Nullfolge nachweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Fr 30.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Jeder Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] kann auf folgende Weise eine Folge (bn)
zugeordnet werden:
[mm] $b_n:=\bruch{a_1+...+a_n}{n}$ [/mm] für n=1,2,...
(a) Ist (an) eine Nullfolge, so gilt dies auch füur (bn)
(b) Ist (bn) eine Nullfolge, so gilt dies auch für (an) |
Mir erscheint die Behauptung a) richtig, daher möchte ich sie beweisen.
Zunächst ist die Addition der Folgenglieder von [mm] a_n [/mm] doch eine Reihe:
[mm] $b_n:=\bruch{\summe_{k=1}^{n}a_k}{n}$ [/mm] = [mm] $b_n:=\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n}a_k$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0$ [/mm] Also ist auch [mm] $b_n$ [/mm] eine Nullfolge.
Vermutlich muss ich aber erst noch nachweisen, dass die Reihe langsamer wächst, als der Bruch kleiner wird?
zu der b) Hier habe ich ein Gegenbeispiel angegeben mit der alternierenden Folge [mm] $a_n=(-1)^n$. [/mm] Somit ergibt sich eine Teilfolge [mm] $a_n_k$, [/mm] mit Häufungspunkt -1 und eine mit Häufungspunkt 1. Die einzelnen Folgenglieder für [mm] $b_n$ [/mm] ergeben sich somit: [mm] $b_1=\bruch{-1}{1},b_2=\bruch{0}{2},b_3=\bruch{-1}{3}...$Die [/mm] Teilfolge [mm] b_n_k_n [/mm] mit der 0 im Zähler ist Null. Die Teilfolge [mm] b_n_k_m [/mm] mit der -1 im Zähler konvergiert gegen 0. In der Vorlesung wurde bewiesen, dass 1/n mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] gegen 0 konvergiert, somit konvergiert auch diese Teilfolge gegen 0. Da beide Teilfolgen gegen 0 konvergieren, konvergiert auch [mm] $b_n$ [/mm] gegen 0. Also ist [mm] b_n [/mm] eine Nullfolge, [mm] a_n [/mm] allerdings nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Fr 30.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Jeder Folge [mm](a_n)[/mm] kann auf folgende Weise eine Folge (bn)
> zugeordnet werden:
>
> [mm]b_n:=\bruch{a_1+...+a_n}{n}[/mm] für n=1,2,...
>
> (a) Ist (an) eine Nullfolge, so gilt dies auch füur (bn)
> (b) Ist (bn) eine Nullfolge, so gilt dies auch für (an)
>
>
> Mir erscheint die Behauptung a) richtig, daher möchte ich
> sie beweisen.
>
> Zunächst ist die Addition der Folgenglieder von [mm]a_n[/mm] doch
> eine Reihe:
>
>
> [mm]b_n:=\bruch{\summe_{k=1}^{n}a_k}{n}[/mm] =
> [mm]b_n:=\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n}a_k[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0[/mm] Also ist auch [mm]b_n[/mm]
> eine Nullfolge.
>
> Vermutlich muss ich aber erst noch nachweisen, dass die
> Reihe langsamer wächst, als der Bruch kleiner wird?
Ja, da gibts noch viel zu tun. Google mal "Cauchyscher Grenzwertsatz"
>
> zu der b) Hier habe ich ein Gegenbeispiel angegeben mit der
> alternierenden Folge [mm]a_n=(-1)^n[/mm]. Somit ergibt sich eine
> Teilfolge [mm]a_n_k[/mm], mit Häufungspunkt -1 und eine mit
> Häufungspunkt 1. Die einzelnen Folgenglieder für [mm]b_n[/mm]
> ergeben sich somit:
> [mm]b_1=\bruch{-1}{1},b_2=\bruch{0}{2},b_3=\bruch{-1}{3}...[/mm]Die
> Teilfolge [mm]b_n_k_n[/mm] mit der 0 im Zähler ist Null. Die
> Teilfolge [mm]b_n_k_m[/mm] mit der -1 im Zähler konvergiert gegen
> 0. In der Vorlesung wurde bewiesen, dass 1/n mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] gegen 0 konvergiert, somit
> konvergiert auch diese Teilfolge gegen 0. Da beide
> Teilfolgen gegen 0 konvergieren, konvergiert auch [mm]b_n[/mm] gegen
> 0. Also ist [mm]b_n[/mm] eine Nullfolge, [mm]a_n[/mm] allerdings nicht.
