Normalverteilung Nr.3 < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Di 30.06.2009 | | Autor: | Malaika |
| Aufgabe | Für einen normalverteilten Blutparameter liegen 50% einer gesunden Population unter dem Wert 8. Weiters liegen 97,5 % der Population unter dem Wert 12.
a) Wie viel Prozent dieser Population liegen unter dem Wert 4?
b) Bestimmen Sie die Standardabweichung des Blutparameters in dieser Population.
c) Angenommen man möchte Grenzen µ +/- csigma für die Abweichung vom Populationswert setzen, ab welcher der Blutparameter außerhalb der Norm liegt. Bei wie vielen Standardabweichungen müsste man die Grenze setzen, damit in der gesunden Population höchstens 5% der Personen außerhalb der Grenzen liegen. (D.h. bestimmen Sie c!)
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a) Wie viel Prozent dieser Population liegen unter dem Wert 4?
97,5% -50% = 47,5%
50%-47,5%= 2,5%
(12-8=4; 8-4=4) , also liegen 2,5 % unter dem Wert 12.
Es ist ja irgendwie logisch, aber gibt es auch eine Formel dafür?
b) Bestimmen Sie die Standardabweichung des Blutparameters in dieser Population.
P (X kleiner 12) = 0,975
z= (x - µ)/sigma,
also sigma= (x-µ)/z= (12-8)/2=2
(z ist ungefähr 2, wenn man in der Normalverteilungstabelle nachschaut)
Stimmt das, oder gibt es einen einfacheren Weg?
c) Angenommen man möchte Grenzen µ +/- csigma für die Abweichung vom Populationswert setzen, ab welcher der Blutparameter außerhalb der Norm liegt. Bei wie vielen Standardabweichungen müsste man die Grenze setzen, damit in der gesunden Population höchstens 5% der Personen außerhalb der Grenzen liegen. (D.h. bestimmen Sie c!)
Leider weiß ich hier nicht, wie ich anfangens soll?!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.chemgaroo.de/de/forum/showthread.php?t=196
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Mi 01.07.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
der Vorinformation entnimmt man [mm] $\mu=8$.
[/mm]
b) Es gibt eine allgemeine Formel fuer die Prozentpunkte [mm] $x_p$ [/mm] mit [mm] $p=P(X\le x_p)=F(x_p)$ [/mm] einer Normalverteilung mit Erwartungswert [mm] $\operatorname{E}[X]=\mu$ [/mm] und Varianz [mm] $\operatorname{Var}[X]=\sigma^2$:
[/mm]
[mm] $$p=F(x_p)=\Phi\left(\dfrac{x_p-\mu}{\sigma}\right)\iff z_p=\Phi^{-1}(p)\dfrac{x_p-\mu}{\sigma}\iff x_p=\mu+z_p\sigma\,.$$
[/mm]
Dabei ist [mm] $z_p$ [/mm] der entsprechende Prozentpunkt der Standardnormalverteilung mit [mm] $p=\Phi(x_p)$.
[/mm]
Nach der Vorinformation ist [mm] $12=x_{0.975}=\mu+z_{0.975}\sigma=8+1.96\sigma$, [/mm] woraus folgt [mm] $\sigma=2.04\approx2$ [/mm] (dein Ergebnis  ).
Wo ist deine Loesung zu a)?
Bei c) ist $c_$ gesucht mit [mm] $P(|X-\mu|> c\sigma)=0.05$.
[/mm]
vg Luis
PS: Bei deiner Kaffeeaufgabe kann ich dir nicht helfen, das ist m.E. eine Frage der Definition. Du musst mal in deinen Unterlagen nachschauen. Ungeschuetzt denke ich, dass es ein Experiment ist.
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