Normalvektorform einer Geraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 So 16.08.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich lese mich zur Zeit in die analytische Geometrie sowie Vektorrechnung ein und habe ein wenig Schwierigkeiten dabei, die Normalenvektorform einer Geraden nachvollziehen zu können.
In der Erklärung wurde ausgehend von einer impliziten Geradengleichung in Parameterform $\ ax + by = c $ der Vektor (Normalvektor) $\ [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] $ gebildet. Im nächsten Schritt wurden $\ x, y $ ebenfalls zu einem Vektor $\ [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] $ zusammengefasst, so dass die Gleichung
$\ [mm] \vec{n}\vec{x} [/mm] = c $ lautete.
So weit ist alles klar.
Mir ist auch klar, dass das ein Skalarprodukt ist und $\ c $ entsprechend ein Skalar.
Nur wird mir hier nicht ganz klar, warum das Ergebnis "offensichtlich" eine Gerade ist.
$\ [mm] \vec{n}\vec{x} [/mm] = c = [mm] |\vec{n}||\vec{x}|\cos\varphi [/mm] = [mm] |\vec{n}|x'$
[/mm]
Wobei $\ x' $ die orientierte Projektion von $ [mm] \vec{x}$ [/mm] auf $\ [mm] \vec{n} [/mm] $ darstellt.
So viel weiss ich, doch ich erkenne wie gesagt die offenbar "offensichtliche" Gerade hier leider nicht.
Weshalb ist $\ [mm] \vec{n}\vec{x} [/mm] = c $ eine Gerade, deren Richtung normal zu $\ [mm] \vec{n}$ [/mm] ist?
Würde mich freuen, wenn das jemand an einem Beispiel oder Graphisch zu eklären weiss.
Vielen Dank
Grüße,
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 So 16.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo ChopSuey
[mm] \vec{x} [/mm] ist der Ortsvektor also von 0 nach (x,y)
Nimm 2 Punkte die auf einer Geraden liegen. (x1,y1) und (x2,y2)
setz beide in die Gleichung [mm] \vec{n}*\vec{x}=a [/mm] ein. [mm] \vec{n} [/mm] erstmal irgendein Vektor
dann hast du [mm] vec{n}*\vec{x1}=a [/mm] und [mm] vec{n}*\vec{x2}=a
[/mm]
bilde die Differenz Dann hast du
[mm] \vec{n}*\vektor{x1-x2\\y1-y2}=0
[/mm]
1.es sollte klar sein dass [mm] \vektor{x1-x2\\y1-y2} [/mm] ein Vektor auf der Geraden ist.
2. es sollte klar sein, dass 2 Vektoren senkrecht stehen, wenn ihr skalarprodukt 0 ist.
Damit ist klar dass [mm] \vec{n} [/mm] senkrecht auf [mm] \vektor{x1-x2//y1-y2} [/mm] steht. also auf der Geraden
Wenn jetzt [mm] \vec{n} [/mm] ein Einhaetsvektor ist, und [mm] \vec[x] [/mm] der Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden ist [mm] \vec{n}*\vec{x} [/mm] die Komponente von [mm] \vec{x} [/mm] in Richtung n also der Abstand der Geraden von (0,0).
Ausserdem kommst du natuerlich durch ausmultiplieziern auf die einfache Gleichung n1x+n2y=a, die du als Gerade mit Steigung m=-n1/n2 kennst die Senkrechte dazu hat die Steigung m'=-1/m-n2/n1 also die Steigung von n
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 So 16.08.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Leduart,
vielen Dank für die Antwort.
Wenn ich das richtig verstanden habe, werden 2 beliebige Punkte auf der Gerade gewählt, deren Differenz dann einen neuen Vektor bildet. Wäre das in diesem Fall nicht sogar ein Richtungsvektor $\ [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x_1-x_2 \\ y_1 - y_2 } [/mm] $?
Also:
$\ [mm] \vec{x_1} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 \\ y_1 } [/mm] $
$\ [mm] \vec{x_2} [/mm] = [mm] \vektor{x_2 \\ y_2 } [/mm] $
$\ [mm] \vec{x_1}-\vec{x_1} [/mm] = [mm] \vektor{x_1-x_2 \\ y_1 - y_2 } =\vec{x} [/mm] $
$\ ax+by = c $
$\ [mm] ax_1+by_1 [/mm] = [mm] ax_2+by_2 [/mm] $
$\ [mm] \vec{n}\vec{x_1} [/mm] = [mm] \vec{n}\vec{x_2}$ [/mm] mit $\ [mm] \vec{n}= \vektor{a \\ b}$
[/mm]
$\ [mm] \vec{n}\vec{x_1}- \vec{n}\vec{x_2} [/mm] = 0 $
$\ [mm] \vec{n} \left[\vec{x_1}- \vec{x_2}\right] [/mm] = 0 $
$\ [mm] \vec{n} \vec{x} [/mm] = 0 $
> 1.es sollte klar sein dass [mm]\vektor{x1-x2\\y1-y2}[/mm] ein
> Vektor auf der Geraden ist.
