Nullhomotop gdw Fortsetzung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Sa 21.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei X ein topologischer Raum, [mm] f:\mathbb{S}^n\rightarrow [/mm] X sowie [mm] F:\mathbb{B}^{n+1}\rightarrow [/mm] X eine stetige Fortsetzung von f, d.h. [mm] F|_{\mathbb{S}^n}=f [/mm] und F stetig.
Zeigen Sie: f ist nullhomotop [mm] \gdw [/mm] es existiert F |
Nabend Leute,
ich brüte über obiger Aufgabe nun seit gestern und bin der Rückrichtung mittlerweile doch recht nahe. Allerdings hab ich bei der Hinrichtung bisher einfach keine Idee. Mein Tutor meinte man müsse hier ausnutzen, dass für [mm] z\in \mathbb{S}^n [/mm] der Betrag von z gerade eins ist, also |z|=1. Ich hab aber keinen Schimmer wie.
Wär klasse, wenn jemand einen Tipp oder ne Idee hätte, um mir einen ersten Denkanstoß zu liefern. Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Sa 21.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei X ein topologischer Raum, [mm]f:\mathbb{S}^n\rightarrow[/mm] X
> sowie [mm]F:\mathbb{B}^{n+1}\rightarrow[/mm] X eine stetige
> Fortsetzung von f, d.h. [mm]F|_{\mathbb{S}^n}=f[/mm] und F stetig.
> Zeigen Sie: f ist nullhomotop [mm]\gdw[/mm] es existiert F
Die Aufgabenstellung ist aber mal echt schlecht formuliert.
Ich nehme an, dass [mm] $\mathbb{S}^n [/mm] = [mm] \partial \mathbb{B}^{n+1}$ [/mm] ist? Und [mm] $\mathbb{B}^{n+1}$ [/mm] der abgeschlossene Einheitsball im [mm] $\IR^{n+1}$ [/mm] ist?
> ich brüte über obiger Aufgabe nun seit gestern und bin
> der Rückrichtung mittlerweile doch recht nahe. Allerdings
> hab ich bei der Hinrichtung bisher einfach keine Idee.
Du meinst: aus $f$ nullhomotop folgt $F$ existiert?
Ich weiss ja nicht wie du die Rueckrichtung geloest hast, aber eigentlich solltest du daraus sofort sehen, wie die Hinrichtung geht. Also beschreib doch mal deine Rueckrichtung.
> Mein
> Tutor meinte man müsse hier ausnutzen, dass für [mm]z\in \mathbb{S}^n[/mm]
> der Betrag von z gerade eins ist, also |z|=1. Ich hab aber
> keinen Schimmer wie.
Da es nullhomotop ist hast du doch eine Funktion [mm] $\hat{f} [/mm] : [mm] \mathbb{S}^n \times [/mm] [0, 1] [mm] \to [/mm] X$, wobei [mm] $\hat{f}(\bullet, [/mm] 0) = f$ und [mm] $\hat{f}(\bullet, [/mm] 1)$ konstant ist.
Fuer $z$ mit $|z| = 1$ gilt also $F(z) = f(z) = [mm] \hat{f}(z, [/mm] 1 - |z|)$.
Das sollte dir eine Idee geben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:48 So 22.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
> Hallo!
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> > Sei X ein topologischer Raum, [mm]f:\mathbb{S}^n\rightarrow[/mm] X
> > sowie [mm]F:\mathbb{B}^{n+1}\rightarrow[/mm] X eine stetige
> > Fortsetzung von f, d.h. [mm]F|_{\mathbb{S}^n}=f[/mm] und F stetig.
> > Zeigen Sie: f ist nullhomotop [mm]\gdw[/mm] es existiert F
>
> Die Aufgabenstellung ist aber mal echt schlecht
> formuliert.
Ja sorry ich versuchs nächstes Mal etwas besser zu formulieren, versprochen :).
>
> Ich nehme an, dass [mm] \mathbb{S}^n [/mm] = [mm] \partial \mathbb{B}^{n+1}
[/mm]
> ist? Und [mm] \mathbb{B}^{n+1} [/mm] der abgeschlossene Einheitsball
> im [mm] \IR^{n+1} [/mm] ist?
