Normalverteilung Abstand < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Di 15.03.2016 | | Autor: | capron02 |
| Aufgabe | Es sei die Variable X normalverteilt, mit beliebigen [mm] $\mu\in\mathrm{R}, \sigma>0$. [/mm] Sie nehmen 9 unabhängige Werte von X.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist höchstens einer der neun Werte mindestens [mm] $2\sigma$ [/mm] von [mm] $\mu$ [/mm] entfernt?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat das arithmetische Mittel der X-Werte von [mm] $\mu$ [/mm] mindestens den Abstand [mm] $\sigma$ [/mm] von [mm] $\mu$? [/mm] |
Lösungsidee für die a)
zuerst habe ich die Wahrscheinlichkeit für den Abstand berechnet:
[mm] $P(\mu-2\sigma\leq [/mm] X [mm] \leq \mu+2\sigma)=1-2\cdot\phi_{0,1}\left(\frac{\mu-2\sigma-\mu}{\sigma}\right) [/mm] = [mm] 1-2\cdot\phi_{0,1}(-2)=1-2\cdot [/mm] 0{,}02275=0{,}9545$
Dann habe ich das ganze als Binomialverteilung interpretiert:
[mm] $P(X\leq1)=\sum_{k=0}^1 {9\choose k} 0{,}9545^k\cdot (1-0{,}9545)^{9-k} [/mm] = [mm] 1{,}58\cdot 10^{-10} \approx [/mm] 0$
Jetzt weiß ich leider nicht, ob das so korrekt war.
Für die b) habe ich leider keinerlei Ahnung wie ich das arithmetische Mittel darstellen kann.
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Di 15.03.2016 | | Autor: | statler |
> Es sei die Variable X normalverteilt, mit beliebigen
> [mm]\mu\in\mathrm{R}, \sigma>0[/mm]. Sie nehmen 9 unabhängige Werte
> von X.
>
> (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist höchstens einer der
> neun Werte mindestens [mm]2\sigma[/mm] von [mm]\mu[/mm] entfernt?
> (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat das arithmetische
> Mittel der X-Werte von [mm]\mu[/mm] mindestens den Abstand [mm]\sigma[/mm]
> von [mm]\mu[/mm]?
Hallo, willkommen im Matheraum!
> Lösungsidee für die a)
>
> zuerst habe ich die Wahrscheinlichkeit für den Abstand
> berechnet:
>
> [mm]P(\mu-2\sigma\leq X \leq \mu+2\sigma)=1-2\cdot\phi_{0,1}\left(\frac{\mu-2\sigma-\mu}{\sigma}\right) = 1-2\cdot\phi_{0,1}(-2)=1-2\cdot 0{,}02275=0{,}9545[/mm]
>
> Dann habe ich das ganze als Binomialverteilung
> interpretiert:
>
> [mm]P(X\leq1)=\sum_{k=0}^1 {9\choose k} 0{,}9545^k\cdot (1-0{,}9545)^{9-k} = 1{,}58\cdot 10^{-10} \approx 0[/mm]
>
> Jetzt weiß ich leider nicht, ob das so korrekt war.
Was sagt denn deine Intuition (= gesunder Menschenverstand) zu dieser Lösung? Du hast jetzt die W. dafür ausgerechnet, daß höchstens 1 Wert im [mm] 2$\sigma$-Bereich [/mm] liegt. Die ist allerdings klein.
>
> Für die b) habe ich leider keinerlei Ahnung wie ich das
> arithmetische Mittel darstellen kann.
Es gibt einen einfachen Zusammenhang zwischen dem [mm] \sigma [/mm] von X und dem [mm] \sigma [/mm] des Mittelwertes.
Gruß Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Di 15.03.2016 | | Autor: | capron02 |
Vielen Dank erstmal für die Antwort!
W. dafür ausgerechnet, daß höchstens 1 Wert im 2$ [mm] \sigma [/mm] $-Bereich liegt.
Sollte wegen des Wortes "mindestens $ [mm] 2\sigma [/mm] $" nicht die Wahrscheinlichkeit dafür ausgerechnet, dass höchstens einer außerhalb des [mm] $2\sigma [/mm] $-Bereiches liegt?
Dann hätte ich bei der Rechnung aber auch einen Fehler und zwar müsste es dann so lauten:
$ P(X [mm] \leq \mu -2\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu-2\sigma-\mu}{\sigma}\right) [/mm] = [mm] \phi_{0,1}(-2)=0{,}02275$
[/mm]
$ P(X [mm] \geq \mu +2\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu+2\sigma-\mu}{\sigma}\right) [/mm] = [mm] 1-\phi_{0,1}(+2)=1-0{,}977250=0{,}02275$
[/mm]
[mm] $P(|x-\mu|\geq2\sigma)=2\cdot [/mm] 0{,}02275=0{,}0455$
Intuitiv macht das Sinn, dass die Wahrscheinlichkeit sehr klein ist, weil es ja die Randbereiche der Glockenkurve sind,
und diese keine große Fläche haben.
