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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:36 Di 26.10.2004 | | Autor: | N4ppo |
Aufgabe 36: (8 Punkte)
Sei M = {(x[1], x[2]) [mm] \varepsilon [/mm] [−1, 1] × [−1, 1]; |x1| [mm] \le [/mm] (1/2)* [mm] (x[2]^2+1 [/mm]
), |x2| [mm] \le [/mm] (1/2)* [mm] (x[1]^2+1 [/mm] )}.
Dann wird durch
p(x) := inf{r [mm] \varepsilon [/mm] IR; r > 0, x [mm] \varepsilon2 [/mm] rM}, rM = {y [mm] \varepsilon [/mm] IR2; y = rx, x [mm] \varepsilon [/mm] M}
eine Funktion p : IR2 ! IR definiert. Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften:
a) p(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] IR2
p(x) = 0 , x = 0
b) p( [mm] \alpha [/mm] x) = [mm] |\alpha|p(x) \forall \alpha \varepsilon [/mm] IR, x [mm] \varepsilon [/mm] IR2
c) [mm] \exists x^1, x^2 \varepsilon [/mm] IR : [mm] p(x^1 [/mm] + [mm] x^2) [/mm] > [mm] p(x^1) [/mm] + [mm] p(x^2)
[/mm]
[mm] \exists y^1, y^2 \varepsilon [/mm] IR : [mm] p(y^1 [/mm] + [mm] y^2) \le p(y^1) p(y^2)
[/mm]
Hinweis: Durch eine Zeichnung verdeutliche man sich die Definition von p.
Bemerkung (ohne Beweis): Für punktsymmetrisches, konvexes M, das einen Kreis um den
Nullpunkt enth¨alt, wird durch obiges p eine Norm definiert (Minkowski-Norm).
Hilfe, ich wäre für jede Idee dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Di 26.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo N4ppo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Deine Aufgabenstellung ist eine Zumutung, man kann nichts lesen. Bitte schreibe sie noch einmal auf, mit Hilfe unseres Formel-Editors.
Dann hilft dir vielleicht auch jemand. So bestimmt nicht, denn die Mindestvoraussetzung für's Helfen ist ja, dass man die Aufgabenstellung lesen kann. Wie sieht es eigentlich mit eigenen Ideen und Ansätzen von dir aus?
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:05 Mi 27.10.2004 | | Autor: | N4ppo |
Ups, hatte ich wohl zu schnell aufgeschrieben.
Aufgabe 36:
Sei M = {(x[1], x[2]) [mm] \varepsilon [/mm] [−1, 1] × [−1, 1]; |x[1]| [mm] \le [/mm] (1/2)* [mm] (x[2]^2+1), [/mm] |x[2]| [mm] \le [/mm] (1/2)* [mm] (x[1]^2+1 [/mm] )}.
Dann wird durch
p(x) := inf{r [mm] \varepsilon \IR; [/mm] r > 0, x [mm] \varepsilon [/mm] rM}, rM = {y [mm] \varepsilon \IR^2; [/mm] y = rx, x [mm] \varepsilon [/mm] M}
eine Funktion p : [mm] \IR^2 \to [/mm] IR definiert. Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften:
a) p(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \varepsilon \IR^2
[/mm]
p(x) = 0 , x = 0
b) [mm] p(\alphax) [/mm] = [mm] |\alpha|p(x) \forall \alpha \varepsilon \IR,
[/mm]
x [mm] \varepsilon \IR^2
[/mm]
c) [mm] \exists x^1, x^2 \varepsilon \IR [/mm] : p( [mm] x^1+ x^2) [/mm] > [mm] p(x^1) [/mm] + [mm] p(x^2)
[/mm]
[mm] \exists y^1, y^2 \varepsilon \IR [/mm] : [mm] p(y^1 [/mm] + [mm] y^2) \le p(y^1) p(y^2)
[/mm]
Hinweis: Durch eine Zeichnung verdeutliche man sich die Definition von p.
Bemerkung (ohne Beweis): Für punktsymmetrisches, konvexes M, das einen Kreis um den
Nullpunkt enthält, wird durch obiges p eine Norm definiert (Minkowski-Norm).
Hilfe, ich wäre für jede Idee dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Es ist immer noch sehr schwierig, aus deinen Angaben eine Frage zu basteln.
Was soll denn bei a) und b) bewiesen werden, du hast keine Aussage angegeben.
Zeichne die doch die Menge M einmal auf. Solltest du das nicht hinbekommen, dann lass lieber die Finger von dieser Aufgabe.
Wenn du M gezeichnet vor dir liegen hast, dann sollte es kein Problem mehr sein, die Frage c) zu beantworten. Das ist dann wirklich einfach.
Zu a) und zu b) hab ich im Prinzip auch schon ne Lösung, aber ich möchte erst sehen, ob ich überhaupt die richtigen Fragen beantwortet hätte.
Hugo
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