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Ich hab mal ne einfache frage:
Wenn ich beweisen will das [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1} [/mm] wie mache ich das. Ich steh irgendwie aufm schlauch.
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} [/mm] = [mm] (\wurzel(\summe_{i=1}^{n}|x_{i}|^2)) [/mm] Wie kann man das abschätzen. Ich habs schon mit der Dreiecksungleichung versucht geht aber auch nicht. Wahrscheinlich ist das einfach ich komm nur nicht drauf. Für hilfe wäre ich sehr dankbar
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> Ich hab mal ne einfache frage:
> Wenn ich beweisen will das [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{2} \le \parallel[/mm]
> x [mm]\parallel_{1}[/mm] wie mache ich das. Ich steh irgendwie aufm
> schlauch.
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{2}[/mm] =
> [mm](\wurzel(\summe_{i=1}^{n}|x_{i}|^2))[/mm] Wie kann man das
> abschätzen. Ich habs schon mit der Dreiecksungleichung
> versucht geht aber auch nicht. Wahrscheinlich ist das
> einfach ich komm nur nicht drauf. Für hilfe wäre ich sehr
> dankbar
Du kannst z.B. einfach verwenden, dass [mm] $|x_i|\leq \parallel x\parallel_2$, [/mm] für alle [mm] $i=1,\ldots,n$.
[/mm]
Also
[mm] [center]$\parallel [/mm] x [mm] \parallel_1 [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n |x_i| \leq n\cdot \parallel x\parallel_2$[/center]
[/mm]
Aber vielleicht möchtest Du anders herum abschätzen: wegen [mm] $|x_i|\leq \parallel x\parallel_1$ [/mm] ist
[mm] [center]$\parallel x\parallel_2\leq \sqrt{n}\cdot \parallel x\parallel_1$[/center]
[/mm]
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Danke für die Antwort. Zu beweisen ist aber das [mm] \wurzel(n) \parallel x\parallel_{2} \le \wurzel(n) \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1}. [/mm] Also im Endeffekt [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1}. [/mm]
Wie mache ich das.(Voll aufm Schlauch steh)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 So 04.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Danke für die Antwort. Zu beweisen ist aber das [mm]\wurzel(n) \parallel x\parallel_{2} \le \wurzel(n) \parallel[/mm]
> x [mm]\parallel_{1}.[/mm] Also im Endeffekt [mm]\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel_{2} \le \parallel[/mm] x [mm]\parallel_{1}.[/mm]
> Wie mache ich das.(Voll aufm Schlauch steh)
Du willst also [mm] $\sqrt{ \sum_{i=1}^n |x_i|^2 } \le \sum_{i=1}^n |x_i|$ [/mm] zeigen fuer beliebige [mm] $(x_1, \dots, x_n) \in \IR^n$. [/mm] Quadriere doch mal die Gleichung (warum ist das eine Aequivalenzumformung?) und ziehe die linke Seite von der Rechten ab. Was erhaelst du?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 So 04.11.2007 | | Autor: | blascowitz |
Danke für die Antwort und einen schönen Tag
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Ich habe noch ein Frage zu Normen(die habens mir angetan)
Ich will zeigen, dass [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} ||A||_{1} \le ||A||_{2}. [/mm] Ich wollte das mit hilfe der Frobenius -Norm machen denn für die Weiß ich dann dass [mm] ||A||_{F} \le \wurzel{n} ||A||_{2}
[/mm]
Ich weiß nur nicht ob ich das so abschätzen kann
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} ||A||_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} max_{j=1..n} \summe_{i=1}^{n} |a_{i,j}| \le \wurzel{\summe_{j=1}^{n} |a_{1,j}|^2.......+(\summe_{j=1}^{n} |a_{i,j}|)^2 +..........+ \summe_{j=1}^{n} |a_{n,j}|^2} [/mm] = [mm] \wurzel{\summe_{j=1}^{n} \summe_{i=1}^{n} |a_{i,j}|^2 + (\summe_{j=1}^{n}|a_{i,j}|)^2}. [/mm] Das Problem ist das ist dass [mm] (\summe_{j=1}^{n}|a_{i,j}|)^2 [/mm] nicht kleiner ist als [mm] (\summe_{j=1}^{n}|a_{i,j}|^2). [/mm] Wie kann ich das abschätzen oder mache ich das viel zu kompliziert(wohl eher wahrscheinlich^^) Für einen Hinweis wäre ich dankbar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 10.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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