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Hier ist das Problem:
X= Z(Za + b)
a, b sind Konstante
Z ist normalverteilt mit Mittelwert Null und Varianz Simgaquadrat
Wie ist X verteilt? Ebenfalls Normal?
Danke für alle Hinweise oder Literaturquellen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> X= Z(Za + b)
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> a, b sind Konstante
> Z ist normalverteilt mit Mittelwert Null und Varianz
> Simgaquadrat
> Wie ist X verteilt? Ebenfalls Normal?
Das glaube ich nicht. Leider kann ich Deine Frage direkt nur für $b=0$ beantworten. In diesem Fall ist [mm] $X=aZ^2=a\sigma^2Y^2$, [/mm] wobei [mm] $Y\sim [/mm] N(0,1)$. Also ist $X$ das Vielfache einer [mm] $\chi^2$-verteilten [/mm] Zufallsvariable. Und damit ganz sicher nicht normalverteilt. Ob diese Verteilung einen Namen hat, weiß ich nicht, wahrscheinlich irgendeine verallgemeinerte [mm] $\chi^2$-Verteilung. [/mm]
Was passiert, wenn man nun noch eine davon nicht unabhängige, normalverteilte Zufallsvariable ($bZ$) addiert, weiß ich leider erst recht nicht.
Hoffe, dass noch jemand anderes dazu eine Idee hat.
Viele Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Thomie |
Die Darstellung
[mm]X= aZ^2+bZ[/mm]
lässt ziemlich gut sehen, dass X nur für a=0 Normalverteilt ist, denn sonst hat jede Dichte von X an der Stelle 0 einen Sprung, und für Normalverteilte ZV gibt es immer eine stetige Dichte.
Der Sprung kommt aus dem [mm]aZ^2[/mm]: Die stetige Dichte von Z ist an 0 echt größer 0 und daher hat die Dichte von [mm]Z^2[/mm] immer einen Wert >0 an der Stelle 0.
Die Dichte zu bZ ist oBdA stetig, somit hat die Dichte von X besagten Sprung.
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