Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Do 16.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | [mm] (a_{n}) [/mm] sei eine Folge reeler oder komplexer Zahlen und s eine feste reelle oder komplexe Zahl, es gelte für alle n [mm] a_{n} \not= [/mm] -s.
Man beweise: Ist [mm] \bruch{a_{n}-s}{a_{n}+s} [/mm] eine Nullfolge, so konvergiert [mm] (a_{n}) [/mm] gegen s. |
Hallo!
Wenn [mm] \bruch{a_{n}-s}{a_{n}+s} [/mm] eine Nullfolge sein soll, heißt das ja, dass der Zähler in jedem Fall kleiner sein muss, als der Nenner. Also der ganze Bruch konvergiert gegen 0. Nur wie beweise ich das nun? Vorallem, wie beweise ich, das [mm] a_{n} [/mm] gegen s konvergiert?
Liebe Grüße :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Do 16.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm](a_{n})[/mm] sei eine Folge reeler oder komplexer Zahlen und s
> eine feste reelle oder komplexe Zahl, es gelte für alle n
> [mm]a_{n} \not=[/mm] -s.
> Man beweise: Ist [mm]\bruch{a_{n}-s}{a_{n}+s}[/mm] eine Nullfolge,
> so konvergiert [mm](a_{n})[/mm] gegen s.
> Hallo!
>
> Wenn [mm]\bruch{a_{n}-s}{a_{n}+s}[/mm] eine Nullfolge sein soll,
> heißt das ja, dass der Zähler in jedem Fall kleiner sein
> muss, als der Nenner. Also der ganze Bruch konvergiert
> gegen 0. Nur wie beweise ich das nun? Vorallem, wie beweise
> ich, das [mm]a_{n}[/mm] gegen s konvergiert?
>
> Liebe Grüße :)
>
Setze [mm] b_n [/mm] = [mm] \bruch{a_{n}-s}{a_{n}+s}
[/mm]
Nach Vor. ist [mm] (b_n) [/mm] eine Nullfolge.
[mm] (a_n) [/mm] ist beschränkt, denn wäre dies nicht der Fall, so gäbe es eine Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] mit [mm] \bruch{1}{a_{n_k}} \to [/mm] 0,
dann würde aber folgen: [mm] b_{n_k} [/mm] = [mm] \bruch{1-s/a_{n_k}}{1+s/a_{n_k}} \to [/mm] 1
Das ist ein Widerspruch, denn auch die Teilfolge [mm] (b_{n_k}) [/mm] ist eine Nullfolge.
[mm] (a_n) [/mm] ist also beschränkt, es gibt also ein c mit [mm] |a_n| \le [/mm] c für jedes n
Setze [mm] \alpha [/mm] = c+|s|.
Sei nun [mm] \epsilon [/mm] >0. Dann ex ein [mm] n_0 [/mm] in [mm] \IN [/mm] mit [mm] |b_n|< \epsilon/\alpha [/mm] für n> [mm] n_0
[/mm]
Somit gilt für n> [mm] n_0:
[/mm]
[mm] |a_n-s| [/mm] < [mm] (\epsilon/\alpha) |a_n+s| \le (\epsilon/\alpha) (|a_n|+|s|) \le [/mm]
[mm] (\epsilon/\alpha) [/mm] (c+|s|) = [mm] \epsilon.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Do 16.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
öhm, tut mir leid, ich kann aber mit deiner Antwort nicht allzuviel anfangen, da ich sie leider nich verstehe :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Do 16.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> öhm, tut mir leid, ich kann aber mit deiner Antwort nicht
> allzuviel anfangen, da ich sie leider nich verstehe :(
Was verstehst Du nicht ?
Du mußt doch zeigen: zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit:
[mm] |a_n-s| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für jedes n [mm] \ge n_0
[/mm]
Genau das habe ich Dir vorgemacht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Do 16.10.2008 | | Autor: | SaMoT |
Ich verstehe den Lösungsansatz leider auch nicht 100%ig. 3 Dinge verwirren mich einwenig ... Und zwar:
1) wie ich das verstanden habe, ist c obere Schranke, aber warum setzt du a = c + s?
2) wie kommt man auf das $ [mm] |b_n|< \epsilon/\alpha [/mm] $, vor allem warum teilst du durch a
3) woher kommt das |an + s| bei $ [mm] |a_n-s| [/mm] $ < $ [mm] (\epsilon/\alpha) |a_n+s| [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Do 16.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
um den Beweis zu verstehen muss man erst mal feststellen, was man beweisen will!
[mm] |a_n-s|,\epsilon [/mm] ab [mm] n>N_0(\epsilon) [/mm] fuer bel [mm] \epsilon
[/mm]
dann was man weiss [mm] |\bruch{a_n-s}{an+s}|<\epsilon_1 [/mm] fuer
[mm] n>N_0(\epsilon_1)
[/mm]
das formt man um : [mm] |a_n-s|<\epsilon_1*|a_n+s|
[/mm]
jetzt benutzt man, dass [mm] |a_n| [/mm] beschraenkt ist, die Schranke hat fred c genannt.
also ist [mm] |a_n+s|<|a_n|+|s|
damit hat man [mm] |a_n-s|<\epsilon_1*(c+|s|)
[/mm]
da man [mm] \epsilon_1 [/mm] beliebig hat kann man sagen
[mm] \epsilon_1*(c+|s|)=\epsilon
[/mm]
dadurch sieht man vielleicht besser wie man auf das epsilon/((c+|s|) kommt
Der Trick, ein epsilon "anzupassen" also geschickt zu waehlen kommt bei Konvergenzbeweisen immer wieder vor.
Man kann gleich das richtige "raten" oder wie ich erst ein vorlaeufiges nehmen und am ende anpassen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Do 16.10.2008 | | Autor: | kaktus |
das habe ich nun einigermaßen verstanden aber mir sagt diese Zeile nichts:
$ [mm] |a_n-s|,\epsilon [/mm] $ ab $ [mm] n>N_0(\epsilon) [/mm] $ fuer bel $ [mm] \epsilon [/mm] $
was soll das ab darin? und warum ,$ [mm] \epsilon [/mm] $ ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Do 16.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> das habe ich nun einigermaßen verstanden aber mir sagt
> diese Zeile nichts:
>
> [mm]|a_n-s|,\epsilon[/mm] ab [mm]n>N_0(\epsilon)[/mm] fuer bel [mm]\epsilon[/mm]
das , liegt bei mir auf derselben Taste wie das < deshalb der TippFehler. richtig also
[mm]|a_n-s|<\epsilon[/mm] ab heisst fuer alle [mm] n>N_0
[/mm]
also ab [mm] n=N_0
[/mm]
>
> was soll das ab darin? und warum ,[mm] \epsilon[/mm] ?
>
Gruss leduart.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Fr 17.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Hier ein etwas einfacherer Beweis:
Wie in meiner ersten Antwort zeigt man: [mm] (a_n) [/mm] ist beschränkt. [mm] (b_n) [/mm] und [mm] \alpha [/mm] seien ebenfalls wie in meiner ersten Antwort.
Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ist dann:
[mm] |a_n-s| [/mm] = [mm] \bruch{|a_n-s|}{|a_n+s|}|a_n+s| \le |b_n|(|a_n|+|s|) \le \alpha|b_n|.
[/mm]
Da [mm] (b_n) [/mm] eine Nullfolge ist, folgt die Konvergenz von [mm] (a_n) [/mm] gegen s.
FRED
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