Normierte Räume < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Sa 12.06.2004 | | Autor: | danimax |
Ich habe folgendes Problem, ich soll beweisen,
Vorraussetzung ist, E ein normierter Raum und A Teilmenge E
Behauptung: E \ A abgeschlossen genau dann, wenn A offen ist.
Nun habe ich stundenlang mich damit befasst, leider finde ich auch nur diesen Satz, jedoch keinen Beweis dafür,
Vieleicht (hoffentlich) kann mich jemand von euch vom Schlauch runterholen... ich steh nähmlich drauf.
(Die frage ,bzw Antowet ist bisher in keinem anderen Forum zu finden und ich habe sie auch nirgendwo sonst gestellt.)
Danke
danimax
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 So 13.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo danimax,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Vorraussetzung ist, E ein normierter Raum und A Teilmenge
> E
>
> Behauptung: E \ A abgeschlossen genau dann, wenn A offen
> ist.
Interessant wäre hier, wie ihr "abgeschlossen" und "offen" definiert habt, denn diese Definitionen müssen ja hier angewendet werden.
Manchmal wird übrigens deine Behauptung auch als Definition der Abgeschlossenheit benutzt, so dass man sich da im Kreis drehen würde.
Also, es gibt mehrere (äquivalente) Definitionen der Abgeschlossenheit/Offenheit, und wir sollten dann die benutzen, die ihr auch in der Vorlesung eingeführt habt.
Melde dich doch bitte nochmal wieder mit diesen Definitionen, dann geht es weiter 
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 So 13.06.2004 | | Autor: | danimax |
Also wir haben offen, abgeschlossen wie folgt definiert:
(i) offen, wenn es zu jedem x Elemet A ein rx > 0 gibt, so dass gilt: B(x,rx) ist Teilmenge A
(Also ein zu jedem Punkt aus A ein symm. Intervall dass nur aus A besteht)
(ii) abgeschlossen, wenn jede Folge (xj) in A, die gegen ein x0 Element E konvergiert, schon xo Element A gilt
(Also eine Folge in A die gegen irgendein xo konv. , soll gegen Zahl aus A konv.)
Mit freundlichsten Grüßen Danimax
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 So 13.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo danimax,
> Vorraussetzung ist, E ein normierter Raum und A Teilmenge
> E
>
> Behauptung: E \ A abgeschlossen genau dann, wenn A offen
> ist.
Es sind diese beiden Behauptungen zu zeigen:
[mm] "$\Rightarrow$": $E\setminus [/mm] A$ abgeschlossen [mm] $\Rightarrow$ [/mm] A offen
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] A offen [mm] $\Rightarrow$ $E\setminus [/mm] A$ abgeschlossen
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Sei [mm] $a\in [/mm] A$.
Zu zeigen ist, dass es ein r>0 gibt, so dass [mm] $B_r(a)\subset [/mm] A$.
Angenommen, es gibt kein solches r (Beweis durch Widerspruch)
Dann gilt doch für alle $r>0$: [mm] $B_r(a)\not\subset [/mm] A$ [mm] $\Rightarrow$ $B_r(a)\cap (E\setminus A)\not=\emptyset$ [/mm] (mit anderen Worten: In jeder Umgebung von a liegen Elemente aus dem Komplement von A.)
Daraus läßt sich nun ganz leicht eine Folge basteln, die gegen a konvergiert, deren Folgenglieder aber alle aus [mm] E\setminus [/mm] A stammen.
Hast du eine Idee, wie man das formal aufschreiben könnte? Und vor allem: Warum wäre meine Behauptung gezeigt, wenn es eine solche Folge gibt?
Falls nicht, melde dich bitte noch mal, ich erlöse dich dann 
[mm] "$\Leftarrow$". [/mm] Sei [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine konvergente Folge mit [mm] $x_n\in E\setminus [/mm] A$.
Zu zeigen ist: [mm] $\limes_{n\to\infty} x_n\in E\setminus [/mm] A$.
Hier könnte man wieder einen Widerspruch konstruieren.
Angenommen, [mm] $a:=\limes_{n\to\infty} x_n\not\in E\setminus [/mm] A$, dann gilt natürlich [mm] $a:=\limes_{n\to\infty} x_n\in [/mm] A$.
Die Konvergenz bedeutet aber doch, dass in jeder Umgebung von a ein Element von [mm] $x_n$ [/mm] liegt (es gilt sogar, dass in jeder Umgebung fast alle Folgenglieder liegen).
Das verträgt sich aber nun nicht mit der Offenheit von A, da es dann ja keine Umgebung von a gibt, in der kein Folgenglied liegt, die also Teilmenge von A ist.
Bitte frage nach, wenn etwas unklar geblieben sein sollte.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Di 15.06.2004 | | Autor: | danimax |
Hallo Marc, ersteinmal vielen dank für deine Antwort, und entschuldige dass ich jetzt erst schreibe, grundsätzlich konnte ich deinen Ansatz verstehen, formal hinshcreiben. nur mit der def. der folge habe ich probleme. nachdem ich schon gestern abgeben musste hab i8ch mir noch einen Tag zeit gelassen zum versuchen zu verstehen.
Trotzdem weiß ich auch nicht hundertprozentig warum es bewiesen wäre... wenn ich die beh rumdrehe und zum wiederspruch komme ist es gleich bewiesen?...
Beste Grüße
daniel
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