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| Aufgabe | Hallo ,
Ich habe folgende Aufgabenstellung:
a ) Für p [mm] \ge [/mm] 1 sei [mm] ||.||_{p}: \IR^{n} \to \IR [/mm] definiert durch:
[mm] ||(x_{j})_{j=1}^{n}||_{p} [/mm] := [mm] \wurzel[p]{\summe_{j=1}^{n}|x_{j}|^{p}}
[/mm]
Man zeige dass [mm] ||.||_{p} [/mm] eine Norm ist.
b) Man Zeige , dass alle Normen [mm] ||.||_{p} [/mm] , p [mm] \in [/mm] [1, [mm] \infty) [/mm] auf [mm] \IR^{n} [/mm] äquivalent sind. Man zeige insbesondere dass [mm] (1\lep
[mm] ||x||_{\infty} \le ||x||_{q} \le ||x||_{p} \le n||x||_{\infty}. [/mm] |
Also gut:
ad a)
Behauptung 1: [mm] ||(x_{j})_{j=1}^{n}||_{p} [/mm] := [mm] \wurzel[p]{\summe_{j=1}^{n}|x_{j}|^{p}} [/mm] ist eine Norm.
Beweis:
Bedingungen für eine Norm: X sei Vektorraum über [mm] \IR (\IC)
[/mm]
1)[mm] ||x+y|| \le ||x|| + ||y|| x,y \in X [/mm]
2) [mm] ||ax|| = |a|.||x|| x \in X a \in \IR (\IC)[/mm]
3)[mm] ||x|| > 0 falls x \neq 0[/mm]
Ich prüfe die Bedingungen :
ad 3) [mm] \wurzel[p]{\summe_{j=1}^{n}|x_{j}|^{p}} [/mm] > 0 für alle x [mm] \neq [/mm] 0 ist klar aufgrund des Betrags.
ad 2) zz : [mm] ||ax|| = |a|.||x|| x \in X a \in \IR (\IC)[/mm]
[mm] ||ax||_{p} = \wurzel[p]{\summe_{j=1}^{n}|ax_{j}|^{p}} = \wurzel[p]{\summe_{j=1}^{n}|a|^{p}|x_{j}|^{p}} = \wurzel[p]{|a|^{p}\summe_{j=1}^{n}|x_{j}|^{p}} = |a|.||x|| [/mm]
ad 1: zz. [mm] ||x+y|| \le ||x|| + ||y|| x,y \in X [/mm]
[mm] \summe_{i=1}|x_{j}+y_{y}|^{p} \le \summe_{i=1}|x_{j}||x_{j}+y_{y}|^{p-1} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}|y_{j}||x_{j}+y_{y}|^{p-1} [/mm] lt. Hinweis.
Ich wende nun die Höldersche Ungl. an:
[mm] \le (\summe_{i=1}^{n}|x_{j}|^{p})*\summe_{i=1}^{n}(|x_{j}+y_{j}|^{(p-1)*q})^{\frac{1}{q}} [/mm] + [mm] (\summe_{i=1}^{n}|y_{j}|^{p})*\summe_{i=1}^{n}(|x_{j}+y_{j}|^{(p-1)*q})^{\frac{1}{q}}, [/mm] setze q = [mm] \frac{p}{p-1} [/mm] und erhalte nach umformen die gewünschte Aussage.
ad b)
Behauptung: Die Normen sind äquivalent:
Die Normen [mm] ||.||_{p}[/mm] und [mm] ||.||_{q}[/mm] heißen äquivalent [mm] \gdw[/mm] [mm]a*||.||_{p} \le ||.||_{q} \le b*||.||_{p}[/mm] wobei a,b > 0.
Ich mache dies hier nur für : [mm]||.||_{\infty}[/mm] äquivalent zu [mm]||.||_{p}[/mm]
[mm][mm] ||(x_{j})_{j=1}^{n}||_{\infty}:=Max_{1\le j \le n} {|x_{j}|} [/mm]
[mm] Max_{1\le j \le n} {|x_{j}|} \le (\summe_{j=1}^{n}|x_{j}|^{p})^{\frac{1}{p}} \le (\summe_{j=1}^{n}Max(|x_{j}|^{p}))^{\frac{1}{p}} [/mm] = [mm]n*Max (|x_{j}|^{p})^{\frac{1}{p}} = n*Max|x_{j}| = n*||.||_{\infty} [/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]a*||.||_{\infty}[/mm] [mm] \le[/mm] [mm]||.||_{p}[/mm] [mm] \le[/mm] [mm] n*||.||_{\infty}[/mm] , wobei a = 1.
Vorgehen um die Äquivalenz der anderen Normen zu zeigen wäre ähnlich.
Passt das im Großen und Ganzen?
Lg Thomas
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Hallo,
also deine Ausführungen zum Teil a) der Aufgabe sind m.E. korrekt.
Grüße, Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 27.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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