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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Normgleichung Beweis
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Normgleichung Beweis: Korrektur, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Fr 23.04.2010
Autor: aly19

Aufgabe
Sei [mm] \parallel \parallel [/mm] eine Norm auf einem Vektorraum V, seien [mm] x,y,x_1,....,x_k \in [/mm] V. Beweisen sie:
a) | [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel -\parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] | [mm] \leq \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel. [/mm]
[mm] b)\parallel [/mm] x+y [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel \ge \parallel [/mm] x [mm] \parallel +\parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm]
c) [mm] \parallel x_1 \parallel [/mm] -... [mm] -\parallel x_k \parallel \leq \parallel x_1+...+x_k \parallel \leq \parallel x_1 \parallel+...+\parallel x_k\parallel [/mm]

So ich habe zu a und b schon einen Weg, weiß nur nicht, ob das so stimmt. Also
a) Bedeutet ja:  - [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel \leq \parallel [/mm] x [mm] \parallel -\parallel [/mm] y [mm] \parallel \leq \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel. [/mm]
Und das folgt ja eigentlich aus :
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x-y+y [mm] \parallel \leq \parallel x-y\parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm]
und
[mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] y-x+x [mm] \parallel \leq \parallel y-x\parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel= \parallel x-y\parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm]

b) [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel +\parallel [/mm] y [mm] \parallel= \parallel [/mm] x-y+y [mm] \parallel +\parallel [/mm] y+x-x [mm] \parallel \leq \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel +\parallel [/mm] y [mm] \parallel+ \parallel x+y\parallel +\parallel [/mm] x [mm] \parallel \leq \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel +\parallel [/mm] x+y [mm] \parallel [/mm]

Sind a und b so erstmal ok?
Bei c) weiß ich nicht genau weiter. Also die zweite Ungleichung ergibt sich ja direkt durch wiederholtes Anwenden der Dreiecksungleichung. Aber bei der 1. Ungleichung weiß ich keinen Ansatz. Hat da jemand einen Tipp für mich?
Liebe Grüße
        
Bezug
Normgleichung Beweis: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 23:22 Fr 23.04.2010
Autor: Doing

Hallo!

> Sei [mm]\parallel \parallel[/mm] eine Norm auf einem Vektorraum V,
> seien [mm]x,y,x_1,....,x_k \in[/mm] V. Beweisen sie:
>  a) | [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel -\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm] | [mm]\leq \parallel[/mm]
> x-y [mm]\parallel.[/mm]
>  [mm]b)\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel[/mm] + [mm]\parallel[/mm] x-y [mm]\parallel \ge \parallel[/mm]
> x [mm]\parallel +\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm]
> c) [mm]\parallel x_1 \parallel[/mm] -... [mm]-\parallel x_k \parallel \leq \parallel x_1+...+x_k \parallel \leq \parallel x_1 \parallel+...+\parallel x_k\parallel[/mm]
>  
> So ich habe zu a und b schon einen Weg, weiß nur nicht, ob
> das so stimmt. Also
>  a) Bedeutet ja:  - [mm]\parallel[/mm] x-y [mm]\parallel \leq \parallel[/mm]
> x [mm]\parallel -\parallel[/mm] y [mm]\parallel \leq \parallel[/mm] x-y
> [mm]\parallel.[/mm]
>  Und das folgt ja eigentlich aus :
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel[/mm] x-y+y [mm]\parallel \leq \parallel x-y\parallel[/mm]
> + [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm]

Das hier reicht schon aus. Setze das einfach innerhalb der Betragsstriche ein, und du bist fertig; und das Ganze sieht weniger umständlich aus.

>  und
>  [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel[/mm] y-x+x [mm]\parallel \leq \parallel y-x\parallel[/mm]
> + [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel= \parallel x-y\parallel[/mm] + [mm]\parallel[/mm]
> x [mm]\parallel[/mm]
>  
> b) [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel +\parallel[/mm] y [mm]\parallel= \parallel[/mm]
> x-y+y [mm]\parallel +\parallel[/mm] y+x-x [mm]\parallel \leq \parallel[/mm]
> x-y [mm]\parallel +\parallel[/mm] y [mm]\parallel+ \parallel x+y\parallel +\parallel[/mm]
> x [mm]\parallel \leq \parallel[/mm] x-y [mm]\parallel +\parallel[/mm] x+y
> [mm]\parallel[/mm]
>  