Dann wäre:
$ [mm] P(X\leq1)=\sum_{k=0}^1 {9\choose k} 0{,}0455^k\cdot (1-0{,}0455)^{9-k} [/mm] = 0{,}9398 $
Ich hoffe ich habe jetzt keinen weiteren Fehler gemacht.
Bei der b) mag ich die Hoffnung leider nicht aufgeben, da dies eine ehemalige Klausuraufgabe ist und die Studenten
dies in annehmbarer Zeit irgendwie lösen können mussten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Mi 16.03.2016 | | Autor: | luis52 |
> Vielen Dank erstmal für die Antwort!
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> W. dafür ausgerechnet, daß höchstens 1 Wert im 2[mm] \sigma [/mm]-Bereich
> liegt.
>
> Sollte wegen des Wortes "mindestens [mm]2\sigma [/mm]" nicht die
> Wahrscheinlichkeit dafür ausgerechnet, dass höchstens
> einer außerhalb des [mm]2\sigma [/mm]-Bereiches liegt?
>
> Dann hätte ich bei der Rechnung aber auch einen Fehler und
> zwar müsste es dann so lauten:
>
> [mm]P(X \leq \mu -2\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu-2\sigma-\mu}{\sigma}\right) = \phi_{0,1}(-2)=0{,}02275[/mm]
>
> [mm]P(X \geq \mu +2\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu+2\sigma-\mu}{\sigma}\right) = 1-\phi_{0,1}(+2)=1-0{,}977250=0{,}02275[/mm]
>
> [mm]P(|x-\mu|\geq2\sigma)=2\cdot 0{,}02275=0{,}0455[/mm]
>
> Intuitiv macht das Sinn, dass die Wahrscheinlichkeit sehr
> klein ist, weil es ja die Randbereiche der Glockenkurve
> sind,
> und diese keine große Fläche haben.
>
> Dann wäre:
>
> [mm]P(X\leq1)=\sum_{k=0}^1 {9\choose k} 0{,}0455^k\cdot (1-0{,}0455)^{9-k} = 0{,}9398[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich hoffe ich habe jetzt keinen weiteren Fehler gemacht.
>
> Bei der b) mag ich die Hoffnung leider nicht aufgeben, da
> dies eine ehemalige Klausuraufgabe ist und die Studenten
> dies in annehmbarer Zeit irgendwie lösen können
> mussten.
Wo ist das Problem? Weisst du denn nicht, dass [mm] $\bar [/mm] X$ normalverteilt ist mit [mm] $\operatorname{E}[\bar X]=\mu$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[\bar X]=\sigma^2/9$? [/mm] Die Loesung $0.0027$ *kann* man annehmbarer Zeit finden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Mi 16.03.2016 | | Autor: | capron02 |
Vielen Dank für die Antwort. Dann müsste das ja so gehen:
$ P(X [mm] \leq \mu -\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu-\sigma-\mu}{\frac{1}{\sqrt{9}}\sigma}\right) [/mm] = [mm] \phi_{0,1}(-\sqrt{9})=\phi_{0,1}(-3)=0{,}00135$ [/mm]
$ P(X [mm] \geq \mu +\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu+\sigma-\mu}{\frac{1}{\sqrt{9}}\sigma}\right) [/mm] = [mm] 1-\phi_{0,1}(\sqrt{9})=1-\phi_{0,1}(3)=1-0{,}99865 [/mm] =0{,}00135 $
$ [mm] P(|X-\mu|\sigma)=2\cdot [/mm] 0{,}00135=0{,}0027 $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mi 16.03.2016 | | Autor: | luis52 |
> Vielen Dank für die Antwort. Dann müsste das ja so
> gehen:
>
> [mm]P(X \leq \mu -\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu-\sigma-\mu}{\frac{1}{\sqrt{9}}\sigma}\right) = \phi_{0,1}(-\sqrt{9})=\phi_{0,1}(-3)=0{,}00135[/mm]
>
> [mm]P(X \geq \mu +\sigma)=\phi_{0,1}\left(\frac{\mu+\sigma-\mu}{\frac{1}{\sqrt{9}}\sigma}\right) = 1-\phi_{0,1}(\sqrt{9})=1-\phi_{0,1}(3)=1-0{,}99865 =0{,}00135[/mm]
>
> [mm]P(|X-\mu|\sigma)=2\cdot 0{,}00135=0{,}0027[/mm]
Geht doch! 
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