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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Di 07.04.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
ich sitze hier an einem etwas länglichen Beweis, bei dem ich weiter käme, wenn ich meine Vermutung
[mm] ||S^tASv||^2=||Av||^2
[/mm]
zeigen könnte.
Hierbei sind: A eine symmetrische Matrix, S eine orthogonale Matrix und v ein Vektor.
Mein Ansatz:
[mm] ||S^tASv||^2)=(S^tASv)^t(S^tASv)=v^t(S^tAS)^2(S^tASv)=v^tS^tA^tSS^tASv=v^tS^tA^tASv=v^tS^tA^2Sv
[/mm]
ab hier drehe ich mich im Kreis. Stimmt meine Vermutung evtl. nicht?
Gruß,
Rutzel
Edit: Achso: Als Norm auf den Vektoren sei die euklidische Norm gewählt, auf den Matrizen die Operatornorm.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Di 07.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich sitze hier an einem etwas länglichen Beweis, bei dem
> ich weiter käme, wenn ich meine Vermutung
>
> [mm]||S^tASv||^2=||Av||^2[/mm]
>
> zeigen könnte.
>
> Hierbei sind: A eine symmetrische Matrix, S eine
> orthogonale Matrix und v ein Vektor.
Das stimmt im Allgemenen nicht. Beispiel:
$A = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }$, [/mm] $S = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }$ [/mm] und $v = [mm] \vektor{ 1 \\ 0 }$.
[/mm]
Damit ist $A v = 0$, aber [mm] $S^t [/mm] A S v = [mm] S^t [/mm] A [mm] \vektor{ 0 \\ 1 } [/mm] = [mm] S^t \vektor{ 0 \\ 1 } [/mm] = [mm] \vektor{ 1 \\ 0 } \neq [/mm] 0$.
Also ganz egal welche Norm du verwendest, die Normen koennen nie gleich sein.
Allgemeiner: sobald $A$ (mind.) zwei verschiedene Eigenwerte hat kann man immer ein aehnliches Gegenbeispiel finden.
Dies gilt fuer allgemeines $v$ nur, wenn $A$ genau einen Eigenwert hat, aber dann ist $A$ bereits eine Diagonalmatrix. Und da gilt das trivialerweise.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Di 07.04.2009 | | Autor: | Rutzel |
Mh, ich hatte evtl was wichtiges vergessen: S ist genau die orthogonale Matrix, sodass
S^tAS diagonal ist.
Kann man dann immer noch nichts machen? (Es wäre nämlich extrem praktisch, wenn diese Beziehung gelten würde.)
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Di 07.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Rutzel
> Mh, ich hatte evtl was wichtiges vergessen: S ist genau die
> orthogonale Matrix, sodass
> S^tAS diagonal ist.
1. Gibt es nicht die Matrix die $A$ orthogonal macht :)
2. Die Matrix $S$ aus meinem Beispiel macht $A$ ebenfalls orthogonal.
> Kann man dann immer noch nichts machen?
Nein. Nicht ohne zusaetzliche Voraussetzungen.
> (Es wäre nämlich extrem praktisch, wenn diese Beziehung gelten würde.)
Sag doch mal wofuer du das brauchst. Eventuell kann man das eigentliche Problem anders loesen als ueber diese Beziehung.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Di 07.04.2009 | | Autor: | Rutzel |
Ich würde gerne zeigen:
[mm] ||A||_{operatornorm}=max\{|\lambda_i| | i=1,...,n\}
[/mm]
wobei A eine symmetrische Matrix mit den Eigenwerten [mm] \lambda_j [/mm] ist.
Die Operatornorm ist bei uns so definiert:
[mm] ||A||_{operatornorm} [/mm] = [mm] sup\{||Av||\: |\: v \in \IR^n , ||v||\le 1\}
[/mm]
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Di 07.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Rutzel!
> Ich würde gerne zeigen:
>
> [mm]||A||_{operatornorm}=max\{|\lambda_i| | i=1,...,n\}[/mm]
> wobei
> A eine symmetrische Matrix mit den Eigenwerten [mm]\lambda_j[/mm]
> ist.
Ach so; dazu brauchst du diese Aussage tatsaechlich nicht :)
Beachte folgendes: ist $S$ invertierbar (also z.B. orthogonal), so gilt [mm] $\{ S v \mid v \in \IR^n \} [/mm] = [mm] \IR^n$. [/mm] Und da $S$ orthogonal ist gilt ja auch $||v|| = ||S v||$.
Insbesondere gilt also [mm] $||A||_{operatornorm} [/mm] = [mm] \sup\{||A S v||\: |\: v \in \IR^n , ||v||\le 1\}$.
[/mm]
Und da nun [mm] $||S^t [/mm] w|| = ||w||$ gilt fuer alle $w [mm] \in \IR^n$, [/mm] ist [mm] $||A||_{operatornorm} [/mm] = [mm] \sup\{||A S v||\: |\: v \in \IR^n , ||v||\le 1\} [/mm] = [mm] \sup\{||S^t A S v||\: |\: v \in \IR^n , ||v||\le 1\} [/mm] = [mm] ||S^t [/mm] A [mm] S||_{operatornorm}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 07.04.2009 | | Autor: | Rutzel |
> Beachte folgendes: ist [mm]S[/mm] invertierbar (also z.B.
