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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 Di 29.06.2010 | | Autor: | pantD |
| Aufgabe | Berechne Konstanten [mm] 0
[mm] \parallel x\parallel_A=\parallel Ax\parallel_\infty
[/mm]
[mm] \parallel x\parallel_{ind}=\wurzel{x^TAx}
[/mm]
gilt:
[mm] c\parallel x\parallel_A\le\parallel x\parallel_{ind}\le C\parallel x\parallel_A
[/mm]
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Hallo!
Das die Normen äquivalent sein müssen ist klar wegen endl. dimensional, aber die Konstanten explizit zu berechnen schaffe ich nicht.
Ich habe es mit einer Basis aus orthonormalen Eigenvektoren [mm] {e_1,\ldots,e_n} [/mm] mit EW [mm] \lambda_i [/mm] versucht, dann erhalte ich für [mm] x=\sum_{i=1}^n{\mu_ie_i}:
[/mm]
[mm] \parallel x\parallel_{ind}=\wurzel{\sum_{i=1}^n{\mu_i^2\lambda_i}}
[/mm]
[mm] \parallel x\parallel_A= \parallel\sum_{i=1}^n{\mu_i\lambda_ie_i}\parallel_\infty
[/mm]
Dann ist
[mm] \parallel x\parallel_A\le\sum_{i=1}^n{\mu_i\lambda_i\parallel e_i\parallel_\infty} [/mm]
und da komm ich schon nicht weiter - man muss ja irgendwie auf [mm] \mu^2 [/mm] und die Wurzel kommen.
Verwendet man eher einen anderen Ansatz? Grüße. PantD
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 29.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne Konstanten [mm]0
> definite Matrix [mm]A\in\IR^{n\times n}, x\in\IR^n[/mm] und die
> Normen
>
> [mm]\parallel x\parallel_A=\parallel Ax\parallel_\infty[/mm]
>
> [mm]\parallel x\parallel_{ind}=\wurzel{x^TAx}[/mm]
>
> gilt:
>
> [mm]c\parallel x\parallel_A\le\parallel x\parallel_{ind}\le C\parallel x\parallel_A[/mm]
>
> Hallo!
>
> Das die Normen äquivalent sein müssen ist klar wegen
> endl. dimensional, aber die Konstanten explizit zu
> berechnen schaffe ich nicht.
>
> Ich habe es mit einer Basis aus orthonormalen Eigenvektoren
> [mm]{e_1,\ldots,e_n}[/mm] mit EW [mm]\lambda_i[/mm] versucht, dann erhalte
> ich für [mm]x=\sum_{i=1}^n{\mu_ie_i}:[/mm]
>
> [mm]\parallel x\parallel_{ind}=\wurzel{\sum_{i=1}^n{\mu_i^2\lambda_i}}[/mm]
>
> [mm]\parallel x\parallel_A= \parallel\sum_{i=1}^n{\mu_i\lambda_ie_i}\parallel_\infty[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]\parallel x\parallel_A\le\sum_{i=1}^n{\mu_i\lambda_i\parallel e_i\parallel_\infty}[/mm]
>
> und da komm ich schon nicht weiter - man muss ja irgendwie
> auf [mm]\mu^2[/mm] und die Wurzel kommen.
>
> Verwendet man eher einen anderen Ansatz? Grüße. PantD
ich seh's jetzt (weil bei den [mm] $\lambda_i$'s [/mm] kein $^2$ dransteht) auch nicht direkt, aber die zu zeigende Ungleichung verleitet mich jedenfalls dazu, direkt an ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Schwarz zu denken. (Wobei das nicht heißen muss, dass man mit Cauchy-Schwarz auch wirklich zum Ziel kommt, daher lasse ich die Frage mal weiter offen.)
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Di 29.06.2010 | | Autor: | pantD |
Marcel, danke für die Antwort :)
Ich habe es mit der Cauchy-Schwarzen Ungleichung bereits probiert, dann erhalte ich als obere Grenze einen Term [mm] \parallel \mu\parallel, [/mm] da [mm] \mu [/mm] aber beliebig ist wird damit die obere Grenze auch beliebig groß.
Hier meine Ergebnisse mittels Cauchy:
[mm] \parallel x\parallel_A\le\max_{i=1,\ldots,n}{\parallel e_i\parallel_\infty}\sum_{i=1}^n{\mu_i\lambda_i}\le\max_{i=1,\ldots,n}{\parallel e_i\parallel_\infty}\parallel \mu \parallel_2 \parallel \lambda \parallel_2 [/mm]
und
[mm] \wurzel{x^TAx}=\wurzel{\sum_{i=1}^n{\mu_i(\mu_i\lambda_i)}}\le\wurzel{\parallel\mu\parallel_\infty\sum_{i=1}^n{(\mu_i\lambda_i)}}\le\wurzel{\parallel\mu\parallel_2 \parallel \mu\parallel_2 \parallel\lambda\parallel_2}
[/mm]
Ich tüftel mal weiter ;)
Grüße, pantD
> > Ich habe es mit einer Basis aus orthonormalen Eigenvektoren
> > [mm]{e_1,\ldots,e_n}[/mm] mit EW [mm]\lambda_i[/mm] versucht, dann erhalte
> > ich für [mm]x=\sum_{i=1}^n{\mu_ie_i}:[/mm]
> >
> > [mm]\parallel x\parallel_{ind}=\wurzel{\sum_{i=1}^n{\mu_i^2\lambda_i}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\parallel x\parallel_A= \parallel\sum_{i=1}^n{\mu_i\lambda_ie_i}\parallel_\infty[/mm]
>
> >
> > Dann ist
> >
> > [mm]\parallel x\parallel_A\le\sum_{i=1}^n{\mu_i\lambda_i\parallel e_i\parallel_\infty}[/mm]
> >
> > und da komm ich schon nicht weiter - man muss ja irgendwie
> > auf [mm]\mu^2[/mm] und die Wurzel kommen.
