Nullforschung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 So 10.01.2016 | | Autor: | Eselsohr |
| Aufgabe | | Finden Sie eine algebraische Gruppe, bei der durch das neutrale Element der Addition dividiert wird. |
Hallöchen,
ich wollte doch mal fragen, ob es eine algebraische Struktur gibt,
in der durch das neutrale Element der Addition dividiert wird. Ich zerbreche mir schon seit Tagen darüber den Kopf, habe aber leider noch keine gefunden. Hat jemand eine Idee?
Dass es eine gibt ist eigentlich klar, nämlich überabzählbar unendlich ist ja bereits ein Nulltel.
Viele Grüße,
Detlev N.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 So 10.01.2016 | | Autor: | felixf |
Moin!
Dass du als Professor der Mathematik solche Übungsaufgaben bekommst? Sonderbar, sehr sonderbar.
> Finden Sie eine algebraische Gruppe,
Du meinst schon ![[]](/images/popup.gif) sowas und nicht irgendwelche Gruppen, oder?
> bei der durch das
> neutrale Element der Addition dividiert wird.
Was genau meinst du damit? Willst du zusätzlich eine multiplikative Struktur auf dieser Gruppe, bei der durch das neutrale Element der Addition invertierbar ist? Soll diese multiplikative Struktur mit der additiven irgendwie kompatibel sein (und das Ergebnis z.B. ein Ring)? Und soll die multiplikative Struktur ebenfalls algebraisch sein, oder nicht?
> Hallöchen,
> ich wollte doch mal fragen, ob es eine algebraische
> Struktur gibt,
> in der durch das neutrale Element der Addition dividiert
> wird. Ich zerbreche mir schon seit Tagen darüber den Kopf,
> habe aber leider noch keine gefunden. Hat jemand eine
> Idee?
> Dass es eine gibt ist eigentlich klar, nämlich
> überabzählbar unendlich ist ja bereits ein Nulltel.
In welcher Struktur sollte das so sein? Kannst du die bitte genauer angeben? Mir ist keine solche mit "überabzählbar" und "ein Nulltel" bekannt.
Wonach du vielleicht ausschau halten solltest: eine sehr, sehr kleine Gruppe. Die kleinste die du kennst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 11.01.2016 | | Autor: | Eselsohr |
Hallo,
erst einmal vielen Dank für die Antwort.
Es ist an sich keine Übungsaufgabe, sondern eine Grundlage eines gemeinsamen Forschungsprojektes in der Nullforschung. Da ich bislang überwiegend in der Statistik gearbeitet habe, bin ich gerade dabei mich noch mal tiefgehend mit der abstrakten Algebra, insbesondere der Division durch 0, zu beschäftigen. Ich bin das erste, besser gesagt heute das zweite mal, in einem Internetforum unterwegs und war mir nicht bewusst, dass ich es so als Übungsaufgabe darstelle.
Es geht schon um algebraische Gruppen, wobei nicht-triviale beliebige Gruppen bei denen das neutrale Element der Addition invertierbar ist auch schon weiterhelfen würden. Ob die additive Gruppe auch algebraisch ist ist eigentlich gleichgültig, hauptsache die multiplikative Gruppe in der 0 auch ein Inverses haben soll. Die Gruppe soll (wie du ja auch erwartet hast) mit der Addition kompartibel sein (wozu sonst auch das neutrale Element der Addition) und nach Möglichkeit auch ein Ring.
Mit überabzählbar habe ich vielleicht unpräzise ausgedrückt. Ich meinte, dass es schon Beispiele gibt, wo der Wert [mm] \bruch{1}{0} [/mm] existiert, zum Beispiel die Kardinalität von überabzählbaren Mengen ist [mm] \bruch{1}{0}. [/mm] Während abzählbar unendliche Mengen nur die Kardinalität [mm] \infty [/mm] haben.
Den Link von impliziteFunktion werde ich mir auch noch anschauen, das geht schon sehr in die Richtung wie ich es gemeint habe.