Die letzte Ungleichung kann doch nicht dein ernst sein. Auch hier ist das zu umständlich. Für ||x||=||y|| ist die Sache klar. Sei jetzt oBdA ||x||<||y|| so folgt:
[mm] \parallel x \parallel + \parallel y \parallel =\parallel x+y-y \parallel + \parallel y \parallel \leq \parallel x-y \parallel + 2 \parallel y \parallel \leq \parallel x-y \parallel + \parallel x+y \parallel [/mm]

> Sind a und b so erstmal ok?
>  Bei c) weiß ich nicht genau weiter. Also die zweite
> Ungleichung ergibt sich ja direkt durch wiederholtes
> Anwenden der Dreiecksungleichung. Aber bei der 1.
> Ungleichung weiß ich keinen Ansatz. Hat da jemand einen
> Tipp für mich?

Gehe wie in den anderen Aufgaben vor. Du musst bloß am ersten Term herumwerkeln.

>  Liebe Grüße

Gruß,
Doing

Bezug
                
Bezug
Normgleichung Beweis: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 15:33 Sa 24.04.2010
Autor: tobit09

Hallo,

>  >  a) Bedeutet ja:  - [mm]\parallel[/mm] x-y [mm]\parallel \leq \parallel[/mm]
> > x [mm]\parallel -\parallel[/mm] y [mm]\parallel \leq \parallel[/mm] x-y
> > [mm]\parallel.[/mm]
>  >  Und das folgt ja eigentlich aus :
> > [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel[/mm] x-y+y [mm]\parallel \leq \parallel x-y\parallel[/mm]
> > + [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm]
>  Das hier reicht schon aus. Setze das einfach innerhalb der
> Betragsstriche ein, und du bist fertig; und das Ganze sieht
> weniger umständlich aus.

[verwirrt] (Für reelle Zahlen a und b folgt aus [mm] $a\le [/mm] b$ i.A. nicht [mm] $|a|\le|b|$.) [/mm]

Zur b):
> Für ||x||=||y|| ist die
> Sache klar.

[verwirrt]

> Sei jetzt oBdA ||x||<||y|| so folgt:
>  [mm]\parallel x \parallel + \parallel y \parallel =\parallel x+y-y \parallel + \parallel y \parallel \leq \parallel x-y \parallel + 2 \parallel y \parallel \leq \parallel x-y \parallel + \parallel x+y \parallel[/mm]

Die letzte Ungleichung ist i.A. falsch (Gegenbeispielskizze: $x=0$, [mm] $y\not=0$). [/mm]

Viele Grüße
Tobias
Bezug
                        
Bezug
Normgleichung Beweis: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 04:33 So 25.04.2010
Autor: Doing


> Hallo,
>  
> >  >  a) Bedeutet ja:  - [mm]\parallel[/mm] x-y [mm]\parallel \leq \parallel[/mm]

> > > x [mm]\parallel -\parallel[/mm] y [mm]\parallel \leq \parallel[/mm] x-y
> > > [mm]\parallel.[/mm]
>  >  >  Und das folgt ja eigentlich aus :
> > > [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel[/mm] x-y+y [mm]\parallel \leq \parallel x-y\parallel[/mm]
> > > + [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm]
>  >  Das hier reicht schon aus. Setze das einfach innerhalb
> der
> > Betragsstriche ein, und du bist fertig; und das Ganze sieht
> > weniger umständlich aus.
>  [verwirrt] (Für reelle Zahlen a und b folgt aus [mm]a\le b[/mm]
> i.A. nicht [mm]|a|\le|b|[/mm].)

Ja hier muss man natürlich auch vorher annehmen, dass ||x||>||y|| ist (kann man aber oBdA tun), ansonsten geht das natürlich nicht.

>  
> Zur b):
>  > Für ||x||=||y|| ist die

> > Sache klar.
>  [verwirrt]

Nun, für ||x||=||y|| gilt eben genau Gleichheit.
>  
> > Sei jetzt oBdA ||x||<||y|| so folgt:
>  >  [mm]\parallel x \parallel + \parallel y \parallel =\parallel x+y-y \parallel + \parallel y \parallel \leq \parallel x-y \parallel + 2 \parallel y \parallel \leq \parallel x-y \parallel + \parallel x+y \parallel[/mm]
>  
> Die letzte Ungleichung ist i.A. falsch
> (Gegenbeispielskizze: [mm]x=0[/mm], [mm]y\not=0[/mm]).

