Notwendig und hinreichend < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Rudy |
Wir behandeln im Moment die Begriffe "notwendig" und "hinreichend".
A [mm] \Rightarrow [/mm] B
A ist hinreichend für B und B ist notwendig für A. Ich kann leider nur nicht verstehen, was mit dem Begriff etwas ist "hinreichend und notwendig". Vielleicht könnte mir jemand den Unterschied "hinreichend" und "hinreichend und notwendig" anhand eines Beispieles erklären?
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Rudy,
> A [mm]\Rightarrow[/mm] B
>
> A ist hinreichend für B und B ist notwendig für A. Ich kann
> leider nur nicht verstehen, was mit dem Begriff etwas ist
> "hinreichend und notwendig". Vielleicht könnte mir jemand
> den Unterschied "hinreichend" und "hinreichend und
> notwendig" anhand eines Beispieles erklären?
Ein Beispiel:
A: Es hat geregnet.
B: Die Straße ist nass.
A ist hinreichend für B. Das bedeutet, wenn ich weiß, dass es geregnet hat,
dann weiß ich auch, dass die Straße nass ist.
B ist notwendig für A. Wenn ich weiß, dass die Straße nass ist, weiß ich nicht ob es auch geregnet hat. (Zum Beispiel könnte mein Nachbar auch seinen Rasenspränger angestellt haben.) Aber ich weiß zumindest schon, dass ein notwendiges Kriterium für A erfüllt ist.
Das heißt wenn ich nämlich weiß, dass die Straße nicht nass ist, dann weiß ich auch, dass es nicht geregnet hat.
Vielleicht noch ein bekanntest Beispiel aus der Mathematik:
Sei f eine Funktion. Und [mm]x_0 \in D[/mm].
[mm]f'(x_0)=0[/mm] ist eine notwendige Bedingung für einen Extrempunkt.
Sie reicht aber noch nicht aus.
[mm]f'(x_0)=0 \wedge f''(x_0) \not=0[/mm] ist eine hinreichende Bedingung für einen Extrempunkt.
Hmm .... schon etwas klarer geworden? Das ist ein schwieriges Kapitel,
einfach noch mal nachfragen, wenn etwas unklar ist.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Rudy |
Danke Andi für deine Antwort.
Die Lösung, dass etwas entweder hinreichend oder notwendig ist, habe ich jetzt verstanden.
In unserem Buch wird aber noch die Lösung aufgeführt, dass etwas sowohl hinreichend als auch notwendig ist möglich sein kann. Gibt es da ein Beispiel, damit ich es besser verstehen kann? Vor allem, wir man es von etwas "nur" hinreichend trennt?
Vielen Danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Andi |
> Danke Andi für deine Antwort.
> Die Lösung, dass etwas entweder hinreichend oder notwendig
> ist, habe ich jetzt verstanden.
> In unserem Buch wird aber noch die Lösung aufgeführt, dass
> etwas sowohl hinreichend als auch notwendig ist möglich
> sein kann. Gibt es da ein Beispiel, damit ich es besser
> verstehen kann? Vor allem, wir man es von etwas "nur"
> hinreichend trennt?
Also wenn A hinreichend für B ist schreibt man: A[mm]\Rightarrow[/mm]B
wenn A notwendig für B ist schreibt man: B[mm]\Rightarrow[/mm]A
Wenn nun beides gilt, schreibt man: A[mm]\gdw[/mm]B
Das bedeutet die Aussagen A und B sind äquivalent.
Als Beispiel:
(puhh .... ich überleg schon 5 Minuten ...  )
(es ist gar nicht so einfach ein nichtmathematisches Beispiel zu finden)
(hmm ... ich gebs auf .... dann eben doch ein mathematisches)
Die Punkte A,B,C bilden ein Dreieck mit den Seiten a,b,c.
c sei die längste Seite.
A: Das Dreieck ist rechtwinklig.
B: [mm] a^2+b^2=c^2
[/mm]
Also A ist notwendig für B. Denn nur in einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Pythagoras.
A ist hinreichend für B. Denn wenn das Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt auch der Satz des Pythagoras.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Rudy |
Hi Andi,
vielen dank, dass du Dir so viel Zeit für mich nimmst.
Ist nicht B für A notwendig, da es ja auch noch andere Sätze im rechtwinkligen Dreieck gelten?
A ist für B hinreichend, weil es den Satz des Pythagoras NUR im rechtwinkligen Dreieck gibt?
Warum ist jetzt A hinreichend und notwendig für B?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Andi |
Hi Rudy,
> vielen dank, dass du Dir so viel Zeit für mich nimmst.
Kein Problem, das mache ich gerne.
> Ist nicht B für A notwendig, da es ja auch noch andere
> Sätze im rechtwinkligen Dreieck gelten?
Wegen der äquivalenz ist B für A notwendig, da hast du recht!
Aber A ist auch für B notwendig, denn wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist, dann gilt auch der Satz des Pythagoras nicht.
> A ist für B hinreichend, weil es den Satz des Pythagoras
> NUR im rechtwinkligen Dreieck gibt?
>
> Warum ist jetzt A hinreichend und notwendig für B?
Stelle dir mal vor A wäre nicht erfüllt. Das würde bedeuten unser Dreieck ist nicht rechtwinklig. Gilt dann B? Nein! B (der Satz des Pythagoras) gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.
Also nochmal:
Wenn A hinreichend und notwendig für B ist,
dann ist auch B hinreichend und notwendig für A.
Man sagt auch: A gilt genau dann, wenn B gilt.
Frage ruhig nochmal nach ..... dieses Gebiet und der Formalismus
ist nicht so einfach zu verstehen.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Rudy |
Hi,
ich glaub, so langsam blicke ich durch. Ich habe hier in meinem Buch eine Aufgabe, in der ich sagen soll, wie die Aussage B zu A steht.
A: a ist durch 2 und 3 teilbar
B: a ist durch 6 teilbar
Ist jetzt A äquivalent zu B, da jede Zahl, die durch 2 und 3 teilbar ist, auch durch 6 teilbar ist und alle Zahlen, die durch 6 teilbar sind, durch 2 und 3 teilbar sind.
Ist das Richtig?
Vielleicht kannst du mir ja noch ein paar andere Aufgaben geben, damit ich es verstehen kann?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mo 03.03.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
noch ein Beispiel:
Wenn eine Zahl auf ...35 endet, ist sie durch 5 teilbar.
Endziffern 35 sind hinreichend, aber nicht notwendig (andere Endziffern führen auch auf Teilbarkeit durch 5).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Rudy |
Hallo Abakus,
danke, dass du mir auch antwortest! Das ist super nett.
Dein Beispiel habe ich verstanden. Es könnte ja theoretisch auch durch 7 teilbar sein.
Ist denn "hinreichend und notwendig" in meinem Beitrag vorher richtig?
Edit: Wenn die Zahl auch durch 7 teilbar wäre, wäre es natürlich nur notwendig.....
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Rudy,
> Ist denn "hinreichend und notwendig" in meinem Beitrag
> vorher richtig?
hmm .... meinst du das Beispiel mit:
A: a ist teilbar durch 2 und 3
B: a ist teilbar durch 6
?
Da hattest du recht mit A[mm]\gdw[/mm]B.
Deine Argumentation war auch richtig.
A ist hinreichend und notwendig für B.
Viele Grüße,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Rudy |
Vielen Dank Andi und Abakus für die großartige Hilfe!
Das Beispiel habe ich auch gemeint. Ich denke mal, dass ich es verstanden habe!
Gruß
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