Viele Grüße,
Detlev
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Mo 11.01.2016 | | Autor: | felixf |
Moin Detlev!
> Es ist an sich keine Übungsaufgabe, sondern eine Grundlage
> eines gemeinsamen Forschungsprojektes in der Nullforschung.
Eine Frage dazu: was verstehst du unter Nullforschung?
> Da ich bislang überwiegend in der Statistik gearbeitet
> habe, bin ich gerade dabei mich noch mal tiefgehend mit der
> abstrakten Algebra, insbesondere der Division durch 0, zu
> beschäftigen. Ich bin das erste, besser gesagt heute das
> zweite mal, in einem Internetforum unterwegs und war mir
> nicht bewusst, dass ich es so als Übungsaufgabe
> darstelle.
Die Fragestellung "Finden Sie eine algebraische Gruppe, bei der durch das neutrale Element der Addition dividiert wird." hört sich halt nach einer klassischen Übungsaufgabe an :)
> Es geht schon um algebraische Gruppen, wobei nicht-triviale
> beliebige Gruppen bei denen das neutrale Element der
> Addition invertierbar ist auch schon weiterhelfen würden.
> Ob die additive Gruppe auch algebraisch ist ist eigentlich
> gleichgültig, hauptsache die multiplikative Gruppe in der
> 0 auch ein Inverses haben soll. Die Gruppe soll (wie du ja
> auch erwartet hast) mit der Addition kompartibel sein (wozu
> sonst auch das neutrale Element der Addition) und nach
> Möglichkeit auch ein Ring.
Nehmen wir folgendes an:
* Wir haben eine Menge $G$ mit einer Verknüpfung $+$ auf $G$, so dass $(G, +)$ irgendeine (nicht notwendigerweise kommutative) Gruppe ist;
* Wir haben eine weitere Verknüpfung [mm] $\cdot$ [/mm] auf $G$;
* [mm] $\cdot$ [/mm] ist (links- oder rechts-)distributiv über $+$;
* [mm] $\cdot$ [/mm] ist assoziativ;
* es gibt eine 1, also $1 [mm] \cdot [/mm] x = x = x [mm] \cdot [/mm] 1$ für alle $x [mm] \in [/mm] G$.
Ein Ring mit Eins erfüllt diese Bedingungen; insb. ist $+$ dann kommutativ.
Dann gilt für alle $x [mm] \in [/mm] G$ folgendes:
1) $x [mm] \cdot [/mm] 0 = x [mm] \cdot [/mm] (0 + 0) = (x [mm] \cdot [/mm] 0) + (x [mm] \cdot [/mm] 0)$; wenn man auf beiden Seiten das additiv Inverse von $x [mm] \cdot [/mm] 0$ addiert, bekommt man $x [mm] \cdot [/mm] 0 = 0$.
Nun nehmen wir an, dass $0$ invertierbar ist, es also ein Element $b [mm] \in [/mm] G$ gibt mit $0 [mm] \cdot [/mm] b = 1$.
2) Damit folgt dann $x = x [mm] \cdot [/mm] 1 = x [mm] \cdot [/mm] (0 [mm] \cdot [/mm] b) = (x [mm] \cdot [/mm] 0) [mm] \cdot [/mm] b = 0 [mm] \cdot [/mm] b = 0$.
(Wenn wir die andere Distributivität haben, zeigen wir $0 [mm] \cdot [/mm] x = 0$ und damit $x = 1 [mm] \cdot [/mm] x = ... = 0$.)
Daraus folgt $G = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] und insb. $0 = 1$.
Also: sobald es ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation gibt, haben wir den Nullring.
