Notwendig und hinreichend < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Di 15.04.2014 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
zunächst mal möchte ich mich mal bei allen bedanken, die hier im Forum mit großem Engagement tätig sind und für jegliche Fragen zur Verfügung stehen. Das ist nicht selbstverständlich und daher jedem, der hier seine Zeit für andere zur Verfügung stellt, gar nicht hoch genug anzurechnen.
Nun zu meiner Frage:
Bei der Berechnung von Extremstellen von f(x) ist f'(x) = 0 eine notwendige Bedingung - das ist klar.
"Notwendig" heißt für mich, dass diese Bedingung immer erfüllt sein muss, sonst gibt es keine Extrempunkte.
Eine hinreichende Bedingung für Extremstellen wäre
f'(x) = 0 und f''(x) <0 bzw. f'(x) = 0 und f''(x) > 0.
Den Begriff "hinreichend" verstehe ich so, dass die dargestellte Bedingung zwar ausreicht, um auf eine Extremstelle schließen zu können, aber umgekehrt aus der Existenz einer Extremstelle nicht zwangsläufig auf die hinreichende Bedingung zurückgeschlossen werden kann, da z.B. auch bei einem Hochpunkt f''(x) = 0 vorliegen könnte.
Die hinreichende Bedingung ist für mich aussagenlogisch eine Implikation.
Mir ist jetzt nicht klar, weshalb man bei der Bedingung:
f'(x) = 0 und existierender VZW von f'(x) beim Durchgang der betroffenen Stelle x auch von einer "hinreichenden Bedingung" spricht.
Hier liegt zwar auch eine Implikation vor, aber die Rückrichtung gilt doch auch. D.h. wenn an der Stelle x = a eine Extremstelle vorliegt, dann weiß ich auch, dass f'(a) = 0 ist und bei x = a die 1.Ableitung einen VZW besitzt.
Warum spricht man hier trotzdem von "hinreichender Bedingung" ?
Vielen Dank für eure Antworten !
Viele Grüße
Rubi
ICh habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Nun zu meiner Frage:
>
> Bei der Berechnung von Extremstellen von f(x) ist f'(x) = 0
> eine notwendige Bedingung - das ist klar.
> "Notwendig" heißt für mich, dass diese Bedingung immer
> erfüllt sein muss, sonst gibt es keine Extrempunkte.
Hallo,
ja.
Extremwert ==> f'(x)=0,
also ist f'(x)=0 notwendig für das Vorliegen eines Extremwertes.
A==>B,
B ist notwendig für A.
>
> Eine hinreichende Bedingung für Extremstellen wäre
> f'(x) = 0 und f''(x) <0 bzw. f'(x) = 0 und f''(x) > 0.
Ja.
(f'(x) = 0 und f''(x) [mm] \not= [/mm] 0) ==> Extremwert,
(f'(x) = 0 und f''(x) [mm] \not= [/mm] 0) ist hinreichend für das Vorleigen eines Extremwertes.
A==> B,
A ist hinreichend für B.
>
> Den Begriff "hinreichend" verstehe ich so, dass die
> dargestellte Bedingung zwar ausreicht, um auf eine
> Extremstelle schließen zu können, aber umgekehrt aus der
> Existenz einer Extremstelle nicht zwangsläufig auf die
> hinreichende Bedingung zurückgeschlossen werden kann, da
> z.B. auch bei einem Hochpunkt f''(x) = 0 vorliegen könnte.
> Die hinreichende Bedingung ist für mich aussagenlogisch
> eine Implikation.
Ja.
>
> Mir ist jetzt nicht klar, weshalb man bei der Bedingung:
> f'(x) = 0 und existierender VZW von f'(x) beim Durchgang
> der betroffenen Stelle x auch von einer "hinreichenden
> Bedingung" spricht.
> Hier liegt zwar auch eine Implikation vor,
Genau das ist der Grund.
(f'(x) = 0 und existierender VZW von f'(x)) ==> Extremwert,
also ist (f'(x) = 0 und existierender VZW von f'(x) ) hinreichend für die Existenz eines Extremwertes.
> aber die
> Rückrichtung gilt doch auch. D.h. wenn an der Stelle x = a
> eine Extremstelle vorliegt, dann weiß ich auch, dass f'(a)
> = 0 ist und bei x = a die 1.Ableitung einen VZW besitzt.
> Warum spricht man hier trotzdem von "hinreichender
> Bedingung" ?
Weil die Bedingung hinreichend ist,
und weil das Hinreichen dieser Bedingung der schultypische Grund für ihre Verwendung ist:
man untersucht die Funktion, stellt fest "f'(x)=0 und VZW" und folgert daraus, daß ein Extremwert vorliegt.
Daß die Bedingung auch notwendig ist, interessiert in dem Moment nicht so sehr - zumal man noch ein anderes Instrument in der Tasche hat, welches im Falle eines Falles zum Einsatz kommt:
(f'(x) = 0 und kein VZW von f'(x)) ==> Sattelpunkt.
Also:
"f'(x)=0 und VZW" ist (unter den üblichen Voraussetzungen) notwendig und hinreichend für die Existenz eines Extremwertes.
Bei der Untersuchung von Funktionen nutzt man das Hinreichen dieser Bedingung.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 Mi 16.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> Also:
> "f'(x)=0 und VZW" ist (unter den üblichen Voraussetzungen)
> notwendig und hinreichend für die Existenz eines
> Extremwertes.
Ich weiß nicht genau, was "die üblichen Voraussetzungen" sind.
Aber für beliebige differenzierbare Funktionen [mm] $f\colon\IR\to\IR$ [/mm] mit beliebiger Extremstelle [mm] $x\in\IR$ [/mm] muss $f'$ nicht notwendig einen Vorzeichenwechsel an der Stelle $x$ haben.
Beispiel:
[mm] $f\colon\IR\to\IR,\quad f(x)=\begin{cases}(x*\sin \frac{1}{x})^2,&\text{für }x\not=0\\ 0,\; \text{für }x=0\end{cases}$
[/mm]
Diese Funktion ist differenzierbar und sie hat an der Stelle $x=0$ ein lokales Minimum.
Ihre Ableitung hat jedoch in jeder Umgebung von $0$ von $0$ verschiedene Nullstellen und damit keinen Vorzeichenwechsel an der Stelle $x=0$.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
edit: Blödsinn geschrieben 
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Mi 16.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo rubi!
> Hier liegt zwar auch eine Implikation vor, aber die
> Rückrichtung gilt doch auch. D.h. wenn an der Stelle x = a
> eine Extremstelle vorliegt, dann weiß ich auch, dass f'(a)
> = 0 ist und bei x = a die 1.Ableitung einen VZW besitzt.
Nein, letzteres stimmt im Allgemeinen nicht.
Viele Grüße
Tobias
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