Normalteiler von S_n < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Mi 17.05.2006 | | Autor: | julia.k |
| Aufgabe | Sei n>=2 eine natürliche Zahl und sei [mm] S_n [/mm] die Gruppe der Permutationen von {1,2,...,n}. Es bezeichne [mm] \alpha [/mm] den n-Zyklus (1,2,...,n) und H die von [mm] \alpha [/mm] erzeugte Untergruppe in [mm] S_n, [/mm] ferner sei G= { [mm] \beta \in S_n; \beta(n)=n [/mm] } .
Zeigen Sie:
a) Die Multiplikationsabbildung HxG [mm] \to S_n, (\alpha^l, \beta) \to \alpha^l \beta [/mm] ist bijektiv.
b) Für n>=4 ist H kein Normalteiler von [mm] S_n.
[/mm]
c) zu jedem [mm] \beta \in [/mm] G und jedem l mit 1<=l<=n existiert ein [mm] \delta \in [/mm] G mit [mm] \beta \alpha^l [/mm] = [mm] \alpha^{\beta(l)}\delta [/mm] |
Ich interessiere mich für Teilaufgabe b):
Um eine Idee für diesen Beweis zu bekommen, teste ich zuerst die Behauptung für n=4:
Dann ist [mm] S_n [/mm] = [mm] S_4, [/mm] wobei [mm] \left| S_4 \right| [/mm] = 4*3*2=24.
[mm] \alpha [/mm] ist dann (1,2,3,4) und
H=<(1,2,3,4)> = {id, (1,2,3,4), (1,3)(24), (1,4,3,2)}
zu zeigen: a*H [mm] \not= [/mm] H*a [mm] \forall [/mm] a [mm] \in S_4.
[/mm]
Teste mit a=(12):
a*H = {(1,2), (2,3,4), (2,4,1,3), (1,4,3)}
H*a = {(12), (134) ...}
da (134) [mm] \not\in [/mm] a*H kann hier schon aufgehört werden. H ist also kein Normalteiler von [mm] S_4.
[/mm]
Wie kann ich jetzt bitte die Behauptung für jedes n > 4 zeigen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Mi 17.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei n>=2 eine natürliche Zahl und sei [mm]S_n[/mm] die Gruppe der
> Permutationen von {1,2,...,n}. Es bezeichne [mm]\alpha[/mm] den
> n-Zyklus (1,2,...,n) und H die von [mm]\alpha[/mm] erzeugte
> Untergruppe in [mm]S_n,[/mm] ferner sei G= [mm]\{ \beta \in S_n; \beta(n)=n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> $\}$ .
> Zeigen Sie:
> a) Die Multiplikationsabbildung HxG [mm]\to S_n, (\alpha^l, \beta) \to \alpha^l \beta[/mm]
> ist bijektiv.
> b) Für n>=4 ist H kein Normalteiler von [mm]S_n.[/mm]
> c) zu jedem [mm]\beta \in[/mm] G und jedem l mit 1<=l<=n existiert
> ein [mm]\delta \in[/mm] G mit [mm]\beta \alpha^l[/mm] =
> [mm]\alpha^{\beta(l)}\delta[/mm]
> Ich interessiere mich für Teilaufgabe b):
> Um eine Idee für diesen Beweis zu bekommen, teste ich
> zuerst die Behauptung für n=4:
> Dann ist [mm]S_n[/mm] = [mm]S_4,[/mm] wobei [mm]\left| S_4 \right|[/mm] = 4*3*2=24.
> [mm]\alpha[/mm] ist dann (1,2,3,4) und
> H=<(1,2,3,4)> = {id, (1,2,3,4), (1,3)(24), (1,4,3,2)}
> zu zeigen: a*H [mm]\not=[/mm] H*a [mm]\forall[/mm] a [mm]\in S_4.[/mm]
> Teste mit
> a=(12):
> a*H = {(1,2), (2,3,4), (2,4,1,3), (1,4,3)}
> H*a = {(12), (134) ...}
> da (134) [mm]\not\in[/mm] a*H kann hier schon aufgehört werden. H
> ist also kein Normalteiler von [mm]S_4.[/mm]
>
> Wie kann ich jetzt bitte die Behauptung für jedes n > 4
> zeigen?
Indem du dein Gegenbeispiel geschickt verallgemeinerst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Fr 19.05.2006 | | Autor: | julia.k |
Hallo Felix!
Mit dieser Mitteilung kam ich wirklich weiter:
Es gilt immer: (1,2) [mm] \in [/mm] G.
Ich habe dann einige Elemente von (1,2)*H aufgelistet, ebenso einige Elemente von H*(1,2).
Dabei ließ sich jeweils ein Schema erkennen, wie die Elemente aussehen. Und es fiel auf, dass sich die Schemen unterscheiden und die meisten Elemente aus a*H nicht in H*a auftauchen können.
Somit H*(1,2) [mm] \not= [/mm] (1,2)*H, H ist also kein Normalteiler.
Vielen Dank für den Hinweis!
LG
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Fr 19.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Steffi!
> Mit dieser Mitteilung kam ich wirklich weiter:
Schoen, das freut mich! :)
> Es gilt immer: (1,2) [mm]\in[/mm] G.
> Ich habe dann einige Elemente von (1,2)*H aufgelistet,
> ebenso einige Elemente von H*(1,2).
> Dabei ließ sich jeweils ein Schema erkennen, wie die
> Elemente aussehen. Und es fiel auf, dass sich die Schemen
> unterscheiden und die meisten Elemente aus a*H nicht in H*a
> auftauchen können.
> Somit H*(1,2) [mm]\not=[/mm] (1,2)*H, H ist also kein Normalteiler.
Fein :)
LG Felix
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