Man muss also eine der anderen Bedingungen weglassen. Wenn man z.B. die Existenz der 0 weglässt, kann man [mm] $2\IZ [/mm] / [mm] 4\IZ [/mm] = [mm] \{ 0 + 4\IZ, 2 + 4\IZ \} [/mm] =: [mm] \{ 0, a \}$ [/mm] anschauen. Hier gilt $0 [mm] \cdot [/mm] 0 = 0 [mm] \cdot [/mm] a = a [mm] \cdot [/mm] 0 = a [mm] \cdot [/mm] a = 0$. Man kann also durch 0 "teilen", und bekommt beide Elemente als Lösung (die Lösung ist insb. nicht eindeutig). Ist schonmal nicht sehr schön, aber erfüllt die Bedingungen. (Ein solcher Ring wird manchmal auch als trivialer Ring bezeichnet: die Multiplikation ist trivial, das Produkt von je zwei Elementen ist gleich 0.)
Alternativ kann man noch die Assoziativität von [mm] $\cdot$ [/mm] weglassen und hoffen, dass man etwas interessantes findet.
> Mit überabzählbar habe ich vielleicht unpräzise
> ausgedrückt. Ich meinte, dass es schon Beispiele gibt, wo
> der Wert [mm]\bruch{1}{0}[/mm] existiert, zum Beispiel die
> Kardinalität von überabzählbaren Mengen ist
> [mm]\bruch{1}{0}.[/mm] Während abzählbar unendliche Mengen nur die
> Kardinalität [mm]\infty[/mm] haben.
In welchem Formalismus ist [mm] $\frac{1}{0}$ [/mm] die Kardinalität von überabzählbaren Mengen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:44 Di 12.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Moin Detlev!
>
> > Es ist an sich keine Übungsaufgabe, sondern eine Grundlage
> > eines gemeinsamen Forschungsprojektes in der Nullforschung.
>
> Eine Frage dazu: was verstehst du unter Nullforschung?
Hallo Felix:
[mm] http://www.gmdf.de/FORSCHEN/LABORS_O/LABS_OSEBERG/OSEB_ALLGEMNULL.html
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Di 12.01.2016 | | Autor: | Eselsohr |
Hallo Felix,
> Eine Frage dazu: was verstehst du unter Nullforschung?
Witzig, dass es diesen Begriff auch im anderen Zusammenhang gibt (siehe Link von Fred). Ich verstehe darunter ein Teilgebiet der abstrakten Algebra und Zahlenthorie, das sich auf die Forschung an der Zahl 0, insbesondere der Division durch 0, spezialisiert hat. Einfach formuliert ist das Ziel der Nullforschung, das Problem der Division durch 0 möglichst gut zu lösen, in der Struktur also auf möglichst wenige Eigenschaften verzichten zu müssen. Unser aktuelles Projekt konzentriert sich eben auf algebraische Gruppen, wobei die additive und multiplikative Gruppe natürlich verträglich sein müssen. Ich hoffe, du kannst dir so etwas darunter vorstellen!
> Nehmen wir folgendes an:
>
> * Wir haben eine Menge [mm]G[/mm] mit einer Verknüpfung [mm]+[/mm] auf [mm]G[/mm], so
> dass [mm](G, +)[/mm] irgendeine (nicht notwendigerweise kommutative)
> Gruppe ist;
> * Wir haben eine weitere Verknüpfung [mm]\cdot[/mm] auf [mm]G[/mm];
> * [mm]\cdot[/mm] ist (links- oder rechts-)distributiv über [mm]+[/mm];
> * [mm]\cdot[/mm] ist assoziativ;
> * es gibt eine 1, also [mm]1 \cdot x = x = x \cdot 1[/mm] für
> alle [mm]x \in G[/mm].
>
> Ein Ring mit Eins erfüllt diese Bedingungen; insb. ist [mm]+[/mm]
> dann kommutativ.
>
> Dann gilt für alle [mm]x \in G[/mm] folgendes:
>
> 1) [mm]x \cdot 0 = x \cdot (0 + 0) = (x \cdot 0) + (x \cdot 0)[/mm];
> wenn man auf beiden Seiten das additiv Inverse von [mm]x \cdot 0[/mm]
> addiert, bekommt man [mm]x \cdot 0 = 0[/mm].
>
> Nun nehmen wir an, dass [mm]0[/mm] invertierbar ist, es also ein
> Element [mm]b \in G[/mm] gibt mit [mm]0 \cdot b = 1[/mm].
