Normierung Geradengleichung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Di 28.08.2012 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Geben Sie den Abstand der Geraden g vom Nullpunkt mit folgender Geradengleichung an:
[mm] y=\dfrac{4}{3}x+2 [/mm] |
Hallo, ich verstehe mal wieder etwas nicht so ganz. Um den Abstand zu bestimmen, suche ich die Hesse Normalform:
äquivalent zur obiger Gleichung ist: -4x+3y+6=0
damit habe ich schon mal die Koordinatenschreibweise nach Hesse.
Mein Normalenvektor kann abgelesen werden: [mm]\vec{n}=\vektor{-4 \\
3}[/mm]
der Normalen-Einheitsvektor ergibt sich dann zu:[mm]\vec{n}_0=\vektor{\frac{-4}{5} \\
\frac{3}{5}}[/mm]
eingesetzt in die Normalform nach Hesse [mm] \vec{x}\cdot\vec{n}_0-p:
[/mm]
[mm] -\dfrac{4}{5}x+\dfrac{3}{5}y-6=0
[/mm]
Jetzt kommst aber: Ich habe in vielen Beispielaufgaben gesehen, dass p mit normiert wird, also [mm] p=\dfrac{6}{5}. [/mm] Wieso ist das so? Laut der Normalform wird doch nur Vektor und Normalenvektor miteinander multipliziert:
[mm] \vec{x}\cdot\vec{n}-p=0
[/mm]
Was habe ich denn nicht so genau verstanden? Könnt Ihr mir das sagen?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Di 28.08.2012 | | Autor: | lzaman |
Hallo, ich habe nun Klarheit aus einem Lehrbuch mit der Definition:
Die Hessesche Normalform der durch
[mm]ax+by=c, \; mit \; c\geq 0,a^2+b^2> 0[/mm]
gegebenen Geraden lautet:
[mm]\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}x+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}y=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}[/mm]
Danke und bis bald
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Hallo,
es gilt ja: [mm] -4x+3y+6=0 [/mm]
Division durch 5 ergibt: [mm] -\bruch{4}{5}x+\bruch{3}{5}y+\bruch{6}{5}=0 [/mm]
Beantwortet das auch deine Frage, wie man auf das Ergebnis kommt?
Schöne Grüße
fz
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Hallo,
andere Methode:
Die orthogonale Gerade o(x) zu y(x) durch den Nullpunkt ist die Gerade, wo der Abstand dann am kleinsten ist.
Berechne den Schnittpunkt von [mm] o(x)=-\frac{3}{4}x [/mm] und y(x). Der Satz von Pythagoras hilft dann den Abstand zu berechnen.
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