Dein Idee ist richtig. Einfacher gehts so: zeige
[mm] |b_n| \le [/mm] 1/n für jedes n.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Fr 30.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Den Cauchyschen Grenzwertsatz kann ich doch als bewiesen hinnehmen. Wenn ich also annehme, dass in meinem Fall [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist, und ich es auf die Form des Satzes gebracht habe, dann kann ich doch sagen, dass auch [mm] b_n [/mm] gegen 0 strebt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Fr 30.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
den C. GWsatz sollst du hier fuer den spezialfall a=0 beweisen, es sei denn ihr habt ihn in der vorlesung bewiesen, dann wuerde ich den Beweis speziell fuer a=0 vorfuehren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Do 05.01.2012 | | Autor: | triad |
hallo,
ich habe die selbe Aufgabenstellung und wir haben den Cauchyschen Grenzwertsatz in keiner Weise in der Vorlesung behandelt. Wie würde der Beweis ohne diesen Satz aussehen? Geht das überhaupt?
gruß triad
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Hallo triad und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
manchmal taucht der Cauchysche Grenzwertsatz auch unter dem Namen Konvergenz des arithmetischen Mittels einer Folge auf. Hattet ihr sinngemäß einen Satz, der so lautete?
Sonst musst du genau das tun, was leduart weiter oben schon geraten hat, nämlich am besten den Satz für Nullfolgen beweisen.
Wenn [mm] a_n [/mm] Nullfolge ist, so gibt es sicherlich ein [mm] n_0, [/mm] so dass für alle [mm] n>n_0
[/mm]
[mm] |a_n|<\bruch{\epsilon}{2} [/mm] (*)
gilt (Beachte den Trick mit der Hälfte).
Untersuche nun die Folge [mm] b_n [/mm] daraufhin, ob sie auch Nullfolge ist. Versuche also
[mm] |b_n|<\epsilon
[/mm]
für [mm] n>n_0 [/mm] unter Verwendung von (*) zu zeigen. Dazu braucht es zwei, drei Abschätzungen nach oben, auf die man aber zugegebener Maßen kommen muss. Magst du es mal selbst versuchen?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 So 08.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> [mm]|a_n|<\bruch{\epsilon}{2}[/mm] (*)
>
> gilt (Beachte den Trick mit der Hälfte).
dieser "Trick" hat meines Erachtens immer eine Überbewertung: Man macht es nur deshalb, dass man am Ende etwa sowas wie
$$|...| < [mm] \epsilon$$
[/mm]
für alle genügend großen [mm] $n\,$ [/mm] sagen kann. Das ist aber wurscht: Ob da am Ende $|...| < [mm] \epsilon$ [/mm] oder $|...| < [mm] K*\epsilon$ [/mm] ($K > [mm] 0\,$ [/mm] "unabhängige" Konstante) steht, ist eigentlich egal. (Unser Prof. hat uns schon im ersten Semester darauf hingewiesen, und wenn man will, kann man diese Aussage auch als Übungsaufgabe formulieren, was ich gar nicht so schlecht finde: Denn wenn man zeigt, dass eine $< [mm] \epsilon$-Aufgabe [/mm] äquivalent zu einer $< [mm] K*\epsilon$-Aufgabe [/mm] ist, dann sieht man im Beweis der Richtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] genau das Vorgehen, welches man vornimmt, wenn man in einem Beweis diese [mm] $\epsilon/2$-, $\epsilon/3$- [/mm] ... Abschätzungen hinschreibt - vor allem erkennt man aber, wieso die Leute in der mathematischen Literatur etwa plötzlich [mm] $\epsilon/3$-Abschätzungen [/mm] vornehmen. Also: "Wo das eigentlich herkommt!")
Ohne obigen [mm] "$(\epsilon/2)$-Trick" [/mm] würde man halt am Ende etwa
[mm] $$|b_n| [/mm] < [mm] 2*\epsilon$$ [/mm]
für alle genügend großen [mm] $n\,$ [/mm] erhalten. Das Ende des Beweises wäre nur nicht mehr formal so schön, aber "eigentlich" ist man dann an der Stelle auch fertig.
Gruß,
Marcel
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Hey, ich muss die Aufgabe ebenfalls lösen.. kannst du deshalb die Abschätzung ein wenig näher erläutern? Blicke da noch nicht ganz durch ;)
Gruß Klabatter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 So 08.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey, ich muss die Aufgabe ebenfalls lösen.. kannst du
> deshalb die Abschätzung ein wenig näher erläutern?
> Blicke da noch nicht ganz durch ;)
> Gruß Klabatter
gelte [mm] $a_n \to [/mm] 0$ und sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest. Dann gibt es ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] so, dass [mm] $|a_n| \le \epsilon/2$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Für $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt dann
[mm] $$b_n=\underbrace{\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^N a_k\right)}_{=:S_1(n)}+\underbrace{\frac{1}{n}\left(\sum_{\ell=N+1}^n a_\ell\right)}_{=:S_2(n)}\,.$$
[/mm]
Klar:
[mm] $$|b_n| \le |S_1(n)|+|S_2(n)|\,.$$
[/mm]
Begründe etwa: [mm] $|S_1(n)| \to 0\;\;\;(n \to \infty)$ [/mm] (beachte: [mm] $N\,$ [/mm] ist FEST und unabhängig von [mm] $n\,$ [/mm] (aber natürlich gilt [mm] $N=N_\epsilon\,,$ [/mm] aber oben ist [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber FEST)!) und wende nun die allgemeine Dreiecksungleichung an, um einzusehen, dass
[mm] $$|S_2(n)| \le \epsilon/2$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ ist. Dabei benutze die obenstehende Voraussetzung [mm] $|a_n| \le \epsilon/2$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Folgere damit:
[mm] $|S_1(n)| \le \epsilon/2$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_1\,,$ [/mm] wobei Du o.E. [mm] $N_1 \ge N=N_\epsilon$ [/mm] annehmen kannst. Welche Abschätzung folgt dann für [mm] $|b_n|$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_1$?