>
> 2) Damit folgt dann [mm]x = x \cdot 1 = x \cdot (0 \cdot b) = (x \cdot 0) \cdot b = 0 \cdot b = 0[/mm].
>
> (Wenn wir die andere Distributivität haben, zeigen wir [mm]0 \cdot x = 0[/mm]
> und damit [mm]x = 1 \cdot x = ... = 0[/mm].)
>
> Daraus folgt [mm]G = \{ 0 \}[/mm] und insb. [mm]0 = 1[/mm].
>
> Also: sobald es ein neutrales Element bzgl. der
> Multiplikation gibt, haben wir den
> Nullring.
>
> Man muss also eine der anderen Bedingungen weglassen. Wenn
> man z.B. die Existenz der 0 weglässt, kann man [mm]2\IZ / 4\IZ = \{ 0 + 4\IZ, 2 + 4\IZ \} =: \{ 0, a \}[/mm]
> anschauen. Hier gilt [mm]0 \cdot 0 = 0 \cdot a = a \cdot 0 = a \cdot a = 0[/mm].
> Man kann also durch 0 "teilen", und bekommt beide Elemente
> als Lösung (die Lösung ist insb. nicht eindeutig). Ist
> schonmal nicht sehr schön, aber erfüllt die Bedingungen.
> (Ein solcher Ring wird manchmal auch als trivialer Ring
> bezeichnet: die Multiplikation ist trivial, das Produkt von
> je zwei Elementen ist gleich 0.)
>
> Alternativ kann man noch die Assoziativität von [mm]\cdot[/mm]
> weglassen und hoffen, dass man etwas interessantes findet.
>
Danke für die Erklärung, damit hast du mir sehr weiter geholfen. Um den Nullring geht es mir nicht, der ist mir schon bekannt. Also wird es dann das Weglassen der Assoziativität sein.
> In welchem Formalismus ist [mm]\frac{1}{0}[/mm] die Kardinalität
> von überabzählbaren Mengen?
Zum Beispiel bei der Vereinigung wird es in so mancher Literatur so definiert. Da gibt es eine Formel, die sagt: [mm] M_{1} [/mm] und [mm] M_{2} [/mm] paarweise disjunkt [mm] \Rightarrow |M_{1} \cup M_{2}| [/mm] = [mm] |M_{1}| [/mm] + [mm] |M_{2}| [/mm] , insbesondere wenn [mm] M_{1} [/mm] abzählbar und [mm] M_{2} [/mm] abzählbar unendlich sind (und paarweise disjunkt) gilt [mm] |M_{1} \cup M_{2}| [/mm] = [mm] |M_{1}| [/mm] + [mm] |M_{2}| [/mm] = [mm] \infty [/mm] + [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty [/mm] und wenn [mm] M_{1} [/mm] abzählbar und [mm] M_{2} [/mm] überabzählbar ist dann gilt [mm] |M_{1} \cup M_{2}| [/mm] = [mm] |M_{1}| [/mm] + [mm] |M_{2}| [/mm] = [mm] \infty [/mm] + [mm] \bruch{1}{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0}
[/mm]
Detlev
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Mi 13.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Felix,
>
> > Eine Frage dazu: was verstehst du unter Nullforschung?
> Witzig, dass es diesen Begriff auch im anderen
> Zusammenhang gibt (siehe Link von Fred). Ich verstehe
> darunter ein Teilgebiet der abstrakten Algebra und
> Zahlenthorie, das sich auf die Forschung an der Zahl 0,
> insbesondere der Division durch 0, spezialisiert hat.
> Einfach formuliert ist das Ziel der Nullforschung, das
> Problem der Division durch 0 möglichst gut zu lösen, in
> der Struktur also auf möglichst wenige Eigenschaften
> verzichten zu müssen. Unser aktuelles Projekt konzentriert
> sich eben auf algebraische Gruppen, wobei die additive und
> multiplikative Gruppe natürlich verträglich sein müssen.