> >
> > Verwendet man eher einen anderen Ansatz? Grüße. PantD
>
> ich seh's jetzt (weil bei den [mm]\lambda_i[/mm]'s kein [mm]^2[/mm]
> dransteht) auch nicht direkt, aber die zu zeigende
> Ungleichung verleitet mich jedenfalls dazu, direkt an
> Cauchy-Schwarz
> zu denken. (Wobei das nicht heißen muss, dass man mit
> Cauchy-Schwarz auch wirklich zum Ziel kommt, daher lasse
> ich die Frage mal weiter offen.)
>
> Beste Grüße,
> Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:08 Mi 30.06.2010 | | Autor: | pantD |
Hab jetzt endlich eine Seite:
[mm] \wurzel{x^TAx}\le\wurzel{\parallel x\parallel_2\parallel Ax\parallel_2}=\wurzel{\bruch{\parallel x\parallel_2}{\parallel Ax\parallel_2}}\parallel Ax\parallel_2\le\wurzel{\parallel A^{-1}\parallel_2}\parallel Ax\parallel_2\le\wurzel{\max_{EW}{(A^{-T}A^{-1})}}\wurzel{n}\parallel Ax\parallel_\infty
[/mm]
Hat noch jemand eine Idee für die andere? Grüße, pantD
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Huhu,
es gilt doch:
[mm] $||x||_{ind}^2 [/mm] = x^TAx = <x,Ax> = <x,Ax> - <Ax,Ax> + <Ax,Ax>= <x - Ax,Ax> + [mm] ||Ax||_2^2 [/mm] = (x-Ax)^TAx + [mm] ||Ax||_2^2 [/mm] = ((1-A)x)^TAx + [mm] ||Ax||_2 [/mm] = [mm] x^T((1-A)^TA)x [/mm] + [mm] ||Ax||_2^2$.
[/mm]
Da ich jetzt net mehr Zeit hab, den Gedanken weiterzudenken, lass ich das mal als unbeantwortet stehen, aber ich denke, man kann den vorderen Term bestimmt durch irgendwas abschätzen 
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Mi 30.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Berechne Konstanten [mm]0
> definite Matrix [mm]A\in\IR^{n\times n}, x\in\IR^n[/mm] und die
> Normen
>
> [mm]\parallel x\parallel_A=\parallel Ax\parallel_\infty[/mm]
>
> [mm]\parallel x\parallel_{ind}=\wurzel{x^TAx}[/mm]
>
> gilt:
>
> [mm]c\parallel x\parallel_A\le\parallel x\parallel_{ind}\le C\parallel x\parallel_A[/mm]
>
> Hallo!
>
> Das die Normen äquivalent sein müssen ist klar wegen
> endl. dimensional, aber die Konstanten explizit zu
> berechnen schaffe ich nicht.
>
> Ich habe es mit einer Basis aus orthonormalen Eigenvektoren
> [mm]{e_1,\ldots,e_n}[/mm] mit EW [mm]\lambda_i[/mm] versucht, dann erhalte
> ich für [mm]x=\sum_{i=1}^n{\mu_ie_i}:[/mm]
>
> [mm]\parallel x\parallel_{ind}=\wurzel{\sum_{i=1}^n{\mu_i^2\lambda_i}}[/mm]
>
> [mm]\parallel x\parallel_A= \parallel\sum_{i=1}^n{\mu_i\lambda_ie_i}\parallel_\infty[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]\parallel x\parallel_A\le\sum_{i=1}^n{\mu_i\lambda_i\parallel e_i\parallel_\infty}[/mm]
>
> und da komm ich schon nicht weiter - man muss ja irgendwie
> auf [mm]\mu^2[/mm] und die Wurzel kommen.
>
> Verwendet man eher einen anderen Ansatz? Grüße. PantD
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Wenn [mm] ||.||_1 [/mm] und [mm] ||.||_2 [/mm] zwei beliebige Normen auf [mm] \IK^n [/mm] sind und [mm]||.||[/mm] die euklidische Norm bezeichnet, folgert man - wenn ich mich recht entsinne - die Äquvalenz aus zwei Ungleichgungen
[mm] m_1||x||\le||x||_1\le M_1||x||
[/mm]
[mm] m_2||x||\le||x||_2\le M_2||x||
[/mm]
Wobei [mm] m_i=\min_{\{||x||=1\}}||x||_i [/mm] und [mm] M_i=\max_{\{||x||=1\}}||x||_i
[/mm]
Vielleicht hilft das.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mi 30.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Berechne Konstanten [mm]0
> definite Matrix [mm]A\in\IR^{n\times n}, x\in\IR^n[/mm] und die
> Normen
>
> [mm]\parallel x\parallel_A=\parallel Ax\parallel_\infty[/mm]
>
> [mm]\parallel x\parallel_{ind}=\wurzel{x^TAx}[/mm]
>
> gilt:
>
> [mm]c\parallel x\parallel_A\le\parallel x\parallel_{ind}\le C\parallel x\parallel_A[/mm]
>
> Hallo!
>
> Das die Normen äquivalent sein müssen ist klar wegen
> endl. dimensional, aber die Konstanten explizit zu
> berechnen schaffe ich nicht.
>
> Ich habe es mit einer Basis aus orthonormalen Eigenvektoren
> [mm]{e_1,\ldots,e_n}[/mm] mit EW [mm]\lambda_i[/mm] versucht, dann
Wie ist bei Euch pos. def. definiert? Wenn Du ein ONS aus EVen verwendest, sollte A auch symmetrisch sein, oder?
LG
gfm
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