[/mm]
Fazit: Wir haben somit [mm] $a_n \to [/mm] 0 [mm] \Rightarrow b_n \to [/mm] 0$ (jeweils bei $n [mm] \to \infty$) [/mm] bewiesen.
Gruß,
Marcel
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Erstmal danke für deine Hilfe und bis Begründe etwa: $ [mm] |S_1(n)| \to 0\;\;\;(n \to \infty) [/mm] $ ... ist mir auch alles klar ;)
Aber dann stockt es bei mir noch.
Mir ist zwar klar, dass $ [mm] |S_1(n)| \to 0\;\;\;(n \to \infty) [/mm] $ so sein muss, weil s1(n) gegen einen Wert konvergiert, weil (ak) eine Nullfolge ist und dadurch nur sehr langsam wächst und 1/n dagegen viel schneller sehr klein wird weshalb es eine Nullfolge sein muss, aber wie schreibe ich das mathematisch korrekt auf, damit ich später auf $ [mm] |S_1(n)| \le \epsilon/2 [/mm] $ für alle n>N komme?
Danke, Klabatter ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 So 08.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du hast N fest so gewählt, dass [mm] a_n<\epsilon/2 [/mm] ist für alle n>N
damit hat [mm] \summe_{i=1}^{N} [/mm] einen FESTEN Wert , nenn ihn w
dein [mm] S_1(n)=w/n
[/mm]
jetzt kannst du N1 so wählen dass [mm] w/n<\epsilon/2 [/mm] für alle n≥ge [mm] N_1
[/mm]
wenn du jetzt [mm] N_2=(max(N,N_1) [/mm] wählst sind beide ausdrücke < [mm] \epsilon/2
[/mm]
du musst (und kannst) kein N oder [mm] N_1 [/mm] expllizit angeben, aber du weisst, dass sie existieren!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 So 08.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo leduart,
> Hallo
> 1. du hast N fest so gewählt, dass [mm]a_n<\epsilon/2[/mm] ist
> für alle n>N
bitte präziser [mm] $|a_n|\,$ [/mm] schreiben.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 So 08.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Klabatterman,
Leduart hat ja schon alles geschrieben. Ich will aber nochmal explizit auf eine Stelle hinweisen:
> Erstmal danke für deine Hilfe und bis Begründe etwa:
> [mm]|S_1(n)| \to 0\;\;\;(n \to \infty)[/mm] ... ist mir auch alles
> klar ;)
> Aber dann stockt es bei mir noch.
> Mir ist zwar klar, dass [mm]|S_1(n)| \to 0\;\;\;(n \to \infty)[/mm]
> so sein muss, weil s1(n) gegen einen Wert konvergiert, weil
> (ak) eine Nullfolge ist
hier brauchst Du keine Nullfolgeneigenschaft. Das [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] ist FEST und insbesondere NICHT von [mm] $n\,$ [/mm] abhängig, daher wird stets
[mm] $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^N a_k \to [/mm] 0$$
[mm] $\text{(}$und [/mm] damit auch
[mm] $$\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^N a_k\right| \to 0\text{)}$$
[/mm]
gelten - und zwar bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] (nochmal: [mm] $N\,$ [/mm] ist unabhängig von [mm] $n\,.$ [/mm] D.h. die dortstehende Summe besteht immer aus den gleichen Summanden, auch, wenn das [mm] $n\,$ [/mm] immer größer wird!).
Du scheinst irgendwie [mm] $N=N_n$ [/mm] anzunehmen, aber dem ist nicht so: Es ist [mm] $N=N_\epsilon\,,$ [/mm] und wichtig: Es ist eben NICHT auch [mm] $N=N_n\,.$
[/mm]
Ein bisschen beispielhaft:
Wäre etwa zu [mm] $\epsilon=1/2 [/mm] > [mm] 0\$ [/mm] das [mm] $N=10^6$ [/mm] dann geeignet (bzgl. [mm] $a_\ell \to [/mm] 0$ bei [mm] $\ell \to \infty$), [/mm] dann gilt
[mm] $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N=10^6} a_k \to [/mm] 0$$
immer noch bei $n [mm] \to \infty$. [/mm] Falls Dir das zu kompliziert erscheint: Nimm' halt an, dass schon [mm] $N=4\,$ [/mm] geeignet wäre. Dann folgt doch
[mm] $$\frac{1}{n}(a_1+a_2+a_3+a_4) \to [/mm] 0$$
bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Okay danke jetzt hab ich es verstanden :)
Schönen Sonntag Abend noch.
Gruß Klabatter
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