> Ich hoffe, du kannst dir so etwas darunter vorstellen!
>
> > Nehmen wir folgendes an:
> >
> > * Wir haben eine Menge [mm]G[/mm] mit einer Verknüpfung [mm]+[/mm] auf [mm]G[/mm], so
> > dass [mm](G, +)[/mm] irgendeine (nicht notwendigerweise kommutative)
> > Gruppe ist;
> > * Wir haben eine weitere Verknüpfung [mm]\cdot[/mm] auf [mm]G[/mm];
> > * [mm]\cdot[/mm] ist (links- oder rechts-)distributiv über [mm]+[/mm];
> > * [mm]\cdot[/mm] ist assoziativ;
> > * es gibt eine 1, also [mm]1 \cdot x = x = x \cdot 1[/mm] für
> > alle [mm]x \in G[/mm].
> >
> > Ein Ring mit Eins erfüllt diese Bedingungen; insb. ist [mm]+[/mm]
> > dann kommutativ.
> >
> > Dann gilt für alle [mm]x \in G[/mm] folgendes:
> >
> > 1) [mm]x \cdot 0 = x \cdot (0 + 0) = (x \cdot 0) + (x \cdot 0)[/mm];
> > wenn man auf beiden Seiten das additiv Inverse von [mm]x \cdot 0[/mm]
> > addiert, bekommt man [mm]x \cdot 0 = 0[/mm].
> >
> > Nun nehmen wir an, dass [mm]0[/mm] invertierbar ist, es also ein
> > Element [mm]b \in G[/mm] gibt mit [mm]0 \cdot b = 1[/mm].
> >
> > 2) Damit folgt dann [mm]x = x \cdot 1 = x \cdot (0 \cdot b) = (x \cdot 0) \cdot b = 0 \cdot b = 0[/mm].
>
> >
> > (Wenn wir die andere Distributivität haben, zeigen wir [mm]0 \cdot x = 0[/mm]
> > und damit [mm]x = 1 \cdot x = ... = 0[/mm].)
> >
> > Daraus folgt [mm]G = \{ 0 \}[/mm] und insb. [mm]0 = 1[/mm].
> >
> > Also: sobald es ein neutrales Element bzgl. der
> > Multiplikation gibt, haben wir den
> > Nullring.
> >
> > Man muss also eine der anderen Bedingungen weglassen. Wenn
> > man z.B. die Existenz der 0 weglässt, kann man [mm]2\IZ / 4\IZ = \{ 0 + 4\IZ, 2 + 4\IZ \} =: \{ 0, a \}[/mm]
> > anschauen. Hier gilt [mm]0 \cdot 0 = 0 \cdot a = a \cdot 0 = a \cdot a = 0[/mm].
> > Man kann also durch 0 "teilen", und bekommt beide Elemente
> > als Lösung (die Lösung ist insb. nicht eindeutig). Ist
> > schonmal nicht sehr schön, aber erfüllt die Bedingungen.
> > (Ein solcher Ring wird manchmal auch als trivialer Ring
> > bezeichnet: die Multiplikation ist trivial, das Produkt von
> > je zwei Elementen ist gleich 0.)
> >
> > Alternativ kann man noch die Assoziativität von [mm]\cdot[/mm]
> > weglassen und hoffen, dass man etwas interessantes findet.
> >
>
> Danke für die Erklärung, damit hast du mir sehr weiter
> geholfen. Um den Nullring geht es mir nicht, der ist mir
> schon bekannt. Also wird es dann das Weglassen der
> Assoziativität sein.
>
> > In welchem Formalismus ist [mm]\frac{1}{0}[/mm] die Kardinalität
> > von überabzählbaren Mengen?
