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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:41 Mo 29.05.2006 | | Autor: | kuminitu |
| Aufgabe | Sind diese folgen Nullfolgen?
1) [mm] \wurzel{n+1}- \wurzel{n}
[/mm]
2) [mm] \wurzel{(n+a)(n+b)}- \wurzel{n} [/mm] , für a,b [mm] \ge [/mm] 0 fest
3)
Es sei r > 0 und [mm] (a_{n}) [/mm] eine Nullfolge mit positiven Gliedern. Zeigen Sie, dass dann auch die durch [mm] b_{n} [/mm] := [mm] a_{n}^{r}
[/mm]
gegebene Folge [mm] (b_{n}) [/mm] eine Nullfolge ist. |
Hallo,
Ich weiss leider nicht genau, wie ich diese Aussagen beweisen kann. Bei Aufgabe 1) würde ich einfach argumentieren, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n+1}- \wurzel{n} [/mm] = 0 ist, da der Summand 1 in der ersten Wurzel für große n eigentlich völlig egal ist. Aber ich weiss grad nicht wie ich das formal aufschreiben sollte.
Bei 2) kommt nach meiner Rechnung der Grenzwert [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] raus, damit dürfte es ja keine Nullfolge sein.
3)
Kann ich mir bei dieser Aufgabe einfach eine Nullfolge definieren?
Wenn ich mir jetzt [mm] \bruch{1}{x} [/mm] nehme, weiss ich ja, dass es eine nullfolge ist. Wenn ich diese jetzt potenziere, so gilt ja [mm] \bruch{1}{x}>\bruch{1}{x^2}>\bruch{1}{x^3} [/mm] usw.
und somit wäre [mm] \bruch{1}{x} [/mm] eine Majorante und somit sind die anderen Folgen auch Nullfolgen.
Funktioniert dass so???
Hoffe ich hab wenigstens ein paar richtige ansätze, wenn nicht helft mir bitte.
MFG
Kuminitu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kuminitu!
Aufgabe 1:
Stichwort "3. binomische Formel": Erweitere den Ausdruck mit [mm] $\left( \ \wurzel{n+1} \ \red{+} \ \wurzel{n} \ \right)$ [/mm] und klammere anschließend den Term $n \ = \ [mm] \wurzel{n^2}$ [/mm] aus und kürze.
Aufgabe 2:
Vorgehensweise analog zu Aufgabe 1. Ich erhalte als "Grenzwert" allerdings $+ \ [mm] \infty$ [/mm] .
Aufgabe 3:
Verwende hier die Definition der Konvergenz: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ a$ [mm] $\Rightarrow$ $\left| \ a_n-a \ \right| [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$
[/mm]
Hier also: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ $\left| \ a_n-0 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ a_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] a_n [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$
[/mm]
Analog für die Folge [mm] $b_n [/mm] \ := \ [mm] a_n^r$ [/mm] :
[mm] $\left| \ b_n-0 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ a_n^r \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ a_n \ \right|^r [/mm] \ ...$
Nun also ein passendes [mm] $\varepsilon'$ [/mm] für [mm] $a_n$ [/mm] definieren/wählen.
Gruß
Loddar
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