Denke, dass ich das verstanden hab. 2 Beliebige Punkte, die auf der Geraden liegen, bilden einen Vektor.
> 2. es sollte klar sein, dass 2 Vektoren senkrecht stehen,
> wenn ihr skalarprodukt 0 ist.
Ja, wegen $\ [mm] \cos \varphi [/mm] = 0$ für $\ [mm] \varphi [/mm] = 90°$
> Damit ist klar dass [mm]\vec{n}[/mm] senkrecht auf
> [mm]\vektor{x1-x2//y1-y2}[/mm] steht. also auf der Geraden
> Wenn jetzt [mm]\vec{n}[/mm] ein Einhaetsvektor ist, und [mm]\vec[x][/mm] der
> Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden ist
> [mm]\vec{n}*\vec{x}[/mm] die Komponente von [mm]\vec{x}[/mm] in Richtung n
> also der Abstand der Geraden von (0,0).
>
> Ausserdem kommst du natuerlich durch ausmultiplieziern auf
> die einfache Gleichung n1x+n2y=a, die du als Gerade mit
> Steigung m=-n1/n2 kennst die Senkrechte dazu hat die
> Steigung m'=-1/m-n2/n1 also die Steigung von n
Der Gedanke, auszumultiplizieren, kam mir auch.
Hab ich das oben soweit richtig verstanden?
>
> Gruss leduart
>
>
Danke für die Hilfe,
Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Hallo Leduart,
>
> vielen Dank für die Antwort.
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, werden 2 beliebige
> Punkte auf der Gerade gewählt, deren Differenz dann einen
> neuen Vektor bildet. Wäre das in diesem Fall nicht sogar
> ein Richtungsvektor [mm]\ \vec{x} = \vektor{x_1-x_2 \\ y_1 - y_2 } [/mm]?
Ja.
>
> Also:
>
> [mm]\ \vec{x_1} = \vektor{x_1 \\ y_1 }[/mm]
>
> [mm]\ \vec{x_2} = \vektor{x_2 \\ y_2 }[/mm]
>
> [mm]\ \vec{x_1}-\vec{x_1} = \vektor{x_1-x_2 \\ y_1 - y_2 } =\vec{x} [/mm]
>
> [mm]\ ax+by = c[/mm]
>
> [mm]\ ax_1+by_1 = ax_2+by_2[/mm]
>
> [mm]\ \vec{n}\vec{x_1} = \vec{n}\vec{x_2}[/mm] mit [mm]\ \vec{n}= \vektor{a \\ b}[/mm]
>
> [mm]\ \vec{n}\vec{x_1}- \vec{n}\vec{x_2} = 0[/mm]
>
> [mm]\ \vec{n} \left[\vec{x_1}- \vec{x_2}\right] = 0[/mm]
>
> [mm]\ \vec{n} \vec{x} = 0[/mm]
>
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> > 1.es sollte klar sein dass [mm]\vektor{x1-x2\\y1-y2}[/mm] ein
> > Vektor auf der Geraden ist.
>
> Denke, dass ich das verstanden hab. 2 Beliebige Punkte, die
> auf der Geraden liegen, bilden einen Vektor.
>
> > 2. es sollte klar sein, dass 2 Vektoren senkrecht stehen,
> > wenn ihr skalarprodukt 0 ist.
>
> Ja, wegen [mm]\ \cos \varphi = 0[/mm] für [mm]\ \varphi = 90°[/mm]
>
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> > Damit ist klar dass [mm]\vec{n}[/mm] senkrecht auf
> > [mm]\vektor{x1-x2//y1-y2}[/mm] steht. also auf der Geraden
> > Wenn jetzt [mm]\vec{n}[/mm] ein Einhaetsvektor ist, und [mm]\vec[x][/mm]
> der
> > Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden ist
> > [mm]\vec{n}*\vec{x}[/mm] die Komponente von [mm]\vec{x}[/mm] in Richtung n
> > also der Abstand der Geraden von (0,0).
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> > Ausserdem kommst du natuerlich durch ausmultiplieziern auf
> > die einfache Gleichung n1x+n2y=a, die du als Gerade mit
> > Steigung m=-n1/n2 kennst die Senkrechte dazu hat die
> > Steigung m'=-1/m-n2/n1 also die Steigung von n
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>
> Der Gedanke, auszumultiplizieren, kam mir auch.
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> Hab ich das oben soweit richtig verstanden?
>
Ja.
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> > Gruss leduart
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> >
>
> Danke für die Hilfe,
> Grüße
> ChopSuey
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Gruß
MathePower
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