>
> Zum Beispiel bei der Vereinigung wird es in so mancher
> Literatur so definiert. Da gibt es eine Formel, die sagt:
> [mm]M_{1}[/mm] und [mm]M_{2}[/mm] paarweise disjunkt [mm]\Rightarrow |M_{1} \cup M_{2}|[/mm]
> = [mm]|M_{1}|[/mm] + [mm]|M_{2}|[/mm] , insbesondere wenn [mm]M_{1}[/mm] abzählbar
> und [mm]M_{2}[/mm] abzählbar unendlich sind (und paarweise
> disjunkt) gilt [mm]|M_{1} \cup M_{2}|[/mm] = [mm]|M_{1}|[/mm] + [mm]|M_{2}|[/mm] =
> [mm]\infty[/mm] + [mm]\infty[/mm] = [mm]\infty[/mm] und wenn [mm]M_{1}[/mm] abzählbar und
> [mm]M_{2}[/mm] überabzählbar ist dann gilt [mm]|M_{1} \cup M_{2}|[/mm] =
> [mm]|M_{1}|[/mm] + [mm]|M_{2}|[/mm] = [mm]\infty[/mm] + [mm]\bruch{1}{0}[/mm] = [mm]\bruch{1}{0}[/mm]
>
> Detlev
>
Dass Du Professor für Mathematik bist, glaube ich im Leben nicht. Das merkt man an Deiner Ausdrucksweise.
Kein Professor für Mathematik redet bei 2 Mengen von "paarweise disjunkt". Bei 2 Mengen genügt "disjunkt" vollauf.
Ich bin schon lange im Geschäft, aber ein ernthafter Mathematiker, der von [mm]\frac{1}{0}[/mm] bei der Kardinalität von überabzählbaren Mengen redet, ist mir bislang noch nicht begegnet.
Sagt Dir
[mm] \aleph_i
[/mm]
etwas ?
Gruß FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Do 14.01.2016 | | Autor: | Eselsohr |
> Dass Du Professor für Mathematik bist, glaube ich im Leben
> nicht. Das merkt man an Deiner Ausdrucksweise.
Das empfinde ich zwar als wenig respektvoll, aber dann glaube es halt nicht. Mir geht es nur um den Inhalt. Da hat Felix mir schon viel weitergeholfen.
>
> Kein Professor für Mathematik redet bei 2 Mengen von
> "paarweise disjunkt". Bei 2 Mengen genügt "disjunkt"
> vollauf.
>
Gut aufgepasst! Wenn ich die Aussage aber für n Mengen [mm] M_{1}, M_{2}, [/mm] .. [mm] M_{n} [/mm] formuliere (dafür gilt die Aussage auch), ist paarweise disjunkt wieder richtig!
> Ich bin schon lange im Geschäft, aber ein ernthafter
> Mathematiker, der von [mm]\frac{1}{0}[/mm] bei der Kardinalität
> von überabzählbaren Mengen redet, ist mir bislang noch
> nicht begegnet.
Ich bin auch seit dem Studium nur mit Mathematik beschäftigt und habe diesen Zusammenhang schon in mehreren wissenschaftlichen Artikeln und Büchern gesehen. Und an der Universität, an der ich arbeite, wird es auch von anderen Professoren so verwendet. Wenn du das Beispiel nicht kennst, dann schlage doch ein besseres vor für überabzählbar und [mm] \bruch{1}{0}. [/mm] Da gibt es ja genug von.
>
> Sagt Dir
>
> [mm]\aleph_i[/mm]
>
> etwas ?
>
> Gruß FRED
Ja, das sagt mir etwas, ist aber nicht mein Forschungsgebiet. Auf jeden Fall gilt [mm] \aleph_0 [/mm] = [mm] \infty [/mm] und [mm] \aleph_i [/mm] > [mm] \infty [/mm] für i>0. Wenn [mm] |\IR| [/mm] = [mm] \aleph_1 [/mm] dann folgt auch [mm] \aleph_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{0}, [/mm] falls nicht gibt es möglicherweise Kardinalitäten zwischen [mm] \infty [/mm] und [mm] \bruch{1}{0}.
[/mm]
Detlev
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Do 14.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Dass Du Professor für Mathematik bist, glaube ich im Leben
> > nicht. Das merkt man an Deiner Ausdrucksweise.
