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Hallo Leute,
ich beschäftige mich mit der Dichte bzw. dem Integral der Standardnormalverteilung und würde gerne zeigen, dass für [mm] a\le [/mm] b
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi a}} \integral_{t}^{\infty}{e^{-\bruch{x^2}{2a}} dx} \le \bruch{1}{\wurzel{2\pi b}} \integral_{t}^{\infty}{e^{-\bruch{x^2}{2b}} dx} [/mm] gilt.
Bisher habe ich den Integranden in der Ungleichung betrachtet und konnte diesen zu
[mm] x^2 \le [/mm] ab [mm] (\bruch{log(a)-log(b)}{a-b}) [/mm] vereinfachen.
Aber dies sagt mir jetzt nichts weiter aus. Habt ihr da eine Ahnung wie man dies zeigen kann?
Gruß softi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Mi 20.08.2014 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Leute,
> ich beschäftige mich mit der Dichte bzw. dem Integral der
> Standardnormalverteilung und würde gerne zeigen, dass für
> [mm]a\le[/mm] b
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi a}} \integral_{t}^{\infty}{e^{-\bruch{x^2}{2a}} dx} \le \bruch{1}{\wurzel{2\pi b}} \integral_{t}^{\infty}{e^{-\bruch{x^2}{2b}} dx}[/mm]
> gilt.
Moin, das wird dir nicht gelingen. M.E. ist sie fuer $t=-1$, $a=1$ und $b=2$ nicht erfuellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Fr 22.08.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Und wenn t positiv ist?
Auch das dürfte schwierig werden:
$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi a}} \integral_{t}^{\infty}{e^{-\bruch{x^2}{2a}} dx} \le \bruch{1}{\wurzel{2\pi b}} \integral_{t}^{\infty}{e^{-\bruch{x^2}{2b}} dx} [/mm] $
Beide Seiten mit [mm] \sqrt{2\pi} [/mm] malgenommen, das ändert das Ungleichungszeichen nicht, denn es ist positiv
$ [mm] \bruch{1}{\sqrt{a}} \integral_{t}^{\infty}{e^{-\bruch{x^2}{2a}} dx} \le \bruch{1}{\wurzel{b}} \integral_{t}^{\infty}{e^{-\bruch{x^2}{2b}} dx} [/mm] $
Mit [mm] \sqrt{a} [/mm] multiplizieren
$ [mm] \integral_{t}^{\infty}{e^{-\bruch{x^2}{2a}} dx} \le \underbrace{\bruch{\sqrt{a}}{\wurzel{b}}}_{<1\text{,da a
Kommst du damit schon weiter? Ich sehe nämlich gerade keinen Weg.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Sa 23.08.2014 | | Autor: | luis52 |
Bezeichnet [mm] $\Phi$ [/mm] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, so ist die Behauptung aequivalent mit [mm] $1-\Phi(t/a)\le 1-\Phi(t/b)$. [/mm] Nun ist [mm] $\Phi$ [/mm] monoton steigend ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Fr 22.08.2014 | | Autor: | leduart |
Hallp
substituiere [mm] u=x/\sqrt{2a} [/mm] bzw [mm] u=x/\sqrt{2b} [/mm]
dann hast du 2 gleiche Integrale aber verschiedene Grenzen,
damit hast du dann die Abschätzung für t<0 und t>0
Gruß leduart
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Danke sehr. Die Tipps haben geholfen!
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