Jawoll hast du beides richtig angenommen und auch hier nochmal sorry hätte ich besser dazu schreiben sollen. Vergess manchmal, dass die Leute vom matheraum ja nicht alle mein Skript vorliegen haben :).
>
> > ich brüte über obiger Aufgabe nun seit gestern und bin
> > der Rückrichtung mittlerweile doch recht nahe. Allerdings
> > hab ich bei der Hinrichtung bisher einfach keine Idee.
>
> Du meinst: aus f nullhomotop folgt Fexistiert?
Ja genau die Richtung meinte ich.
> Ich weiss ja nicht wie du die Rueckrichtung geloest hast,
> aber eigentlich solltest du daraus sofort sehen, wie die
> Hinrichtung geht. Also beschreib doch mal deine
> Rueckrichtung.
Okay also ich hab einfach eine Homotopie angegeben wie folgt:
Sei [mm] G:\mathbb{S}^n\times I\to \mathbb{B}^{n+1} [/mm] mit G(x,t):=(1-t)x. Dann ist [mm] F\circ G:\mathbb{S}^n\times I\to [/mm] X eine Homotopie zwischen [mm] F\circ G(x,0)=F|_{\mathbb{S}^n}(x)=f(x) [/mm] und [mm] F\circ [/mm] G(x,1)=F(0) und damit ist f homotop zu einer konstanten Abbildung und dadurch nullhomotop.
>
> > Mein
> > Tutor meinte man müsse hier ausnutzen, dass für [mm]z\in \mathbb{S}^n[/mm]
> > der Betrag von z gerade eins ist, also |z|=1. Ich hab aber
> > keinen Schimmer wie.
>
> Da es nullhomotop ist hast du doch eine Funktion [mm] \hat{f} [/mm] : [mm] \mathbb{S}^n \times [/mm] [0, 1] [mm] \to [/mm] X,
> wobei [mm] \hat{f}(\bullet, [/mm] 0) = f und [mm] \hat{f}(\bullet, [/mm] 1)
> konstant ist.
>
> Fuer z mit |z| = 1 gilt also F(z) = f(z) = [mm] \hat{f}(z, [/mm] 1 - |z|).
>
> Das sollte dir eine Idee geben.
Es mag an der Uhrzeit liegen, aber die Idee will nicht kommen. Ist vielleicht viel verlangt eben auch aufgrund der Uhrzeit, aber könntest du mir noch einen Tipp geben, der mich auf die richtige Bahn lenkt?? Wär dir sehr dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:59 So 22.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Ich weiss ja nicht wie du die Rueckrichtung geloest hast,
> > aber eigentlich solltest du daraus sofort sehen, wie die
> > Hinrichtung geht. Also beschreib doch mal deine
> > Rueckrichtung.
>
> Okay also ich hab einfach eine Homotopie angegeben wie
> folgt:
> Sei [mm]G:\mathbb{S}^n\times I\to \mathbb{B}^{n+1}[/mm] mit
> G(x,t):=(1-t)x. Dann ist [mm]F\circ G:\mathbb{S}^n\times I\to[/mm] X
> eine Homotopie zwischen [mm]F\circ G(x,0)=F|_{\mathbb{S}^n}(x)=f(x)[/mm]
> und [mm]F\circ[/mm] G(x,1)=F(0) und damit ist f homotop zu einer
> konstanten Abbildung und dadurch nullhomotop.
Genau.
Fuer die andere Richtung mach es doch genau umgekehrt. Beachte dazu, dass die Abbildung $G$ fast ueberall injektiv ist: nur $G(x, 1)$ geht konstant auf 0. Da die Funktion bei $t = 1$, also $|z| = 0$ jedoch konstant (und unabhaengig von $x$) sein soll, ist das aber nicht tragisch.
Also: ist $H$ die Homotopie, so nimm fuer $|z| > 0$ einfach $F(z) := H [mm] \circ G^{-1}(z)$, [/mm] und fuer $z = 0$ nimm $F(0) := H(x, 1)$ fuer irgendein $x$ (ist ja egal welches, da $H(x, 1)$ konstant ist).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:05 So 22.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar :). Vielen Dank.
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