> Das empfinde ich zwar als wenig respektvoll, aber dann
> glaube es halt nicht. Mir geht es nur um den Inhalt. Da hat
> Felix mir schon viel weitergeholfen.
> >
> > Kein Professor für Mathematik redet bei 2 Mengen von
> > "paarweise disjunkt". Bei 2 Mengen genügt "disjunkt"
> > vollauf.
> >
> Gut aufgepasst! Wenn ich die Aussage aber für n Mengen
> [mm]M_{1}, M_{2},[/mm] .. [mm]M_{n}[/mm] formuliere (dafür gilt die Aussage
> auch), ist paarweise disjunkt wieder richtig!
Ach was ... ?
>
> > Ich bin schon lange im Geschäft, aber ein ernthafter
> > Mathematiker, der von [mm]\frac{1}{0}[/mm] bei der Kardinalität
> > von überabzählbaren Mengen redet, ist mir bislang noch
> > nicht begegnet.
> Ich bin auch seit dem Studium nur mit Mathematik
> beschäftigt und habe diesen Zusammenhang schon in mehreren
> wissenschaftlichen Artikeln und Büchern gesehen.
Dann nenne mir einige Artikel bzw. Bücher ! Ich bin sehr interessiert.
> Und an
> der Universität, an der ich arbeite, wird es auch von
> anderen Professoren so verwendet. Wenn du das Beispiel
> nicht kennst,
Was für ein Beispiel ?
> dann schlage doch ein besseres vor für
> überabzählbar und [mm]\bruch{1}{0}.[/mm] Da gibt es ja genug von.
> >
> > Sagt Dir
> >
> > [mm]\aleph_i[/mm]
> >
> > etwas ?
> >
> > Gruß FRED
> Ja, das sagt mir etwas,
> ist aber nicht mein Forschungsgebiet.
Oh, das sind aber Grundlagen...
FRED
> Auf jeden Fall gilt [mm]\aleph_0[/mm] = [mm]\infty[/mm] und
> [mm]\aleph_i[/mm] > [mm]\infty[/mm] für i>0. Wenn [mm]|\IR|[/mm] = [mm]\aleph_1[/mm] dann
> folgt auch [mm]\aleph_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{0},[/mm] falls nicht gibt es
> möglicherweise Kardinalitäten zwischen [mm]\infty[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{0}.[/mm]
>
>
> Detlev
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| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:53 Do 14.01.2016 | | Autor: | Eselsohr |
Wir kommen so langsam vom ursprünglichen Thema ab.
Welches Beispiel ich meinte? Felix hat nach einer Situation nachgefragt, wo "überabzählbar" und "ein Nulltel" das selbe sind, und da fiel mir spontan als Beispiel die Vereinigung zweier disjunkten Mengen ein. Um mehr ging es da gar nicht. Ich glaube, bei dem Punkt reden wir auch aneinander vorbei. Für mich sind es z.B. auch Grundlagen, dass [mm] \aleph_0 [/mm] = [mm] \infty [/mm] und [mm] |\IR| [/mm] = [mm] \bruch{1}{0}, [/mm] da finde ich es auch seltsam dass du davon als Berufsmathematiker noch in keinster Weise gehört hast. Ich respektiere dich trotzdem als Mathematiker. "Einen Mathematiker zeichnet es aus, dass er den Gedanken von sich und seinesgleichen Respekt und Würde entgegenbringt" (F. Hausdorff).
Mit meiner Frage, eine (algebraische) Gruppe, die mit der Division durch 0 möglichst verträglich ist, zu finden, hat es nichts zu tun. Also noch mal zurück zum Thema:
Mit 5 Elementen hab ich da schon etwas gefunden (in Verknüpfungstabellen angegeben). Nur (0*(-1))*a = 0*a = a [mm] \not= [/mm] -a = 0*(-a) = 0*((-1)*a)). An einer Stelle versagt also das Assoziativitätsgesetz. Und -a hat kein multiplikatives Inverse. Eine Gruppe ist es also leider noch nicht ganz. Ist das so schon bestmöglich für 5 Elemente, oder geht es sogar noch besser?
