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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 14.03.2006 | | Autor: | elena27 |
| Aufgabe | N sei [mm] \lambda^{2} [/mm] -Nullmenge. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
1) muss N abzählbar sein
2) muss N kompakt sein |
Hallo,
die beide Aussagen sind falsch. Eine der möglichen Gegenbeispiele ist N={(x,y) aus [mm] \IR [/mm] ^ {2} , y= 0}
Was ich aber hier nicht verstehe, warum ist N eine [mm] \lambda^{2} [/mm] -Nullmenge ?
Könnte mir jemand bitte dabei helfen?
Danke.
LG Elena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Elena und einen guten Frühabend
allen Freunden eines/r gepflegten Maß(es)  ,
nun, Du kannst doch zB. die Menge [mm] N=\{(x,y)\in\IR^2|x=0\}
[/mm]
(verzeih, falls ich da die Koordinaten was vertausche) ueberdecken durch
Mengen
[mm] W_{i,j}= [-1\slahs i\cdot 2^{-j}, 1\slash i\cdot 2^{-j} ]\times [j,j+1]\:\:\cup [-1\slahs i\cdot 2^{-j}, 1\slash i\cdot 2^{-j} ]\times [-(j+1),-j]\:\: [/mm] ,
dann sollte doch
[mm] \lambda (\bigcup_{j}W_{i,j}) =2\frac{i}\cdot 2\cdot \sum_j 2^{-j}
[/mm]
oder so sein, das kannst Du ausrechnen, und es konvergiert bei [mm] i\to\infty [/mm] gegen 0.
Klar soweit (zumindest das Prinzip) ?
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Di 14.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Mathias!
Vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Der Prinzip habe ich leider nicht verstanden (ist mir auch sehr peinlich). Gibt es vielleicht einen "einfacherer Weg"?
Vielen Dank für Deine Hilfe.
LG Elena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Di 14.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo Mathias!
>
> Vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Der Prinzip habe
> ich leider nicht verstanden (ist mir auch sehr peinlich).
> Gibt es vielleicht einen "einfacherer Weg"?
> Vielen Dank für Deine Hilfe.
Vielleicht habt ihr in der Vorlesung einen Satz a la ''Der Rand einer 'vernuenftigen' Menge im [mm] $\R^n$ [/mm] ist eine [mm] $\lambda^n$-Nullmenge.'', [/mm] wobei 'vernuenftig' sowas wie 'Rand ist stueckweise durch was glattes Parametrisierbar' o.ae. konkretisiert werden kann.
Mit dieser Aussage bist du hier sofort fertig, da $N$ der Rand der linken (oder rechten) Halbebene ist.
LG Felix
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Hallo Elena,
ich wollt in meiner Antwort, in der, wie ich gerade sah, wohl einige Formeln etwas schief gingen - ich korrigiere es gleich -,
die Menge N ueberdecken durch eine Menge von Quadern, die die eine Seitenlaenge 1 haben (naemlich das Intervall [i,i+1] bzw
[-i-1,-i]) und die andere Seitenlaenge [mm] \frac{1}{j}\cdot [\frac{1}{2^{-i}}.
[/mm]
Fuer jedes j ueberdecken die Quader zu allen i dann Deine Menge, und das Mass dieser menge von Quadern ist die Summe ihrer Flaechen
(d.h. jeweils Laenge mal Breite), und diese Summe ist eine unendliche Reihe der Form
[mm] 2\cdot\frac{1}{j}\cdot \sum_{i=0}^{\infty} 2^{-i}
[/mm]
und das konvergiert doch fuer jedes feste j gegen Konstante mal [mm] \frac{1}{j}, [/mm] geht also mit [mm] j\to\infty [/mm] gegen 0.
Gruss,
Mathias
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