Normalverteiltes Volumen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Do 26.04.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Bei der automatischen Abfüllung von 1/2-l-Bierflaschen wird das abgefüllte Flüssigkeitsvolumen V als normalverteilt mit den Parametern [mm] \mu=500 [/mm] (in [mm] cm^3) [/mm] und [mm] \sigma^2=25 (in(cm^3)^2) [/mm] angenommen.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine 1/2-l-Bierflasche weniger als 490 [mm] cm^3 [/mm] Bier enthält?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Abfüllung das eingefüllte Bier überläuft, wenn das Volumen einer 1/2-l Bierflasche 510 [mm] cm^3 [/mm] beträgt?
(c) Welches Fassungsvermögen müssen die Bierflaschen besitzen damit die Wkeit des Überlaufens bei jeder Flaschenabfüllung höchstens 0.01 beträgt? |
Guten Abend,
bin mal wieder am NV üben...
bei der (a) hab ich versucht das auf die standard-NV umzutransformieren, damit ich die Werte aus einer Tabelle lesen kann. Bin mir aber nicht sicher ob das so stimmt:
P(X<490) = P(Z < [mm] \frac{x- \mu}{\sigma}= [/mm] P(Z<-2) = [mm] \varphi(-2) [/mm] = 1 - [mm] \varphi(2) [/mm] = 1- 0.97725 ??
bei der (b) bin ich nicht allzuweit gekommen:
P(510 < Z) = P( [mm] \frac{x-\mu}{\sigma} [/mm] < Z) = P(2 < Z) = ??
wie muss ich das hier rechnen wenn es Z "größer" statt "kleiner" ist...?
(c) brauch ich hier eine neue ZVe für das Fassungsvermögen...?
Viele Grüße,
Riley
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Hallo Riley!
> Bei der automatischen Abfüllung von 1/2-l-Bierflaschen wird
> das abgefüllte Flüssigkeitsvolumen V als normalverteilt mit
> den Parametern [mm]\mu=500[/mm] (in [mm]cm^3)[/mm] und [mm]\sigma^2=25 (in(cm^3)^2)[/mm]
> angenommen.
>
> (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine
> 1/2-l-Bierflasche weniger als 490 [mm]cm^3[/mm] Bier enthält?
>
> (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der
> Abfüllung das eingefüllte Bier überläuft, wenn das Volumen
> einer 1/2-l Bierflasche 510 [mm]cm^3[/mm] beträgt?
>
> (c) Welches Fassungsvermögen müssen die Bierflaschen
> besitzen damit die Wkeit des Überlaufens bei jeder
> Flaschenabfüllung höchstens 0.01 beträgt?
> Guten Abend,
> bin mal wieder am NV üben...
> bei der (a) hab ich versucht das auf die standard-NV
> umzutransformieren, damit ich die Werte aus einer Tabelle
> lesen kann. Bin mir aber nicht sicher ob das so stimmt:
> P(X<490) = P(Z < [mm]\frac{x- \mu}{\sigma}=[/mm] P(Z<-2) =
> [mm]\varphi(-2)[/mm] = 1 - [mm]\varphi(2)[/mm] = 1- 0.97725 ??
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig. Musst nur noch berechnen.
> bei der (b) bin ich nicht allzuweit gekommen:
> P(510 < Z) = P( [mm]\frac{x-\mu}{\sigma}[/mm] < Z) = P(2 < Z) = ??
> wie muss ich das hier rechnen wenn es Z "größer" statt
> "kleiner" ist...?
Vielleicht hilft dir folgender Ansatz weiter:
P(X>510)=1-P(X=510) bzw. standardisiert: P(Z>2)=1-P(Z=2).
Es sollte (zufällig) das gleiche Ergebnis wie bei a) rauskommen.
> (c) brauch ich hier eine neue ZVe für das
> Fassungsvermögen...?
Nein. Bei b) hast du ja eben berechnet wie hoch die Wahrscheinlichkeit der Überlaufens ist, wenn eine Flasche 510ml fasst. Nun sollst du das Fassungsvermögen so bestimmen, dass diese Wahrscheinlichkeit nur noch 0.01 bzw. 1% beträgt. Ansatz wäre also: [mm] P\le [/mm] 0.01.
Berechnen könntest du es wie folgt:
Das beschrieben Ereignis entspricht genau dem Gegenerignis, daß zu 99% (bzw. 0.99) die Flaschen nicht überlaufen. Es gilt also [mm] \phi{Z}=0.99 [/mm] und [mm] z=\bruch{X-500}{5}, [/mm] wobei X das Fassungsvermögen der Flasche ist. Nun musst du in deinem Tabellenwerk ein entsprechendes Z für die Wahrscheinlichkeit von 99% heruassuchen. Ich hab das mal gemacht. Kleine Anmerkung am Rande: Meist wirst du nicht die gesuchte Wahrscheinlichkeit in der Tabelle finden - dann nimmt man den Wert, der dem gesuchten Wert am nächsten kommt. 0.99 findet man in ![[]](/images/popup.gif) Tabelle nicht. Der Wert 0.99010 liegt jedoch sehr dicht dran, also lesen wir für Z=2,33 ab. Es gilt demnach:
[mm] 2,33=\bruch{X-500}{5}
[/mm]
Das stellt man nun nach X um und erhält:
X=2,33*5+500 = 511,65
Somit müssen die Flaschen ein Fassungsvermögen von 511,65ml haben, damit der edle Gerstensaft zu höchstens 1% überläuft. ![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
> Viele Grüße,
> Riley
Gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Do 26.04.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Tommy,
vielen lieben Dank für deine Erklärungen!! hab die (c) nun verstanden *freu*
also muss ich bei der b) das so rechnen:
P(Z>2) = 1 - [mm] \varphi(2).
[/mm]
aber ist es nicht komisch dass da genau das gleiche rauskommt wie in teil (a) ?!?
*lol* passender smile 
viele grüße
riley
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Hallo nochmals.
> also muss ich bei der b) das so rechnen:
> P(Z>2) = 1 - [mm]\varphi(2).[/mm]
Jupp.
> aber ist es nicht komisch dass da genau das gleiche
> rauskommt wie in teil (a) ?!?
Nö, das liegt daran, daß die NV so schön symmetrisch zum Erwartungswert liegt. Daher ist es nicht verwunderlich, daß die Wahrscheinlichkeiten mehr 510ml bzw. weniger als 490ml abzufüllen (beides mal lieg die Abweichung von genau 10ml vom Erwartungswert vor, nur einmal nach oben und einmal nach unten) gleich sind. ![[belehren]](/images/smileys/belehren.gif "[belehren]")
Gruß,
Tommy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Do 26.04.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Tommy,
stimmt so ist es logisch, danke nochmal!
Viele Grüße,
Riley
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