+ | 0 1 -1 a -a
- - - - - - - - - - -
0 | 0 1 -1 a -a
1 | 1 a 0 a -a
-1| -1 0 -a a -a
a | a a a a 0
-a | -a -a -a 0 -a
* | 0 1 -1 a -a
- - - - - - -
0 | 0 0 0 1 -1
1 | 0 1 -1 a -a
-1 | 0 -1 1 -a a
a | 1 a -a a -a
-a | -1 -a a -a a
Daraus ergibt sich:
[mm] 0^{-1} [/mm] = a
[mm] a^{-1} [/mm] = 0
[mm] 1^{-1} [/mm] = 1
[mm] -1^{-1} [/mm] = -1
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Do 14.01.2016 | | Autor: | hippias |
Mir ist noch nicht das Problem klar: Es geht um Mengen, auf denen zwei Verknüpfungen definiert sind und bezüglich beider Verknüpfungen liegt eine Gruppe vor.
Wenn das soweit richtig ist: was ist dann die Fragestellung?
Übrigens gilt in Deiner additiven Struktur $1+a=a$, sodass bezüglich $+$ keine Gruppe vorliegt. Vermutlich ein Schreibfehler.
Auf $5$ Elementen gibt es bis auf Isomorphie genau eine Gruppe. Nennen wir sie [mm] $C_{5}=(X,+)$, [/mm] wobei $X$ die Menge und $+$ die Verknüpfung ist. Alle anderen Verknüpfungen [mm] $\circ$, [/mm] die auf $X$ eine Gruppe liefern, sind damit von der Gestalt [mm] $a\circ [/mm] b= [mm] a^{\sigma}+b^{\sigma}$, [/mm] wobei [mm] $\sigma$ [/mm] eine Permutation von $X$ ist. Für $5$ Elemente lassen sich also alle Verknüpfungen klassifizieren.
Zu anderen Mächtigkeiten gibt es bekanntermassen mehr Isomorphietypen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:30 Fr 15.01.2016 | | Autor: | Eselsohr |
Es sollte auf jeden Fall eine additive Gruppe sein, und nach Möglichkeit auch bei der Multiplikation, wobei da besonders wichtig ist, dass jedes Element invertierbar ist, also auch die 0. Bei 5 Elementen habe ich zunächst auf die Gruppeneigenschaft der Multiplikation verzichtet. a+1=a darf natürlich nicht sein, da muss ich mich verschrieben haben (sollte evtl. -a gewesen sein). Die additive Gruppe muss dann natürlich isomorph zu einer bekannten Gruppe sein.
Egal, ich habe jetzt jedenfalls genug Anhaltspunkte wonach ich suchen muss. Danke an alle für die Hilfe!
Viele Grüße,
Detlev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Sa 16.01.2016 | | Autor: | felixf |
Moin Detlev!
> Welches Beispiel ich meinte? Felix hat nach einer Situation
> nachgefragt, wo "überabzählbar" und "ein Nulltel" das
> selbe sind, und da fiel mir spontan als Beispiel die
> Vereinigung zweier disjunkten Mengen ein.
Dort hast du allerdings nur geschrieben, dass es so ist, ohne Hinweis warum das so ist.
> Um mehr ging es
> da gar nicht. Ich glaube, bei dem Punkt reden wir auch
> aneinander vorbei. Für mich sind es z.B. auch Grundlagen,
> dass [mm]\aleph_0[/mm] = [mm]\infty[/mm] und [mm]|\IR|[/mm] = [mm]\bruch{1}{0},[/mm]
Das habe ich auch noch nie gesehen. Aber wenn es für dich eine Grundlage ist, dann sollte es doch problemlos möglich sein, uns Quellen dafür anzugeben? Das würde mich auch wirklich sehr interessieren.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:31 Fr 15.01.2016 | | Autor: | Eselsohr |
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Vielleicht kannst du dir einmal folgendes durchlesen:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1664
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