> orthogonal), so gilt [mm]\{ S v \mid v \in \IR^n \} = \IR^n[/mm].
> Und da [mm]S[/mm] orthogonal ist gilt ja auch [mm]||v|| = ||S v||[/mm].
Ok, das kann ich einsehen.
>
> Insbesondere gilt also [mm]||A||_{operatornorm} = \sup\{||A S v||\: |\: v \in \IR^n , ||v||\le 1\}[/mm].
Das wiederum nicht, denn dann setzt man ja voraus, dass gilt: ||A S v||=||A||||Sv||
was mir jetzt nicht unbedingt einleuchtet.
Viele Grüße,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Di 07.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Rutzel!
> > Beachte folgendes: ist [mm]S[/mm] invertierbar (also z.B.
> > orthogonal), so gilt [mm]\{ S v \mid v \in \IR^n \} = \IR^n[/mm].
> > Und da [mm]S[/mm] orthogonal ist gilt ja auch [mm]||v|| = ||S v||[/mm].
>
> Ok, das kann ich einsehen.
Gut.
> > Insbesondere gilt also [mm]||A||_{operatornorm} = \sup\{||A S v||\: |\: v \in \IR^n , ||v||\le 1\}[/mm].
>
> Das wiederum nicht, denn dann setzt man ja voraus, dass
> gilt: ||A S v||=||A||||Sv||
> was mir jetzt nicht unbedingt einleuchtet.
Nein, das setzt man nicht voraus.
Ich versuch es mal etwas deutlicher aufzuschreiben:
[mm] $||A||_{operatornorm} \overset{(1)}{=} \sup\{ \|A v\| \mid v \in \IR^n, \|v\| \le 1 \} \overset{(2)}{=} \sup\{ \|A w\| \mid w \in \{ S v \mid v \in \IR^n \}, \|w\| \le 1 \} \overset{(3)}{=} \sup\{ \|A w\| \mid w \in \{ S v \mid v \in \IR^n, \|v\| \le 1 \} \} \overset{(4)}{=} \sup\{ \|A s v\| \mid v \in \IR^n, \|v\| \le 1 \}$.
[/mm]
Also (1) ist die Definition. Der Punkt (2) ist die obige Mengengleichheit. Punkt (3) gilt weil $S$ Normerhaltend ist, also [mm] $\|S v\| [/mm] = [mm] \|v\|$ [/mm] fuer alle $v [mm] \in \IR^n$. [/mm] Punkt (4) ist einfach Umschreiben der Menge in eine einfachere Form (naemlich $w$ ersetzen durch $S v$, was es ja schlussendlich ist).
Hoffe das hilft jetzt weiter :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo Felix,
so ganz klar ist es mir immer noch nicht.
Gleichheitszeichen 4):
Das heißt ja, dass Sv = w für alle [mm] w\in \IR^n [/mm] sein kann. Woher weiß ich, dass ich durch die Linksmultiplikation mit der Matrix nicht ein paar Vektoren aus [mm] \IR^n [/mm] verliere?
Und:
Das will mir auch nicht klar werden:
[mm] \sup\{||A S v||\: |\: v \in \IR^n , ||v||\le 1\} [/mm] = [mm] \sup\{||S^t A S v||\: |\: v \in \IR^n , ||v||\le 1\} [/mm]
warum darf man da aufeinmal einfach ein [mm] S^t [/mm] dazumultiplizieren?
Viele Grüße,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Mi 08.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Rutzel
> so ganz klar ist es mir immer noch nicht.
>
> Gleichheitszeichen 4):
> Das heißt ja, dass Sv = w für alle [mm]w\in \IR^n[/mm] sein kann.
> Woher weiß ich, dass ich durch die Linksmultiplikation mit
> der Matrix nicht ein paar Vektoren aus [mm]\IR^n[/mm] verliere?
Weil $S$ invertierbar ist! Deswegen ist [mm] $\{ S v \mid v \in \IR^n \} [/mm] = [mm] \IR^n$ [/mm] und somit geht nichts verloren.
> Und:
> Das will mir auch nicht klar werden:
> [mm]\sup\{||A S v||\: |\: v \in \IR^n , ||v||\le 1\}[/mm] =
> [mm]\sup\{||S^t A S v||\: |\: v \in \IR^n , ||v||\le 1\}[/mm]
>
> warum darf man da aufeinmal einfach ein [mm]S^t[/mm]
> dazumultiplizieren?
Weil [mm] $S^t$ [/mm] ebenfalls orthogonal ist und somit [mm] $\| S^t [/mm] w [mm] \| [/mm] = [mm] \| [/mm] w [mm] \|$ [/mm] fuer alle $w [mm] \in \IR^n$ [/mm] gilt, insbesondere auch fuer $w = A S v [mm] \in \IR^n$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Rutzel |
Vielen Dank!
Gruß,
Rutzel
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