Ja ich meinte eigentlich natürlich ||x||>||y||. Aber auch dann ist es falsch. Keine Ahnung was mich da geritten hat. Danke für den Hinweis.
>  
> Viele Grüße
>  Tobias

Bezug
                                
Bezug
Normgleichung Beweis: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 13:29 So 25.04.2010
Autor: tobit09

Hallo nochmal,

super, damit haben sich zwei Punkte geklärt!

> > Zur b):
>  >  > Für ||x||=||y|| ist die

> > > Sache klar.
>  >  [verwirrt]
>  
> Nun, für ||x||=||y|| gilt eben genau Gleichheit.

Das stimmt i.A. nicht. Gegenbeispiel: [mm] $V=\IR^2$ [/mm] mit der euklidischen Norm, [mm] $x=\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $y=\vektor{0\\1}$. [/mm]

Viele Grüße
Tobias
Bezug
        
Bezug
Normgleichung Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:46 Fr 23.04.2010
Autor: aly19

Danke für deine Antwort.
bei b) bin ich total durcheinander gekommen, wird natürlich kleiner wenn ich was wegnehme.

soo  zu c)
Habe das jetzt so gemacht:
- [mm] \parallel x_1+...+x_k \parallel \leq [/mm] - [mm] \parallel x_1 \parallel [/mm] - [mm] \parallel x_2+....+x_k \parallel \leq [/mm] - [mm] \parallel x_1 \parallel [/mm] + [mm] \parallel x_1+...+x_k \parallel [/mm]
und dann wieder einfach dreiecksungleichung induktiv anwenden. Ist das so okay?

Vielen Dank schonmal.
Bezug
                
Bezug
Normgleichung Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:14 Sa 24.04.2010
Autor: Doing

Hallo!

> Danke für deine Antwort.
> bei b) bin ich total durcheinander gekommen, wird
> natürlich kleiner wenn ich was wegnehme.
>  
> soo  zu c)
>  Habe das jetzt so gemacht:
>  - [mm]\parallel x_1+...+x_k \parallel \leq[/mm] - [mm]\parallel x_1 \parallel[/mm]
> - [mm]\parallel x_2+....+x_k \parallel \leq[/mm] - [mm]\parallel x_1 \parallel[/mm]
> + [mm]\parallel x_1+...+x_k \parallel[/mm]
> und dann wieder einfach dreiecksungleichung induktiv
> anwenden. Ist das so okay?

Leider nein. Die erste Ungleichung stimmt nicht. Mehr noch: sie gilt in die entgegengesetzte Richtung.

Versuche es mit diesem Ansatz: [mm]\parallel x_1 \parallel= \parallel x_1 + x_2 + ...+x_k - x_2 - ...-x_k \parallel [/mm]
Jetzt du.

>
> Vielen Dank schonmal.  

Gruß,
Doing

Bezug
                        
Bezug
Normgleichung Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:33 Sa 24.04.2010
Autor: aly19

Oh man stimmt ja, war wohl eindeutig zu spät für Mathe gestern :)
Also kann man es dann so machen mit deinem Tipp?
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel x_1+x_2+....+x_k-x_2-...-x_k \parallel \leq \parallel x_1+....+x_k-x_3-...-x_k \parallel [/mm] + [mm] \parallel -x_2 \parallel [/mm] = [mm] \parallel x_1+....+x_k-x_3-...-x_k \parallel [/mm] + [mm] \parallel x_2 \parallel [/mm]
und dann induktiv so weiter, bis da
steht:
[mm] \leq \parallel x_1+....+x_k\parallel [/mm] + [mm] \parallel x_2 \parallel+ [/mm] ... + [mm] \parallel x_k \parallel [/mm]
und dann umstellen zu
[mm] \parallel x_1 \parallel -\parallel x_2 \parallel [/mm] -...- [mm] \parallel x_k \parallel \leq \parallel x_1+...+x_k \parallel [/mm]
Ist das so richtig?
Viele Grüße

Bezug
                                
Bezug
Normgleichung Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Sa 24.04.2010
Autor: Doing

Jop. So kann man das machen.

Gruß,
Doing
Bezug
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