachte: wirklich [mm]2^M[/mm],
> nicht [mm]N[/mm]) mit [mm]X\sim \{m\}[/mm].
>
> Bei beiden Ansätzen tritt eine Summen von [mm]\{m\}[/mm] mit Mengen
> [mm]X\in 2^M[/mm] auf. Wie lautet [mm]\{m\}+X[/mm] in Abhängigkeit von [mm]m\in X[/mm]
> oder [mm]m\not\in X[/mm]?
>
Nehme es mir nicht böse, aber aus Zeitmangel schaue ich mir deine Ausführung morgen an und schreibe einfach, dass nach Lagrange Index = 2 gilt.
Grüße
Joe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Mi 21.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Zu 1.: Idee ist zu zeigen, dass N und [mm]U[/mm] gleich viele
> > Elemente haben. Zeige dazu, dass [mm]\varphi\colon N\to U,\;\varphi(X):=M\setminus X[/mm]
> > eine wohldefinierte Bijektion ist. Wohldefiniert heißt
> > hier, dass [mm]M\setminus X[/mm] tatsächlich ein Element von [mm]U[/mm] ist,
> > wenn [mm]X\in N[/mm] gilt. Zum Zeigen der Bijektivität kannst du
> > zeigen, dass [mm]\psi\colon U\to N[/mm], [mm]\psi(Y):=M\setminus Y[/mm]
> > wohldefiniert ist und [mm]\psi\colon\varphi=id_N[/mm] und
> > [mm]\varphi\colon\psi=id_U[/mm] gelten.
> >
> > Zu 2.: Wegen [mm]M\not=\emptyset[/mm] haben wir ein [mm]m\in M[/mm] und es
> > gilt für gerades n, dass [mm]n\ge 2[/mm]. Somit gilt
> > [mm]M':=M\setminus\{m\}\not=\emptyset[/mm] und diese Menge hat
> > Kardinalität [mm]n-1[/mm] (ungerade Zahl). Nun gilt (mit N' bzw. U'
> > die Mengen der Teilmengen von M' von geradzahliger bzw.
> > ungeradzahliger Kardinalität)
> >
> > [mm]N=N'\cup\{X\cup\{m\}\;|\;X\in U'\}[/mm]
> >
> > und die Vereinigung ist disjunkt. Was sagt uns das über
> > die Kardinalität von N?
> >
>
> Ich werde diesen Beweis, mal nach der Abgabe morgen machen,
> denn ich habe noch einen Vortrag vorzubereiten, habe dazu
> aber die Frage was ist hier dein X?
Welche Stelle meinst du?
In der Aussage [mm]N=N'\cup\{X\cup\{m\}\;|\;X\in U'\}[/mm] ist rechts die Menge aller Mengen der Form [mm] $X\cup\{m\}$ [/mm] für ein [mm] $X\in [/mm] U'$ gemeint. [mm] $X\in [/mm] U'$ heißt dabei, dass $X$ eine Teilmenge von M' von ungeradzahliger Kardinalität ist.
Oder meinst du folgende Stelle?
> > Zu 1.: Idee ist zu zeigen, dass N und [mm]U[/mm] gleich viele
> > Elemente haben. Zeige dazu, dass [mm]\varphi\colon N\to U,\;\varphi(X):=M\setminus X[/mm]
> > eine wohldefinierte Bijektion ist. Wohldefiniert heißt
> > hier, dass [mm]M\setminus X[/mm] tatsächlich ein Element von [mm]U[/mm] ist,
> > wenn [mm]X\in N[/mm] gilt.
Hier ist X jeweils ein beliebig vorgegebenes Element von N, also eine Teilmenge von M von geradzahliger Kardinalität.
> Was bedeutet die untere
> Schreibweise, also [mm]\psi : \varphi = id_N[/mm] - meinst du damit
> [mm]\psi \circ \varphi = id_N[/mm] (also die Komposition)?
Genau. Das war schlichtweg ein Tippfehler von mir.
> > Das wäre nicht eine Linksnebenklasse, sondern die Menge
> > aller Linksnebenklassen bzgl. N. Jede einzelne
> > Linksnebenklasse hat die Gestalt [mm]X+N[/mm] für ein [mm]X\in 2^M[/mm].
>
> Also ist die Linksnebenklasse [mm]X + N \in N[/mm] für ein [mm]X \in 2^M[/mm]?
Es gibt nicht DIE Linksnebenklasse, sondern mehrere Linksnebenklassen bzgl. N. Für jedes [mm] $X\in 2^M$ [/mm] ist $X+N$ eine Linksnebenklasse bzgl. N.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 20.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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